云南省玉溪市第一中學(xué)2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

云南省玉溪市第一中學(xué)2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)，，，則，，大小關(guān)系是A. B.C. D.2．已知橢圓C：的一個焦點為（0，-2），則k的值為（）A.5 B.3C.9 D.253．命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0C.?x0∈R，|x0|+<0 D.?x0∈R，|x0|+≥04．命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，5．橢圓的焦點坐標(biāo)是（）A.（±4，0） B.（0，±4）C.（±5，0） D.（0，±5）6．下列命題正確的是（）A.經(jīng)過三點確定一個平面B.經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面C.四邊形確定一個平面D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面7．一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或 B.或C.或 D.或8．在等比數(shù)列中，，則等于（）A. B.C. D.9．空間直角坐標(biāo)系中，已知則點關(guān)于平面的對稱點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.10．函數(shù)圖象如圖所示,則的解析式可以為A. B.C. D.11．已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.12．已知拋物線，過拋物線的焦點作軸的垂線，與拋物線交于、兩點，點的坐標(biāo)為，且為直角三角形，則以直線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．給定點、、與點，求點到平面的距離______.14．已知拋物線：，過焦點作傾斜角為的直線與交于，兩點，，在的準(zhǔn)線上的投影分別為，兩點，則__________.15．將連續(xù)的正整數(shù)填入n行n列的方陣中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)之和相等，可得到n階幻方.記n階幻方每條對角線上的數(shù)之和為，如圖：，那么的值為___________.16．已知長方體中，，，則點到平面的距離為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數(shù)列的前項和為，，．?dāng)?shù)列的前項和為，且，（1）分別求數(shù)列和的通項公式；（2）若，為數(shù)列的前項和，是否存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的，，的值；若不存在，說明理由18．（12分）已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.（1）m∈R時，證明l與C總相交；（2）m取何值時，l被C截得的弦長最短？求此弦長19．（12分）已知函數(shù)．其中e為然對數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)的零點個數(shù)20．（12分）數(shù)列{}的首項為，且（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列{}的通項公式；（2）若，求數(shù)列{}的前n項和21．（12分）如圖，正三棱柱中，D是的中點，.（1）求點C到平面的距離；（2）試判斷與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.22．（10分）如圖，在正三棱柱中，，，，分別為，，的中點（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性可得（3），從而得到，，的大小關(guān)系【題目詳解】考查函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，，（3），即，，故選：【題目點撥】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查了構(gòu)造法和轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題2、A【解題分析】由題意可得焦點在軸上，由，可得k的值.【題目詳解】∵橢圓的一個焦點是，∴，∴，故選：A3、C【解題分析】利用全稱命題的否定可得出結(jié)論.【題目詳解】由全稱命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.4、A【解題分析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【題目詳解】因為命題“，”是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即為，，故選：A5、A【解題分析】根據(jù)橢圓的方程求得的值，進而求得橢圓的焦點坐標(biāo)，得到答案.【題目詳解】由橢圓，可得，則，所以橢圓的焦點坐標(biāo)為和.故選：A.6、D【解題分析】由平面的基本性質(zhì)結(jié)合公理即可判斷.【題目詳解】對于A，過不在一條直線上三點才能確定一個平面，故A不正確；對于B，經(jīng)過一條直線和直線外一個點確定一個平面，故B不正確；對于C，空間四邊形不能確定一個平面，故C不正確；對于D，兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故D正確.故選：D7、D【解題分析】由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線方程為：，即：.又因為光線與圓相切，所以，,整理：，解得：，或,故選D考點：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線的方程；3、直線與圓的位置關(guān)系.8、C【解題分析】根據(jù)，然后與，可得，最后簡單計算，可得結(jié)果.【題目詳解】在等比數(shù)列中，由所以，又，所以所以故選：C【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，重在計算，當(dāng)，在等差數(shù)列中有，在等比數(shù)列中，靈活應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對稱性可得答案.【題目詳解】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對稱性可得關(guān)于平面的對稱點的坐標(biāo)為，故選：D.10、A【解題分析】利用排除法：對于B,令得,,即有兩個零點，不符合題意；對于C,當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，不符合題意；對于D,的定義域為，不符合題意；本題選擇A選項.點睛：函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項11、A【解題分析】根據(jù)離心率及a，b，c的關(guān)系，可求得，代入即可得答案.【題目詳解】因為離心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為.