高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)講義1新人教B版選修

2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)(一)1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形.2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)、

圖形.學(xué)習(xí)目標(biāo)思考1

觀察橢圓(a>b>0)的形狀(如圖)，你能從圖中看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對稱性？橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊？答案(1)范圍：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)對稱性：橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)都對稱；(3)特殊點(diǎn)：頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b).思考2在畫橢圓圖形時(shí)，怎樣才能畫的更準(zhǔn)確些？答案在畫橢圓時(shí)，可先畫一個矩形，矩形的頂點(diǎn)為(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b).

焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程__________(a>b>0)__________(a>b>0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)___________________對稱性關(guān)于x軸、y軸軸對稱，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)范圍|x|≤___，|y|≤___|x|≤___，|y|≤____長軸、短軸長軸A1A2長為_____，短軸B1B2長為____梳理橢圓的簡單幾何性質(zhì)(±c,0)(0，±c)abab2a2b思考

如何刻畫橢圓的扁圓程度？答案用離心率刻畫扁圓程度，e越接近于0，橢圓越接近于圓，反之，越扁.梳理(1)橢圓的焦距與長軸長的比e＝

稱為橢圓的離心率.(2)對于

，b越小，對應(yīng)的橢圓越

，反之，e越接近于0，c就越接近于0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓越接近于圓，于是，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，c＝0，兩焦點(diǎn)重合，圖形變成圓，方程變?yōu)閤2＋y2＝a2.(如圖)扁解答例1求橢圓9x2＋16y2＝144的長軸長、短軸長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).∴橢圓的長軸長和短軸長分別是2a＝8和2b＝6，四個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)和(0，3).引申探究本例中若把橢圓方程改為“9x2＋16y2＝1”，求其長軸長、短軸長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).解答解決此類問題的方法是將所給方程先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上，再利用a，b，c之間的關(guān)系和定義，求橢圓的基本量.跟蹤訓(xùn)練1求橢圓9x2＋y2＝81的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率.長軸長2a＝18,短軸長2b＝6，解答命題角度1依據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2如圖所示，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，它在x軸上的一個焦點(diǎn)F與短軸兩個端點(diǎn)B1，B2的連線互相垂直，且這個焦點(diǎn)與較近的長軸的端點(diǎn)A的距離為

，求這個橢圓的方程.解答由橢圓的對稱性知|B1F|＝|B2F|，又B1F⊥B2F，∴△B1FB2為等腰直角三角形，此類問題應(yīng)由所給的幾何性質(zhì)充分找出a，b，c所應(yīng)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而求出a，b，在求解時(shí)，需注意橢圓的焦點(diǎn)位置.跟蹤訓(xùn)練2

根據(jù)下列條件，求中心在原點(diǎn)，對稱軸在坐標(biāo)軸上的橢圓方程：(1)長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)(2，－6)；解答同樣地可求出當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，(2)焦點(diǎn)在

x軸上，一個焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)連線互相垂直，且半焦距為6.解答用“－y”代替方程x3y＋x2y2＋xy3＝1中的“y”，得－x3y＋x2y2－xy3＝1，它改變了原方程，因此方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲線不關(guān)于x軸對稱.同理，方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲線也不關(guān)于y軸對稱.而用“－x”代替原方程中的“x”，用“－y”代替原方程中的“y”，得(－x)3(－y)＋(－x)2(－y)2＋(－x)(－y)3＝1，即x3y＋x2y2＋xy3＝1，故方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱.命題角度2對稱性問題例3討論方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲線關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)的對稱性.解答研究曲線關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)的對稱性，只需用“－y”代替方程中的“y”，用“－x”代替方程中的“x”，或同時(shí)代替，若方程不變，則得到相應(yīng)的對稱性.

跟蹤訓(xùn)練3曲線

x2－2y＋1＝0的對稱軸為A.x軸 B.y軸C.直線

y＝x D.無法確定保持y不變，以“－x”代替方程中的“x”，方程不變，故該曲線關(guān)于y軸對稱.答案解析解答命題角度3最值問題(*)求解橢圓的最值問題的基本方法有兩種(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義及對稱知識求解；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)式的特征選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼饽繕?biāo)函數(shù)的最值.常用方法有配方法、判別式法、重要不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.

跟蹤訓(xùn)練4已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓x2＋2y2＝2的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個動點(diǎn)，那么|＋|的最小值是答案解析故選C.例5已知橢圓(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，斜率為k的直線l過左焦點(diǎn)F1且與橢圓的交點(diǎn)為A，B，與y軸的交點(diǎn)為C，且B為線段CF1的中點(diǎn)，若|k|≤，求橢圓離心率e的取值范圍.解答依題意得F1(－c,0)，直線l：y＝k(x＋c)，則C(0，kc).求e的取值范圍有以下幾個步驟：(1)切入點(diǎn)：已知|k|≤，求e的取值范圍，需建立關(guān)于e的不等式.(2)思考點(diǎn)：①e與k有什么關(guān)系？②建立e與k的等量關(guān)系式；③利用B在橢圓上且為CF1的中點(diǎn)，構(gòu)建關(guān)于e與k的等式；④如何求e的范圍？先用e表示k，再利用|k|≤，求e的取值范圍.(3)解題流程：先寫出l的方程，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)B在橢圓上，建立e與k的關(guān)系式，再求e的范圍.跟蹤訓(xùn)練5已知點(diǎn)P(m,4)是橢圓(a>b>0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，若△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為

，則此橢圓的離心率為___.答案解析1.已知橢圓的方程為2x2＋3y2＝m(m>0)，則此橢圓的離心率為答案解析12345√2.與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點(diǎn)，且短軸長為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是答案解析√12345123453.若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，且長軸長為10，有一個焦點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.答案解析123454.已知點(diǎn)(m，n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，則2m＋4的取值范圍是________________.答案解析5.已知橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸，一個頂點(diǎn)是(0,13)，另一個頂點(diǎn)是(－10,0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為__________.12345由題意知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且a＝13，b＝10，答案解析1.可以應(yīng)用橢圓的定義和方程，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再結(jié)合代數(shù)知識解題