第七講 二次型

第七講二次型第一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四知識(shí)脈絡(luò)圖解二次型的定義二次型的矩陣表示合同矩陣正定二次型與正定矩陣用可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)對(duì)稱矩陣合同于對(duì)角矩陣配方法配方法初等變換法順序主子式法實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì)角矩陣用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型特征值法第二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四重點(diǎn)、難點(diǎn)解讀本章通過矩陣乘法將二次型與對(duì)稱矩陣聯(lián)系起來，從而一方面使得二次型的問題可以用矩陣的理論和方法來研究，另一方面也可將對(duì)稱矩陣的問題轉(zhuǎn)化為用二次型的方法來解決，故正確寫出二次型的矩陣是研究二次型的基礎(chǔ)，應(yīng)熟練掌握。本章重點(diǎn)之一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型或?qū)ΨQ矩陣合同于對(duì)角矩陣。應(yīng)掌握配方法、初等變換法和正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，尤其是用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型更應(yīng)熟練掌握。正定二次型與正定矩陣的判定與證明是本章的另一個(gè)重點(diǎn)。對(duì)具體的實(shí)二次型或?qū)崒?duì)稱矩陣，一般用全部順序主子式大于零的充分必要條件來判定；而對(duì)于抽象的實(shí)二次型或?qū)崒?duì)稱矩陣，往往采用定義及特征值等判定其正定性。第三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四一、二次型的基本概念形如稱為標(biāo)準(zhǔn)形。稱為數(shù)域上的一個(gè)元二次型。的秩稱為的秩。稱為規(guī)范形。其中及，分別稱為的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)，兩者之差稱為的符號(hào)差。第四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例1設(shè)為階實(shí)對(duì)稱矩陣，是中元素的代數(shù)余子式，二次型（1）記，把寫成矩陣形式，并證明二次型的矩陣為。（2）二次型與的規(guī)范形是否相同？說明理由。解（1）二次型的矩陣形式為第五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四因?yàn)?，故可逆，且，由的?duì)稱知。故也是實(shí)對(duì)稱矩陣，因此二次型的矩陣為。（2）因?yàn)?，所以與合同。于是與有相同的規(guī)范形。二、用可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形1、線性變換的概念關(guān)系式稱為由到的一個(gè)線性變換。第六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四用矩陣形式可寫為其中當(dāng)時(shí)，稱線性變換是可逆的（或滿秩的）。2、用可逆的線性變換化簡(jiǎn)二次型的結(jié)論（1）數(shù)域F上的秩為的任意二次型都可經(jīng)過F上的可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形其中中有個(gè)元素非零。（2）秩為的實(shí)二次型都可經(jīng)過實(shí)的可逆線性變換化為唯一的規(guī)范形3、用可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法方法1配方法第七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的關(guān)鍵是消去交叉項(xiàng)，其要點(diǎn)是利用兩數(shù)和的平方公式與兩數(shù)平方差公式逐步消去非平方項(xiàng)，并構(gòu)造新平方項(xiàng)。方法2初等變換法用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟如下：第一步：寫出二次型的矩陣，并構(gòu)造矩陣第二步：進(jìn)行初等變換第三步：可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形第八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例1化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的可逆線性變換：解（1）方法1用配方法令即第九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四方法2用初等變換法二次型的矩陣為。由于故可逆線性變換為………………………………第十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四（2）方法1用配方法。由于所給二次型沒有平方項(xiàng)，故令令即所用的可逆線性變換為第十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四方法2用初等變換法二次型的矩陣為。由于第十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四故可逆線性變換為三、矩陣合同的判定與求法1、合同矩陣的概念設(shè)A,B是數(shù)域F上的階矩陣，如果存在數(shù)域F上的可逆階矩陣C，使則稱A與B合同。第十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四2、合同矩陣的性質(zhì)（1）矩陣的合同關(guān)系為等價(jià)關(guān)系。（2）若A與B合同，則A的秩與B的秩相等。（3）若A與B合同，且A對(duì)稱，則B也對(duì)稱。3、合同矩陣的有關(guān)結(jié)論（1）經(jīng)過可逆的線性變換，二次型的矩陣與二次型的矩陣是合同的，即（2）數(shù)域F上秩為的任何一個(gè)階對(duì)稱矩陣A都合同于一個(gè)秩為的對(duì)角矩陣D，即存在可逆矩陣C，使這里D的對(duì)角元素中有個(gè)非零。（3）秩為的階實(shí)對(duì)稱矩陣A在實(shí)數(shù)域上合同于唯一的階對(duì)角矩陣第十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四即存在階實(shí)可逆矩陣C，使4、矩陣合同的充分必要條件兩個(gè)階實(shí)對(duì)稱矩陣在實(shí)數(shù)域上合同的充分必要條件是，二者有相同的秩與符號(hào)差（即對(duì)應(yīng)二次型的符號(hào)差）。第十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例1設(shè)矩陣有一個(gè)特征值為3，求并求可逆矩陣P，使為對(duì)角矩陣。解因?yàn)?是A的特征值，所以從而，此時(shí)第十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四由于，且，可見為使為對(duì)角矩陣，實(shí)質(zhì)上是使合同于對(duì)角矩陣。的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為第十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四它們已兩兩正交，單位化得取則第十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例2求二次型的符號(hào)差。解設(shè)此二次型的矩陣為A，則可求得，所以A的特征值為故符號(hào)差=（正慣性指數(shù)）－（負(fù)慣性指數(shù)）=（正特征值個(gè)數(shù)）－（負(fù)特征值個(gè)數(shù)）第十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例3設(shè)則A與B

