湖北省宜昌二中2024年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

湖北省宜昌二中2024年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知梯形ABCD中，，，且對(duì)角線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作與AB所在直線的平行線l.若AB和CD所在直線的方程分別是與，則直線l與CD所在直線的距離為（）A.1 B.2C.3 D.42．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則“數(shù)列是等比數(shù)列”為“存在，使得”的（）A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.充分不必要條件3．若在1和16中間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則公比為（）A. B.2C. D.44．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作傾斜角為的直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，則POQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S等于（）A. B.C. D.5．在中，若，，，則此三角形解的情況為（）A.無解 B.兩解C.一解 D.解的個(gè)數(shù)不能確定6．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2，則=（）A. B.C. D.7．函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)，那么“”是“在上為增函數(shù)”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù)，且，，則（）A.2 B.3C.-2 D.-310．若直線先向右平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位，然后與圓相切，則c的值為（）A.8或-2 B.6或-4C.4或-6 D.2或-811．已知命題：；：若，則，則下列判斷正確的是（）A.為真，為真，為假 B.為真，為假，為真C.為假，為假，為假 D.為真，為假，為假12．已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且實(shí)半軸長(zhǎng)為4，虛半軸長(zhǎng)為5，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)，則___________.14．已知正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是線段BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段CD上靠近D的四等分點(diǎn)，則直線EF與AG所成角的余弦值為______15．已知拋物線：，過焦點(diǎn)作傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，，在的準(zhǔn)線上的投影分別為，兩點(diǎn)，則__________.16．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，且的最小值為.（1）求的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B，C為E上兩個(gè)不同的點(diǎn)，其中B點(diǎn)在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四邊形AOBC的面積.18．（12分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，短軸長(zhǎng)等于焦距.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求.19．（12分）一位父親在孩子出生后，每月給小孩測(cè)量一次身高，得到前7個(gè)月的數(shù)據(jù)如下表所示．月齡1234567身高（單位：厘米）52566063656870（1）求小孩前7個(gè)月的平均身高；（2）求出身高y關(guān)于月齡x的回歸直線方程（計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)部分）；（3）利用（2）的結(jié)論預(yù)測(cè)一下8個(gè)月的時(shí)候小孩的身高參考公式：20．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，試證明：21．（12分）已知函數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)和

