2022-2023學年遼寧省大連市華才中學高三數(shù)學文期末試題含解析

2022-2023學年遼寧省大連市華才中學高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn=kn2+n，且a10=39，則a100=（）A．200 B．199 C．299 D．399參考答案：D【考點】數(shù)列的概念及簡單表示法．【分析】由Sn=kn2+n，可得n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2kn﹣k+1，利用a10=39，解得k=2．即可得出．【解答】解：∵Sn=kn2+n，∴n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=kn2+n﹣[k（n﹣1）2+（n﹣1）]=2kn﹣k+1，∵a10=39，∴20k﹣k+1=39，解得k=2．∴an=4n﹣1則a100=400﹣1=399．故選：D【點評】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2.，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值可以是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D3.比較甲、乙兩名學生的數(shù)學學科素養(yǎng)的各項能力指標值（滿分為5分，分值高者為優(yōu)），繪制了如圖1所示的六維能力雷達圖，例如圖中甲的數(shù)學抽象指標值為4，乙的數(shù)學抽象指標值為5，則下面敘述正確的是（

）A．乙的邏輯推理能力優(yōu)于甲的邏輯推理能力B．甲的數(shù)學建模能力指標值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標值C．乙的六維能力指標值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標值整體水平D．甲的數(shù)學運算能力指標值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標值參考答案：C對于選項A，甲的邏輯推理能力指標值為4，優(yōu)于乙的邏輯推理能力指標值為3，所以該命題是假命題；對于選項B，甲的數(shù)學建模能力指標值為3，乙的直觀想象能力指標值為5，所以乙的直觀想象能力指標值優(yōu)于甲的數(shù)學建模能力指標值，所以該命題是假命題；對于選項C，甲的六維能力指標值的平均值為，乙的六維能力指標值的平均值為，因為，所以選項C正確；對于選項D，甲的數(shù)學運算能力指標值為4，甲的直觀想象能力指標值為5，所以甲的數(shù)學運算能力指標值不優(yōu)于甲的直觀想象能力指標值，故該命題是假命題．故選C．4.若為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則ABC的形狀為

（

）

（A）正三角形

（B）直角三角形

（C）等腰三角形（D）等腰直角三角形參考答案：C5.已知i是虛數(shù)單位，若集合S＝{－1,0,1}，則

(

)A．i∈S

B．i2∈S

C．i3∈S

D.∈S參考答案：B6.已知集合，，則A∩B=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.已知數(shù)列的前項和為，且，則等于

A. B.1 C.2 D.4參考答案：D8.在等差數(shù)列{an}中，a2=1，a4=5，則{an}的前5項和S5=（）A．7 B．15 C．20 D．25參考答案：B【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差數(shù)列的求和公式，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故選B．9.已知集合，則等于A. B. C. D.參考答案：B，所以，選B.10.（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜1}，則集合A∩B=（） A． {x|﹣1＜x＜1} B． {x|﹣2＜x＜1} C． {x|﹣2＜x＜2} D． {x|0＜x＜1}參考答案：D考點： 交集及其運算．專題： 集合．分析： 利用交集的性質(zhì)求解．解答： 解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜1}，∴集合A∩B={x|0＜x＜1}．故選：D．點評： 本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意交集和不等式性質(zhì)的合理運用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若點G為△ABC的重心，且AG⊥BG，則sinC的最大值為．參考答案：【考點】三角形五心．【專題】計算題；解三角形．【分析】以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立直角坐標系，設(shè)AB=2，點C的坐標為（x，y），可得G（，）．根據(jù)AG⊥BG建立x、y的關(guān)系式，化簡整理得x2+y2=9，得到點C在以原點為圓心，半徑為3的圓上運動（x軸上兩點除外）．運動點C并加以觀察可得當C點在y軸時，∠C達到最大值，且sinC同時達到最大值，由此結(jié)合三角函數(shù)公式即可算出sinC的最大值．【解答】解：設(shè)AB中點為O，連接AO，可得重心G在CO上且=以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立如圖所示直角坐標系設(shè)AB=2，則A（﹣1，0），B（1，0），設(shè)C（x，y），可得G（，）∵AG⊥BG，∴點G在以AB為直徑的圓上運動（A、B兩點除外）由此可得（）2+（）2=1，整理得x2+y2=9因此，點C在以原點為圓心，半徑為3的圓上運動（x軸上兩點除外）在點C的運動中觀察∠C的變化，可得當C點在y軸時，∠C達到最大值而且sinC同時達到最大值．此時tan=，可得sinC==故選：【點評】本題給出三角形的重心G對A、B的張角為直角，求角C的正弦最大值，著重考查了三角形重心的性質(zhì)、圓的標準方程和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．12.若sin（π+x）+cos（π+x）=，則sin2x=