（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似分析易知A,B的特征值均為4，0，0，0，且A,B均為實(shí)對(duì)稱矩陣，故存在正交矩陣P,Q使得可見A,B均合同且相似于同一矩陣，A,B既合同又相似。應(yīng)選A。第二十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四四、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形1、主軸定理任意一個(gè)元二次型都可以經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形其中是A的全部特征值，正交矩陣Q的列向量是對(duì)應(yīng)特征值的兩兩正交的單位特征向量。2、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟第一步：寫出二次型的矩陣A(實(shí)對(duì)稱矩陣)第二步：求階正交矩陣Q，使得第三步：用正交變換化二次型為第二十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例1已知二次型通過正交變換化成，求參數(shù)及所用的正交變換矩陣。解根據(jù)題設(shè)條件，變換前后二次型的矩陣分別為它們是（正交）相似的，于是，展開得取得，從而，又。故此時(shí)第二十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四可求得A對(duì)應(yīng)特征值的特征向量分別為單位化得故所用的正交變換矩陣可取為第二十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四五、正定矩陣的判定與證明1、正定二次型與正定矩陣的概念設(shè)是元實(shí)二次型（A為實(shí)對(duì)稱矩陣），如果對(duì)任意不全為零的實(shí)數(shù)，都有則稱為正定二次型，A為正定矩陣；如果對(duì)任意不全為零的實(shí)數(shù)，都有則稱為負(fù)定二次型，A為負(fù)定矩陣；如果則稱為半正定二次型，A為半正定矩陣。2、判定正定二次型與正定矩陣的充分必要條件（1）元實(shí)二次型是正定的充分必要條件是它的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)全為正，即它的正慣性指數(shù)為。（2）階實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定的充分必要條件是A與單位矩陣E合同。第二十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四（3）階實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定的充分必要條件是，存在階實(shí)可逆矩陣C，使得（4）階實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定的充分必要條件是A的順序主子式（5）階實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定的充分必要條件是A的特征值都大于零。類似地，可以得到判定負(fù)定二次型與負(fù)定矩陣的充分必要條件。第二十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四3、正定矩陣的判定與證明方法正定矩陣必須是實(shí)對(duì)稱矩陣，因此在論證之前應(yīng)注意A是否為實(shí)對(duì)稱矩陣，若不是實(shí)對(duì)稱矩陣，根本談不上正定性。對(duì)于具體給出的實(shí)對(duì)稱矩陣A，判斷A是否正定通常是檢驗(yàn)A的各階順序主子式是否都大于零。對(duì)于抽象給出的實(shí)對(duì)稱矩陣A，常采用如下一些方法判斷其正定性。方法1利用定義：即對(duì)任意列向量，恒有二次型，則有A為正定矩陣。當(dāng)證明若干個(gè)矩陣之積或之和為正定矩陣，常用此法。方法2利用特征值：當(dāng)A的所有特征值大于零時(shí)，A為正定矩陣。當(dāng)證明矩陣A的各種運(yùn)算，如數(shù)乘、方冪、逆矩陣、伴隨矩陣、多項(xiàng)式矩陣等為正定矩陣時(shí)，常用此法。第二十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例1、已知二次型則滿足（）時(shí)，二次型是正定的；滿足（）時(shí)，二次型是負(fù)定的。

應(yīng)填分析二次型的矩陣為可求得A的各階順序主子式故當(dāng)時(shí)，，A為正定矩陣。故當(dāng)時(shí)，，A為負(fù)定矩陣。第二十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例2、證明：若A為正定矩陣，則也為正定矩陣。證1由于A正定，所以，且對(duì)有又，從而對(duì)任意有注意：，且當(dāng)時(shí)又即是對(duì)稱矩陣，故是正定矩陣。法2同上可證是實(shí)對(duì)稱矩陣。設(shè)是A的特征值，由A正定知，而的特征值為，且，故為正定矩陣。第二十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例3、設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，且滿足條件已知A的秩。（1）求A的全部特征值；（2）當(dāng)為何值時(shí)，矩陣為正定矩陣。解法1（1）設(shè)為A的一個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為，則，于是從而由條件推知，又由于故有解得因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣A必可對(duì)角化，且，所以因此，矩陣A的全部特征值為第二十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四（2）矩陣仍為實(shí)對(duì)稱矩陣，由（1）知，的全部特征值為于是，當(dāng)時(shí)，矩陣的全部特征值大于零。因此，矩陣為正定矩陣。法2（1）同解法1.（2）實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化，故存在可逆矩陣P，使得于是從而即而為正定矩陣只需。因此當(dāng)時(shí)，矩陣為正定矩陣。第三十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四4、由正定矩陣證明其他結(jié)論已知A是正定矩陣，求證其他的結(jié)論，這類問題中A一般是抽象矩陣，由A的對(duì)稱正定性知，存在正交矩陣Q使得其中再由此展開討論即可。例1、設(shè)A是正定矩陣，證明證法1因?yàn)锳是正定矩陣，所以存在正交矩陣Q，使得其中于是第三十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四法2設(shè)是A的特征值，由A正定知又的特征值為從而（1）存在可逆線性變換使其中（2）上述為的實(shí)根。例2、設(shè)是兩個(gè)實(shí)二次型且