.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)和

.22．（10分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，和分別是和的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且.（1）證明：無論取何值，總有；（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】先求得直線AB和CD之間的距離，再求直線l與CD所在直線的距離即可解決.【題目詳解】梯形ABCD中，，，且對(duì)角線交于點(diǎn)E，則有△與△相似，相似比為，則，點(diǎn)E到CD所在直線的距離為AB和CD所在直線距離的又AB和CD所在直線的距離為，則直線l與CD所在直線的距離為2故選：B2、D【解題分析】由充分必要條件的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及利用特殊數(shù)列的分法，即可求解.【題目詳解】由題意，數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以存在，使得，即充分性成立；若存在，使得，可取，即，可得，當(dāng)，可得，此時(shí)數(shù)列不是等比數(shù)列，即必要性不成立，所以數(shù)列是等比數(shù)列為存在，使得的充分不必要條件.故選：D.3、A【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)得：，從而可求出.【題目詳解】解：成等比數(shù)列，∴根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)得：，，故選：A.4、A【解題分析】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意設(shè)直線的方程，與拋物線的方程，聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出，的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，代入三角形的面積公式求出面積【題目詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，，由題意可得直線的方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立，整理可得：，則，，所以，所以，故選：A5、C【解題分析】求出的值，結(jié)合大邊對(duì)大角定理可得出結(jié)論.【題目詳解】由正弦定理可得可得，因?yàn)?，則，故為銳角，故滿足條件的只有一個(gè).故選：C.6、D【解題分析】數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，然后可算出答案.【題目詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列所以故選：D7、D【解題分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可計(jì)算作答.【題目詳解】依題意，，即有，而，則過點(diǎn)，斜率為1的直線方程為：，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為.故選：D8、A【解題分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，進(jìn)而得時(shí)，，在上為增函數(shù)，然后判斷充分性和必要性即可.【題目詳解】解：因?yàn)榈亩x域是，所以，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù).所以在上為增函數(shù)，是充分條件；反之，在上為增函數(shù)或，不是必要條件.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，屬于中檔題.9、A【解題分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)有，結(jié)合已知求出基本量，再由即可得答案.【題目詳解】因?yàn)?，，且q為整數(shù)，所以，，即q=2.所以.故選：A10、A【解題分析】求出平移后的直線方程，再利用直線與圓相切并借助點(diǎn)到直線距離公式列式計(jì)算作答.【題目詳解】將直線先向右平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位所得直線方程為，因直線與圓相切，從而得，即，解得或，所以c的值為8或-2.故選：A11、D【解題分析】先判斷出命題，的真假，即可判斷.【題目詳解】因?yàn)槌闪?，所以命題為真，由可得或，所以命題為假命題，所以為真，為假，為假.故選：D.12、D【解題分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【題目詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且實(shí)半軸長(zhǎng)為4，虛半軸長(zhǎng)為5，可得a＝4，b＝5，所以雙曲線方程為：＝1.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由的導(dǎo)數(shù)為，將代入，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：.14、【解題分析】建立空間直角坐標(biāo)系，令正四面體的棱長(zhǎng)為，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出異面直線所成角的余弦值；【題目詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正四面體的棱長(zhǎng)為，則，所以，所以，所以，，，，，設(shè)，因?yàn)椋?，所以，所以，，設(shè)直線與所成角為，則故答案為：15、【解題分析】設(shè)，則，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理即得.【題目詳解】由拋物線：可知?jiǎng)t焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴過焦點(diǎn)且斜率為的直線方程為,化簡(jiǎn)可得，設(shè)，則，由可得，所以則故答案為：16、【解題分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【題目詳解】由，所以，而，所以切線方程為：，令，得，令，得，所以三角形的面積為：，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合拋物線定義，可求得，即得拋物線方程；（2）由題意推出四邊形AOBC是菱形.，設(shè)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可表示出B,C的坐標(biāo)，從而利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得所設(shè)參數(shù)值，進(jìn)而求得答案.【小問1詳解】的準(zhǔn)線為：，作于R，根據(jù)拋物線的定義有，所以，因?yàn)樵诘膬?nèi)側(cè)，所以當(dāng)P，Q，R三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)，解得，所以的方程為.小問2詳解】因?yàn)锳B，OC互相垂直平分，所以四邊形AOBC是菱形.由，得軸，設(shè)點(diǎn)，則，由拋物線的對(duì)稱性知，，，.由，得，解得,所以在菱形中，，邊上的高，所以菱形的面積.18、（1）；（2）.【解題分析】（1）由橢圓頂點(diǎn)可知，又短軸長(zhǎng)等于焦距可知，求出，即可寫出橢圓方程（2）根據(jù)“點(diǎn)差法”可求直線的斜率，寫出直線方程，聯(lián)立橢圓方程可得，，代入弦長(zhǎng)公式即可求解.【題目詳解】（1）依題意，解得.故橢圓方程為.（2）設(shè)的坐標(biāo)分別為，，直線的斜率顯然存在，設(shè)斜率為，則，兩式相減得，整理得.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立，得，則，，故.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，“點(diǎn)差法”，弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題.19、（1）62；（2）；（3）74.【解題分析】（1）直接利用平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；（2）套公式求出b、a，求出回歸方程；（3）把x=8代入回歸方程即可求出.【小問1詳解】小孩前7個(gè)月的平均身高為.【小問2詳解】(2)設(shè)回歸直線方程是.由題中的數(shù)據(jù)可知.，..計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)部分,所以,于是，所以身高y關(guān)于月齡x的回歸直線方程為.【小問3詳解】由(2)知,.當(dāng)x=8時(shí),y=3×8+50=74,所以預(yù)測(cè)8個(gè)月的時(shí)候小孩的身高為74厘米.20、（1）答案見解析（2）證明見解析【解題分析】（1）依據(jù)導(dǎo)函數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）等價(jià)轉(zhuǎn)化和構(gòu)造新函數(shù)在不等式證明中可以起到關(guān)鍵性作用.【小問1詳解】的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則有二正根，由，得由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，所以，不妨設(shè)，則由于，所以等價(jià)于設(shè)函數(shù)，在單調(diào)遞減，又，從而所以，故.【題目點(diǎn)撥】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理21、（1），（2）【解題分析】（1）將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入，計(jì)算求解，即可得答案.（2）由（1）可得解析式，即可得，利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得答案.【小問1詳解】由已知，可得，所以，解得，

.【小問2詳解】由（1）得，又，所以，故

.22、（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【解題分析】（1）以點(diǎn)