山西省呂梁市西衛(wèi)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

山西省呂梁市西衛(wèi)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)y=ax2+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函數(shù)，在[﹣1，+∞）上是減函數(shù)，則(

)A．b＞0且a＜0 B．b=2a＜0C．b=2a＞0 D．a(chǎn)，b的符號不確定參考答案：B【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】利用對稱軸的公式求出對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到，得到選項(xiàng)．【解答】解：∵函數(shù)y=ax2+bx+3的對稱軸為∵函數(shù)y=ax2+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函數(shù)，在[﹣1，+∞）上是減函數(shù)∴∴b=2a＜0故選B【點(diǎn)評】解決與二次函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題，一般要考慮二次函數(shù)的開口方向、對稱軸．2.若函數(shù)f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g（x）=loga（x+k）的圖象是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】由函數(shù)f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，則由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，我們可得k=1，a＞1，由此不難判斷函數(shù)的圖象．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函數(shù)則f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（ax﹣a﹣x）=0則k=1又∵函數(shù)f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)則a＞1則g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函數(shù)圖象必過原點(diǎn)，且為增函數(shù)故選C3.一個圓錐的底面直徑和它的高都與某一個球的直徑相等，這時圓錐側(cè)面積與球的表面積之比為A．

B．

C．

D．參考答案：C4.一個鉛球的直徑是一個壘球的直徑的2倍，一個皮球的直徑又是一個鉛球直徑的3倍，則皮球的體積是壘球體積的（

）

A．倍；

B．倍；

C．倍；

D．倍．參考答案：C略5.已知是R上的增函數(shù)，點(diǎn)在的圖像上，是它的反函數(shù)，那么不等式的解集是（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C6.如圖是一個幾何體的三視圖，圖中每個小正方形邊長均為，則該幾何體的表面積是：A.

B.

C.

D.參考答案：B幾何體為一個四棱錐P-ABCD，底面為邊長為2的正方形，高為2，,因?yàn)?，所以幾何體的表面積是選B.

7.已知函數(shù)f（+1）=x+1，則函數(shù)f（x）的解析式為（）A．f（x）=x2 B．f（x）=x2+1（x≥1）C．f（x）=x2﹣2x+2（x≥1） D．f（x）=x2﹣2x（x≥1）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】計(jì)算題．【分析】通過換元：令，將已知條件中的x都換為t，得到關(guān)于t的函數(shù)解析式，再將t換為x即可．【解答】解：令則x=（t﹣1）2

（t≥1）∴f（t）=（t﹣1）2+1=t2﹣2t+2∴f（x）=x2﹣2x+2（x≥1）故選C【點(diǎn)評】已知f（ax+b）的解析式來求f（x）的解析式，一般通過換元的方法或配湊的方法．8.已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和N={x|x=2k﹣1，k=1，2，…}的關(guān)系的韋恩（Venn）圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．無窮多個參考答案：B【考點(diǎn)】Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意，分析可得陰影部分所示的集合為M∩N，進(jìn)而可得M與N的元素特征，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分析可得陰影部分所示的集合為M∩N，又由M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3，即M={x|﹣1≤x≤3}，在此范圍內(nèi)的奇數(shù)有1和3．所以集合M∩N={1，3}共有2個元素，故選B．【點(diǎn)評】本題考查集合的圖表表示法，注意由Venn圖表分析集合間的關(guān)系，陰影部分所表示的集合．9.若，則等于（） A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；平面向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用． 【專題】計(jì)算題． 【分析】以和為基底表示，設(shè)出系數(shù)，用坐標(biāo)形式表示出兩個向量相等的形式，根據(jù)橫標(biāo)和縱標(biāo)分別相等，得到關(guān)于系數(shù)的二元一次方程組，解方程組即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴（﹣1，2）=m（1，1）+n（1，﹣1）=（m+n，m﹣n） ∴m+n=﹣1，m﹣n=2， ∴m=，n=﹣， ∴ 故選B． 【點(diǎn)評】用一組向量來表示一個向量，是以后解題過程中常見到的，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數(shù)問題等．10.函數(shù)f（x）=ex﹣的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理，對照選項(xiàng)，只須驗(yàn)證f（0），f（），f（），等的符號情況即可．也可借助于圖象分析：畫出函數(shù)y=ex，y=的圖象，由圖得一個交點(diǎn)．【解答】解：畫出函數(shù)y=ex，y=的圖象：由圖得一個交點(diǎn)，由于圖的局限性，下面從數(shù)量關(guān)系中找出答案．∵，，∴選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的最小正周期是____.參考答案：π【分析】將三角函數(shù)化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用周期公式得到答案.【詳解】由于所以【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡，周期公式，屬于簡單題.12.已知，若，，則a=

