北京市首都師范大學附屬回龍觀育新學校2024年高二數學第一學期期末教學質量檢測試題含解析

北京市首都師范大學附屬回龍觀育新學校2024年高二數學第一學期期末教學質量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，滿足，則的最小值為（）A.5 B.-3C.-5 D.-92．將數列中的各項依次按第一個括號1個數，第二個括號2個數，第三個括號4個數，第四個括號8個數，第五個括號16個數，…，進行排列，，，…，則以下結論中正確的是（）A.第10個括號內的第一個數為1025 B.2021在第11個括號內C.前10個括號內一共有1025個數 D.第10個括號內的數字之和3．在四面體OABC中，點M在線段OA上，且，N為BC中點，已知，，，則等于（）A. B.C. D.4．某中學舉行黨史學習教育知識競賽，甲隊有、、、、、共名選手其中名男生名女生，按比賽規(guī)則，比賽時現(xiàn)場從中隨機抽出名選手答題，則至少有名女同學被選中的概率是（）A. B.C. D.5．某商場為了解銷售活動中某商品銷售量與活動時間之間的關系，隨機統(tǒng)計了某次銷售活動中的商品銷售量與活動時間，并制作了下表：活動時間銷售量由表中數據可知，銷售量與活動時間之間具有線性相關關系，算得線性回歸方程為，據此模型預測當時，的值為（）A B.C. D.6．在空間中，“直線與沒有公共點”是“直線與異面”的（）A.必要不充分條件 B.充要條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件7．下列命題中的假命題是（）A.，B.存在四邊相等的四邊形不是正方形C.“存在實數，使”的否定是“不存在實數，使”D.若且，則，至少有一個大于8．已知兩個向量，，且，則的值為（）A.-2 B.2C.10 D.-109．甲、乙兩組數的數據如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數、方差、極差及中位數相同的是（）A.極差 B.方差C.平均數 D.中位數10．已知是兩個數1，9的等比中項，則圓錐曲線的離心率為（）A.或 B.或C. D.11．設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關關系B.回歸直線過樣本點中心（，）C.若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg12．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，且，則橢圓的方程為A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正方形ABCD的邊長為8，取正方形ABCD各邊的中點E，F(xiàn)，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I，J，K，L，作第3個正方形IJKL.依此方法一直繼續(xù)下去.①從正方形ABCD開始，第7個正方形的邊長為___；②如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么作到第n個正方形，這n個正方形的面積之和為___.14．《九章算術》是人類科學史上應用數學的最早巔峰，書中有這樣一道題：“今有大夫、不更，簪裹、上造、公士，凡五人，共獵得五只鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？”其譯文是“現(xiàn)在有從高到低依次為大夫，不更，簪裹，上造、公士的五個不同爵次的官員，共獵得五只鹿，要按爵次商低分（即根據爵次高低分配得到的獵物數依次成等差數列），向各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，則不更所得的鹿數為_______只15．已知，滿足約束條件則的最小值為__________16．作邊長為6的正三角形的內切圓，半徑記為，在這個圓內作內接正三角形，然后再作新三角形的內切圓．如此下去，第n個正三角形的內切圓半徑記為，則______，現(xiàn)有1個半徑為的圓，2個半徑為的圓，……，個半徑為的圓，n個半徑為的圓，則所有這些圓的面積之和為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點（1）求證：∥平面；（2）求平面與平面EDC所成的二面角的正弦值18．（12分）已知，直線過且與交于兩點，過點作直線的平行線交于點（1）求證：為定值，并求點的軌跡的方程；（2）設動直線與相切于點，且與直線交于點，在軸上是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由19．（12分）如圖，四邊形是矩形，平面平面，為中點，，，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值20．（12分）已知拋物線的焦點為F，點在C上（1）求p的值及F的坐標；（2）過F且斜率為的直線l與C交于A，B兩點（A在第一象限），求21．（12分）已知函數.（1）求曲線在處的切線方程；（2）求曲線過點的切線方程.22．（10分）如圖，正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別是上的點，且.（1）求與平面所成角的正切值；（2）求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】作出可行域，作出目標函數對應的直線，平移該直線可得最優(yōu)解【題目詳解】解：作出可行域，如圖內部（含邊界），作直線，在中，，當直線向下平移時，增大，因此把直線向上平移，當直線過點時，故選：D2、D【解題分析】由第10個括號內的第一個數為數列的第512項，最后一個數為數列的第1023項，進行分析求解即可【題目詳解】由題意可得，第個括號內有個數，對于A，由題意得前9個括號內共有個數，所以第10個括號內的第一個數為數列的第512項，所以第10個括號內的第一個數為，所以A錯誤，對于C，前10個括號內共有個數，所以C錯誤，對于B，令，得，所以2021為數列的第1011項，由AC選項的分析可得2021在第10個括號內，所以B錯誤，對于D，因為第10個括號內的第一個數為，最后一個數為，所以第10個括號內的數字之和為，所以D正確，故選：D【題目點撥】關鍵點點睛：此題考查數列的綜合應用，解題的關鍵是由題意確定出第10個括號內第一個數和最后一個數分別對應數列的哪一項，考查分析問題的能力，屬于較難題3、B【解題分析】根據空間向量基本定理結合已知條件求解【題目詳解】因為N為BC中點，所以,因為M在線段OA上，且，所以，所以，故選：B4、D【解題分析】現(xiàn)場選名選手，共種情況，設，，，四位同學為男同學則沒有女同學被選中的情況，共有6種，利用對立事件進行求解，即可得到答案；【題目詳解】現(xiàn)場選名選手，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共種情況，不妨設，，，四位同學為男同學則沒有女同學被選中的情況是：，，，，，共種，則至少有一名女同學被選中的概率為.