故選：A12、B【解題分析】設(shè)點位于第一象限，求得直線的方程，可得出點的坐標(biāo)，由拋物線的對稱性可得出，進而可得出直線的斜率為，利用斜率公式求得的值，由此可得出以直線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【題目詳解】設(shè)點位于第一象限，直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以，點.為等腰直角三角形，由拋物線的對稱性可得出，則直線的斜率為，即，解得.因此，以直線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.【題目點撥】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】先求出平面的法向量，再利用點到面的距離公式計算即可.【題目詳解】設(shè)平面的法向量為，點到平面的距離為，，，即，令，得故答案為：.14、【解題分析】設(shè)，則，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理即得.【題目詳解】由拋物線：可知則焦點坐標(biāo)為，∴過焦點且斜率為的直線方程為,化簡可得，設(shè)，則，由可得，所以則故答案為：15、34【解題分析】根據(jù)每行數(shù)字之和相等，四行數(shù)字之和剛好等于1到16之和可得.【題目詳解】4階幻方中，4行數(shù)字之和，得.故答案為：3416、##2.4【解題分析】過作于，可證即為點到平面的距離.【題目詳解】過作于，∵是長方體，∴平面平面，又∵平面平面，∴平面，設(shè)點到平面的距離為，∵∥平面，∴根據(jù)等面積法得，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）不存在，理由見解析.【解題分析】（1）利用數(shù)列為等比數(shù)列，將已知的等式利用首項和公比表示，得到一個方程組，求解即可得到首項和公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可求出；將已知的等式變形，得到數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求出，再結(jié)合數(shù)列的第項與前項和之間的關(guān)系進行求解，即可得到；（2）先利用等比數(shù)列求和公式求出，從而得到的表達式，然后利用裂項相消求和法求出，假設(shè)存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列，利用等比中項、等差中項以及進行化簡變形，得到假設(shè)不成立，故可得到答案【題目詳解】（1）因為數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)首項為，公比為，由題意可知，所以，所以，由②可得，即，所以或2，因為，所以，所以，所以，由，可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項為，公差為1，故，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，也適合上式，故（2）由，可得，所以，所以，假設(shè)存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列，則有，所以，則，即，因為，所以，即，所以，所以，則，所以，則，所以，即，所以，這與已知的，，互不相等矛盾，故不存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列【題目點撥】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.18、（1）證明見解析；（2）當(dāng)時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.【解題分析】（1）求出直線l的定點，進而判斷定點和圓C的位置關(guān)系，最后得到答案；（2）當(dāng)圓心C到直線l的距離最大時，弦長最短，進而求出m，然后根據(jù)勾股定理求出弦長.【題目詳解】（1）直線l的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，則l過定點P(4，－3)，由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點P在圓內(nèi)，故直線l與圓C總相交（2）圓的C方程可化為：(x－3)2＋(y＋6)2＝25，如圖所示，當(dāng)圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時，弦AB的長度最短，此時PC⊥l，又，所以直線l的斜率為，則，在直角中，|PC|＝，|AC|＝5，所以|AB|＝.故當(dāng)時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.19、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）當(dāng)時，無零點；當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)時，有2個零點.【解題分析】(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導(dǎo)數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調(diào)性和零點即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，易知定義域為R，，當(dāng)時，；當(dāng)或時，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問2詳解】當(dāng)時，x正0負(fù)0正單增極大值單減極小值單增當(dāng)時，恒成立，∴；當(dāng)時，①當(dāng)時，，∴無零點；②當(dāng)時，，∴有1個零點；③當(dāng)時，，又當(dāng)時，單調(diào)遞增，，∴有2個零點；綜上所述：當(dāng)時，無零點；當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)時，有2個零點【題目點撥】結(jié)論點睛：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用20、（1）證明見解析，；（2）.【解題分析】(1)利用給定的遞推公式變形，再利用等比數(shù)列定義直接判斷并求出通項得解.(2)由(1)的結(jié)論求出，再利用裂項相消法計算作答.【小問1詳解】數(shù)列{}中，，則，由得：，所以數(shù)列是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則有，即，所以數(shù)列{}的通項公式是.【小問2詳解】由(1)知，，，則，所以數(shù)列{}的前n項和.21、（1）（2）平行，證明過程見解析.【解題分析】（1）利用等體積法即可求解；（2）利用線面平行判定即可求解.【小問1詳解】解：正三棱柱中，D是的中點，所以，，正三棱柱中，所以又因為正三棱柱中，側(cè)面平面且交線為且平面中，所以平面又平面所以設(shè)點C到平面的距離為在三棱錐中，即所以點C到平面的距離為.【小問2詳解】與平面的位置，證明如下：連接交于點，連接，如下圖所示，因為正三棱柱的側(cè)面為矩形所以為的中點又因為為中點所以為的中位線所以又因為平面，且平面所以平面22、（1）證明見解析（2）【解