，=

．參考答案：﹣，﹣．【考點】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；GI：三角函數(shù)的化簡求值．【分析】利用誘導公式求得sinx+cosx=﹣，兩邊平方，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式即可求得sinx2x=﹣，=，化簡整理即可求得答案．【解答】解：sin（π+x）+cos（π+x）=﹣sinx﹣cosx=，即sinx+cosx=﹣，兩邊平方得：sin2x+2sinxcosx+cos2x=，即1+sin2x=，則sinx2x=﹣，由=====﹣，故答案為：﹣，﹣．13.將函數(shù)y＝sin2x按向量＝(－，1)平移后的函數(shù)解析式是____________.參考答案：略14.如圖，在正方體中，點P是上底面內(nèi)一動點，則三棱錐的主視圖與左視圖的面積的比值為_________.參考答案：115.若對于正整數(shù)m，g(m)表示m的最大奇數(shù)因數(shù)，例如，.設(shè)，則

．參考答案：當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，疊加得當時，上式也成立故

16.（07年寧夏、海南卷文）已知是等差數(shù)列，，其前5項和，則其公差．參考答案：答案：解析：

17.若實數(shù)x，y滿足條件，則z=3x﹣4y的最大值是．參考答案：﹣1【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，求出最大值．【解答】解：不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=3x﹣4y得y=，平移直線y=，則由圖象可知當直線y=，當經(jīng)過點A時，直線的截距最小，此時z最大．由，解得，即A（1，1），此時最大值z=3×1﹣4×1=﹣1，故答案為：﹣1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ=2cos（﹣θ）（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；（Ⅱ）已知直線l過點P（1，0）且與曲線C交于A，B兩點，若|PA|+|PB|=，求直線l的傾斜角α．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程．【分析】（I）把極坐標方程利用x=ρcosθ、y=ρsinθ，化為直角坐標方程．（Ⅱ）直線l過點P（1，0），參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入圓的方程，利用韋達定理，根據(jù)|PA|+|PB|=，求直線l的傾斜角α．【解答】解：（Ⅰ）曲線C的極坐標方程為ρ=2cos（﹣θ），即ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ）．∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（Ⅱ）直線l過點P（1，0），參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入圓的方程，可得t2﹣2tsinα﹣1=0，設(shè)A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則t1+t2=2sinα，t1t2=﹣1．∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|==，∴sinα=（舍去負數(shù)），∴α=或．19.如圖，在正四棱錐中，，，分別為，的中點．（1）求正四棱錐的全面積；（2）若平面與棱交于點，求平面與平面所成銳二面角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)值表示）．

參考答案：（1）因為正四棱錐，取中點，連接，，，（2）連接，連接，記，因為，，兩兩互相垂直，如圖建立空間直角坐標系．因為，所以．所以．所以，，，，，，．所以，．設(shè)平面的法向量為，所以即所以．令，，所以．因為平面平面的一個法向量為設(shè)與的夾角為，所以平面與平面所成銳二面角的大小是．20.設(shè)函數(shù)f（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m（m∈R）．（Ⅰ）當m=﹣4時，求函數(shù)f（x）的最大值；（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）≥﹣4，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】（I）利用絕對值的意義，去掉絕對值號，化為分段函數(shù)，利用分段函數(shù)的性質(zhì)，求解函數(shù)的最值；（II）由，即，轉(zhuǎn)為，分類討論m，即可求解實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當m=﹣4時，，∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，3]上是增函數(shù)，在（3，+∞）上是減函數(shù)，所以f（x）max=f（3）=2．（Ⅱ），即，令g（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|+4，則存在x0∈R，使得g（x0）≥成立，∴，即，∴當m＞0時，原不等式為（m﹣1）2≤0，解得m=1，當m＜0時，原不等式為（m﹣1）2≥0，解得m＜0，綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，0）∪{1}．【點評】本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．21.已知函數(shù)f（x）=x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線的斜率小于0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意的a∈[，]，函數(shù)g（x）=f（x）﹣在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，求λ的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，并分解因式，由題意可得f′（2）＜0，再由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間，導數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意定義域；（2）求出g（x）的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為x3﹣7x2+6x+λ≥0對x∈[1，2]恒成立，令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，求出導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和最小值，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx，（x＞0），f′（x）=x﹣（2a+2）+=，x＞0，由題意可得f′（2）=＜0，可得a＞，2a+1＞2＞1，由f′（x）＞0，可得x＞2a+1或0＜x＜1；f′（x）＜0，可得1＜x＜2a+1．即有f（x）的增區(qū)間為（0，1），（2a+1，+∞）；減區(qū)間為（1，2a+1）；（2）∵函數(shù)g（x）=f（x）﹣在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，∴g′（x）≥0對任意的a∈[，]，x∈[1，2]恒成立，即x﹣（2a+2）++≥0，即為x3﹣（2a+2）x2+（2a+1）x+λ≥0，則（2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0，a∈[，]，由x∈[1，2]，可得2x﹣2x2≤0，只需（2x﹣2x2）+x3﹣2x2+x+λ≥0．即x3﹣7x2+6x+λ≥0對x∈[1，2]恒成立，令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，h′（x）=3x2﹣14x+6≤0在1≤x≤2恒成立，則有h（x）在[1，2]遞減，可得h（2）取得最小值，且為﹣8+λ≥0，解得λ≥8，∴λ的取值范圍是[8，+∞）．22.一家公司計劃生產(chǎn)某種小型產(chǎn)品的月固定成本為1萬元，每生產(chǎn)1萬件需要再投入2萬元．設(shè)該公司一個月內(nèi)生產(chǎn)該小型產(chǎn)品萬