故選：.5、C【解題分析】求出樣本中心點的坐標，代入回歸直線方程，求出的值，再將代入回歸方程即可得解.【題目詳解】由表格中的數據可得，，將樣本中心點的坐標代入回歸直線方程可得，解得，所以，回歸直線方程為，故當時，.故選：C.6、A【解題分析】由于在空間中，若直線與沒有公共點，則直線與平行或異面，再根據充分、必要條件的概念判斷，即可得到結果.【題目詳解】在空間中，若直線與沒有公共點，則直線與平行或異面.故“直線與沒有公共點”是“直線與異面”的必要不充分條件.故選：A.7、C【解題分析】利用簡易邏輯的知識逐一判斷即可.【題目詳解】，故A正確；菱形的四邊相等，但不一定是正方形，故B正確；“存在實數，使”的否定是“對任意的實數都有”，故C錯誤；假設且，則，與矛盾，故D正確；故選：C8、C【解題分析】根據向量共線可得滿足的關系，從而可求它們的值，據此可得正確的選項.【題目詳解】因為，故存在常數，使得，所以，故，所以，故選：C.9、C【解題分析】根據莖葉圖依次計算甲和乙的平均數、方差、中位數和極差即可得到結果.【題目詳解】甲的平均數為：；乙的平均數為：；甲和乙的平均數相同；甲的方差為：；乙的方差為：；甲和乙的方差不相同；甲的極差為：；乙的極差為：；甲和乙的極差不相同；甲的中位數為：；乙的中位數為：；甲和乙的中位數不相同.故選：C.10、A【解題分析】根據題意可知，當時，根據橢圓離心率公式，即可求出結果；當時，根據雙曲線離心率公式,即可求出結果.【題目詳解】因為是兩個數1，9的等比中項，所以，所以，當時，圓錐曲線，其離心率為；當時，圓錐曲線，其離心率為；綜上，圓錐曲線的離心率為或.故選：A.11、D【解題分析】根據y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關關系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學某女生身高增加1cm，預測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學某女生身高為170cm，預測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤故選D12、D【解題分析】根據等腰直角三角形的性質可得，將代入橢圓方程，結合離心率為以及性質列方程組求得與的值，從而可得結果.【題目詳解】設直線與橢圓在第一象限的交點為，因為，所以，即，由可得，，故所求橢圓的方程為.故選D.【題目點撥】本題主要考查橢圓的標準方程與性質，以及橢圓離心率的應用，意在考查對基礎知識掌握的熟練程度，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.1②.【解題分析】根據題意，正方形邊長成等比數列，正方形的面積等于邊長的平方可得，然后根據等比數列的通項公式及等比數列的前n項和的公式即可求解.【題目詳解】設第n個正方形的邊長為，第n個正方形的面積為，則第n個正方形的對角線長為，所以第n+1個正方形的邊長為，，∴數列{}是首項為，公比為的等比數列，，∴，即第7個正方形的邊長為1；∴數列{}是首項為，公比為的等比數列，故答案為：1；.14、【解題分析】由題意分析，利用等差數列基本量代換列方程組即可求解.【題目詳解】記大夫，不更，簪裹，上造、公士得到的獵物數為等差數列，公差為d，由題意可得，即，解得，∴故答案為：15、2【解題分析】由題意，根據約束條件作出可行域圖，如圖所示，將目標函數轉化為，作出其平行直線，并將其在可行域內平行上下移動，當移到頂點時，在軸上的截距最小，即.16、①；②..【解題分析】設第n個三角形的邊長為，進而根據題意求出，然后根據等面積法求出，再求出；設n個半徑為的圓的面積為并求出，進而運用錯位相減法求得答案.【題目詳解】如示意圖1，設第n個三角形的邊長為，易得，則是以6為首項，為公比的等比數列，所以.如示意圖2，易得：，，所以，所以.設n個半徑為的圓的面積為，則，記所有圓的面積之和為，則，所以，兩式相減得：，即.故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解題分析】(1)連接，，連接，證明CE∥即可；(2)建立空間直角坐標系，求出平面與平面EDC的法向量，利用向量法求二面角的正弦值.【小問1詳解】如圖，連接，，連接，∵BC∥且BC＝，∴四邊形是平行四邊形，∴∥且，∵E是中點，G是中點，∴∥CG且，∴四邊形是平行四邊形，∴∥CE，∵平面，CE平面，∴CE∥平面；【小問2詳解】如圖建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則，則，設平面的法向量為，則，??；設平面EDC的法向量為，則，取，則；設平面與平面EDC所成的二面角的平面角為α，則，∴18、（1）證明見解析，（）（2）存在，【解題分析】(1)根據題意和橢圓的定義可知點的軌跡是以A，為焦點的橢圓，且，，進而得出橢圓標準方程；(2)設，聯(lián)立動直線方程和橢圓方程并消元得出關于的一元二次方程，根據根的判別式可得點P和Q的坐標，結合，利用平面向量的坐標表示列出方程組，即可解出點M的坐標.【小問1詳解】圓A：，∵，∴，又，∴∴，∴，故∴點的軌跡是以A，為焦點的橢圓，且，∴，故：（）；【小問2詳解】由，得∴，故，設，則，，故，，由可得：由對，恒成立∴故存在使得以為直徑的圓恒過定點19、（1）證明見解析；（2）【解題分析】(1)利用面面垂直的性質，證得平面，進而可得，平面即可得證；(2)在平面ABC內過點A作Ax⊥AB，以A為原點建立空間直角坐標系，借助空間向量而得解.【題目詳解】（1）因為，為中點，所以，因為是矩形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC內過點A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以點A為坐標原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖：則，，，，，則，所以，，，，由（1）知，為平面的一個法向量，設平面的法向量