2024屆云南省昆明市祿勸縣一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆云南省昆明市祿勸縣一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過點(diǎn)且斜率為的直線方程為（）A. B.C D.2．如圖，用隨機(jī)模擬方法近似估計(jì)在邊長(zhǎng)為e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中陰影部分的面積，先產(chǎn)生兩組區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)和，因此得到1000個(gè)點(diǎn)對(duì)，再統(tǒng)計(jì)出落在該陰影部分內(nèi)的點(diǎn)數(shù)為260個(gè)，則此陰影部分的面積約為（）A.0.70 B.1.04C.1.86 D.1.923．已知數(shù)列，，則下列說法正確的是（）A.此數(shù)列沒有最大項(xiàng) B.此數(shù)列的最大項(xiàng)是C.此數(shù)列沒有最小項(xiàng) D.此數(shù)列的最小項(xiàng)是4．圍棋起源于中國(guó)，據(jù)先秦典籍世本記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年歷史．圍棋不僅能抒發(fā)意境、陶冶情操、修身養(yǎng)性、生慧增智，而且還與天象易理、兵法策略、治國(guó)安邦等相關(guān)聯(lián)，蘊(yùn)含著中華文化的豐富內(nèi)涵．在某次國(guó)際圍棋比賽中，規(guī)定甲與乙對(duì)陣，丙與丁對(duì)陣，兩場(chǎng)比賽的勝者爭(zhēng)奪冠軍，根據(jù)以往戰(zhàn)績(jī)，他們之間相互獲勝的概率如下：甲乙丙丁甲獲勝概率乙獲勝概率丙獲勝概率丁獲勝概率則甲最終獲得冠軍的概率是（）A.0.165 B.0.24C.0.275 D.0.365．等差數(shù)列中，若，則（）A.42 B.45C.48 D.516．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，的面積為10，則的值為（）A. B.C. D.7．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列中，前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在直線上，則=A. B.C. D.9．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A.2 B.3C.4 D.510．將6位志愿者分成4組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人，分赴廣交會(huì)的四個(gè)不同地方服務(wù)，不同的分配方案有（）種A.· B.·C. D.11．橢圓的兩焦點(diǎn)之間的距離為A. B.C. D.12．命題“對(duì)任意，都有”的否定是（）A.對(duì)任意，都有 B.存在，使得C.對(duì)任意，都有 D.存在，使得二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則p的值為______14．已知函數(shù)的圖象與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，則的外接圓E的方程是________15．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意，，若，，則的取值范圍是___________.16．一個(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為2，該圓柱的表面積為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱柱中，，，，四邊形為菱形，在平面ABCD內(nèi)的射影O恰好為AD的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.18．（12分）已知圓C：的半徑為1（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷直線l：與圓C是否相交？若不相交，請(qǐng)說明理由；若相交，請(qǐng)求出弦長(zhǎng)19．（12分）已知函數(shù)（1）若在點(diǎn)處的切線與軸平行，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：；（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC的中點(diǎn)，，，（1）求證：；（2）求直線PB與平面MQB所成角的正弦值21．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求B（2）___________，若問題中的三角形存在，試求出；若問題中的三角形不存在，請(qǐng)說明理由.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.22．（10分）已知拋物線C：經(jīng)過點(diǎn)（1，-1）.（1）求拋物線C的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)P作圓M：的一條切線，切點(diǎn)為A，求切線長(zhǎng)|PA|的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【題目詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.2、D【解題分析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可直接求出答案.【題目詳解】易知，根據(jù)幾何概型的概率公式，得，所以.故選：D.3、B【解題分析】令，則，，然后利用函數(shù)的知識(shí)可得答案.【題目詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由雙勾函數(shù)的知識(shí)可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以當(dāng)即時(shí)，取得最大值，所以此數(shù)列的最大項(xiàng)是，最小項(xiàng)為故選：B4、B【解題分析】先求出甲第一輪勝出的概率，再求出甲第二輪勝出的概率，即可得出結(jié)果.【題目詳解】甲最終獲得冠軍的概率，故選：B.5、C【解題分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【題目詳解】依題意是等差數(shù)列，，.故選：C6、A【解題分析】由同角公式求出，根據(jù)三角形面積公式求出，根據(jù)余弦定理求出，根據(jù)正弦定理求出.【題目詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋拿娣e為10，所以，故，從而，解得，由正弦定理得：.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了同角公式，考查了三角形的面積公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.【題目詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C8、C【解題分析】點(diǎn)在一次函數(shù)上的圖象上，，數(shù)列為等差數(shù)列，其中首項(xiàng)為，公差為，，數(shù)列的前項(xiàng)和，，故選C考點(diǎn)：1、等差數(shù)列；2、數(shù)列求和9、C【解題分析】依據(jù)橢圓和雙曲線定義和題給條件列方程組，得到關(guān)于橢圓的離心率和雙曲線的離心率的關(guān)系式，即可求得的值.