，b=

.參考答案：4，213.若{an}是等差數(shù)列，a4=15，a9=55，則過點(diǎn)P（3，a3），Q（13，a8）的直線的斜率為_________．參考答案：414.不等式的解集為___________。參考答案：解析：（不等式單元測驗(yàn)第17題）∵，∴，∴(x-4)(x+2)<0，∴解集為(-2，4)。

15.一張坐標(biāo)紙對折一次后，點(diǎn)與點(diǎn)重疊，若點(diǎn)與點(diǎn)重疊，則_________．參考答案：7分析】先求出對稱軸，根據(jù)與和對稱軸的關(guān)系求解.【詳解】的中點(diǎn)為，直線的斜率，所以對稱軸方程為，的中點(diǎn)為，則①由題意得直線與平行，所以即②聯(lián)立①②解得.所以【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)線點(diǎn)對稱問題，考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力..16.集合的真子集的個數(shù)為

▲

．參考答案：717.已知向量滿足，，，若，則

。

參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知（1）化簡f（α）（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．參考答案：考點(diǎn)： 運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值．專題： 計(jì)算題．分析： （1）利用誘導(dǎo)公式化簡f（α）的結(jié)果為cosα．（2）利用誘導(dǎo)公式求出sinα，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cosα，從而得到f（α）的值．解答： （1）==cosα．（2）∵，∴，又∵α為第三象限角，∴，∴．點(diǎn)評： 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，化簡f（α）是解題的突破口．19.已知函數(shù)(Ⅰ)求的定義域；(Ⅱ)判斷的奇偶性并予以證明；(Ⅲ)當(dāng)a＞1時，求使的x的解集．參考答案：(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，則解得－1＜x＜1故所求函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|－1＜x＜1}．(2)由(1)知f(x)的定義域?yàn)閧x|－1＜x＜1}，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)．(3)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)當(dāng)a＞1時，f(x)在定義域{x|－1＜x＜1}內(nèi)是增函數(shù)，

由f(x)＞0得loga(x＋1)＞loga(1－x)，所以x＋1＞1－x，得x＞0，而－1＜x＜1，解得0＜x＜1.，所以使f(x)＞0的x的解集是{x|0＜x＜1}．20.已知向量,,且，其中．（1）求和的值；（2）求|2-|參考答案：1）解：∵,,且，

∴

ks5u2分

∵,

,解得,

∴.

……6分

（2）2=，2-=…………9分

|2-|=………………12分略21.如圖，正四棱錐S-ABCD的底面是邊長為正方形，為底面對角線交點(diǎn)，側(cè)棱長是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).

（Ⅰ）求證：AC⊥SD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，為中點(diǎn),求證:∥平面PAC;（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，

使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由。參考答案：證明：（Ⅰ）連接SO

1分

又

2分

又

3分又

4分（Ⅱ）連接OP

5分

又

6分

因?yàn)?；所以?/p>

7分

又∥平面PAC

8分（Ⅲ）解：存在E，

使得BE∥平面PAC.

過∥，連接，則為所要求點(diǎn).

∥，

∥平面PAC

由（Ⅱ）知：∥平面PAC，而

∥平面PAC

10分∥平面PAC

∥，中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)

12分所以，在側(cè)棱上存在點(diǎn)，當(dāng)時，∥平面PAC

.22.若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)有“和一點(diǎn)”.（1）函數(shù)是否有“和一點(diǎn)”？請說明理由；（2）若函數(shù)有“和一點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）求證：有“和一點(diǎn)”.參考答案：（1）不存在；（2）a＞﹣2；（3）見解析【分析】（1）解方程即可判斷；（2）由題轉(zhuǎn)化為2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，分離參數(shù)a＝2x﹣2求值域即可求解；（3）由題意判斷方程cos（x+1）＝cosx+cos1是否有解即可．【詳解】（1）若函數(shù)有“和一點(diǎn)”，則不合題意故不存在（2）若函數(shù)f（x）＝2x+a+2x有“和一點(diǎn)”.則方程f（x+1）＝f（x）+f（1）有解，即2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，即a＝2x﹣2有解，故a＞﹣2；（3）證明：令f（x+1）＝f（x）+f（1），即cos（x+1）＝cosx+cos