【題目詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，令，不妨設(shè)則，解之得代入，可得整理得，即，也就是故選：C10、B【解題分析】先按要求分為四組，再四個(gè)不同地方，四個(gè)組進(jìn)行全排列.【題目詳解】?jī)蓚€(gè)組各2人，兩個(gè)組各1人，屬于部分平均分組，要除以平均分組的組數(shù)的全排列，故分組方案有種，再將分得的4組，分配到四個(gè)不同地方服務(wù)，則不同的分配方案有種.故選：B11、C【解題分析】根據(jù)題意，由于橢圓的方程為,故可知長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)為,那么可知兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此可知兩焦點(diǎn)之間的距離為，故選C考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是將方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)式，然后結(jié)合性質(zhì)得到結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題12、B【解題分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題形式，可判斷正確答案.【題目詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題“對(duì)任意，都有”的否定是“存在，使得”故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程概念求解【題目詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)為，所以焦點(diǎn)在y軸上，所以故答案：314、【解題分析】由題可求三角形三頂點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形的外接圓的方程即求.【題目詳解】令，得或，則，∴外接圓的圓心的橫坐標(biāo)為2，設(shè)，半徑為r，由，得，則，即，得，.∴的外接圓的方程為.故答案為：.15、【解題分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得解.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，由已知可得，由可得，可得.故答案為：.16、6【解題分析】2r=2，r=1，S表=2rh+2r2=4+2=6.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）先證明，，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)镺為在平面ABCD內(nèi)的射影，所以平面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以.如圖，連接BD，在中，.設(shè)CD的中點(diǎn)為P，連接BP，因?yàn)椋?，，所以，且，則.因?yàn)?，所以，易知，所?因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?【小問2詳解】由（1）知平面ABCD，所以可以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，，所在直線分別為x，z，以平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)O且垂直于OA的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以,,，，設(shè)平面的法向量為，，，則可取平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，，，則令，得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的平面角為，由法向量的方向可知與法向量的夾角大小相等，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.18、（1）；（2）直線l與圓C相交，.【解題分析】（1）利用配方法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：因?yàn)閳AC的半徑為1，所以，得【小問2詳解】由（1）知圓C的圓心為，半徑為1設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，所以直線l與圓C相交，設(shè)其交點(diǎn)為A，B，則，即19、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解題分析】（1）由可求得實(shí)數(shù)的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求得，即可證得結(jié)論成立；（3）分析可知在上存在唯一的極值點(diǎn)，且，可得出，構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，求得的取值范圍，再構(gòu)造，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍，即可得出的取值范圍.【小問1詳解】解：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?由題意可得，解得.【小問2詳解】證明：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，其中，則，故函數(shù)在上遞減，因?yàn)?，，所以，存在，使得，則，且，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，.【小問3詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，其中，則，所以，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)在上存在唯一的極值點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)，且，即，所以，，令，其中，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，由，可得，?gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).20、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）根據(jù)等腰三角形可得，再由面面垂直的性質(zhì)得出線面垂直，即可求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角.【小問1詳解】因?yàn)镼為AD的中點(diǎn)，，所以，又因?yàn)槠矫娴酌鍭BCD，平面底面，平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以【小問2詳解】由題可知QA、QB、QP兩兩互相垂直，以QA為x軸、QB為y軸、QP為z軸建立空間坐標(biāo)系，如圖，根據(jù)題意，則，，，，，由M是棱PC的中點(diǎn)可知，，設(shè)平面MQB的法向量為，，，則，即令，則，，故平面MQB的一個(gè)法向量為，所以，所以直線PB與平面MQB所成角的正弦值為21、（1）（2）答案見解析【解題分析】（1）由正弦定理及正弦的兩角和公式可求解；（2）選擇條件①，由正弦定理及輔助角公式可求解；選擇條件②，由余弦定理及正切三角函數(shù)可求解；選擇條件③，由余弦定理可求解.【小問1詳解】由，可得，則.∴，在中，，則，∵，∴，∴，∵，∴.【小問2詳解】選擇條件①，在中，，可得，∵，∴，∴，根據(jù)輔助角公式，可得，∵，∴，即，故選擇條件②由，得