第10章 算法初步、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 第3節(jié)　用樣本估計(jì)總體

第3節(jié)用樣本估計(jì)總體考試要求1.了解分布的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫(huà)頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn)；2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋?zhuān)?.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想；5.會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.1.頻率分布直方圖(1)頻率分布表的畫(huà)法：第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq\f(極差,組數(shù))；第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表.(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，每個(gè)小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率.2.莖葉圖統(tǒng)計(jì)中一種被用來(lái)表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù).3.樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)：把n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)稱(chēng)為a1，a2，…，an這n個(gè)數(shù)的平均數(shù).(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2].1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.2.平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).()(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)越集中.()(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大.()(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)懀覀?cè)的葉按從小到大的順序?qū)懀嗤臄?shù)據(jù)可以只記一次.()答案(1)√(2)×(3)√(4)×解析(2)錯(cuò)誤.方差越大，這組數(shù)據(jù)越離散.(4)錯(cuò)誤.在莖葉圖中，相同的數(shù)據(jù)葉要重復(fù)記錄，故(4)錯(cuò)誤.2.(2021·天津卷)從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組：[66，70)，[70，74)，…，[94，98]，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評(píng)分在區(qū)間[82，86)內(nèi)的影視作品數(shù)量是()A.20 B.40 C.64 D.80答案D解析由頻率分布直方圖可知，評(píng)分在區(qū)間[82，86)內(nèi)的影視作品數(shù)量為400×0.05×4＝80.3.若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分莖葉圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A.91.5和91.5 B.91.5和92C.91和91.5 D.92和92答案A解析這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87，89，90，91，92，93，94，96，∴中位數(shù)是eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.4.(易錯(cuò)題)已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖，則眾數(shù)是________，平均數(shù)是________.答案6567解析因?yàn)樽罡咝￠L(zhǎng)方形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為65，所以眾數(shù)為65；平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝(55×0.030＋65×0.040＋75×0.015＋85×0.010＋95×0.005)×10＝67.5.(2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷改編)下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的所有正確編號(hào)有________.①樣本x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差②樣本x1，x2，…，xn的中位數(shù)③樣本x1，x2，…，xn的極差④樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)答案①③解析由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).故①③正確.6.(易錯(cuò)題)若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝5，方差s2＝2，則數(shù)據(jù)3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)和方差分別為_(kāi)_______.答案16，18解析∵x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5，∴3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)是3×5＋1＝16，∵x1，x2，x3，…，xn的方差為2，∴3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.考點(diǎn)一頻率分布直方圖例1某公司為了解用戶(hù)對(duì)其產(chǎn)品的滿(mǎn)意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶(hù)，根據(jù)用戶(hù)對(duì)產(chǎn)品的滿(mǎn)意度評(píng)分，得到A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻數(shù)分布表.A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻率分布直方圖圖①B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻數(shù)分布表滿(mǎn)意度評(píng)分分組[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)2814106(1)在圖②中作出B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過(guò)直方圖比較兩地區(qū)滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)；B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻率分布直方圖圖②(2)根據(jù)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分，將用戶(hù)和滿(mǎn)意度分為三個(gè)等級(jí)：滿(mǎn)意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿(mǎn)意度等級(jí)不滿(mǎn)意滿(mǎn)意非常滿(mǎn)意估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意的概率大？說(shuō)明理由.解(1)作出頻率分布直方圖如圖：通過(guò)兩地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值；B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分比較集中，而A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分比較分散.(2)A地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意的概率大.記CA表示事件：“A地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意”.由直方圖得P(CA)的估計(jì)值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估計(jì)值為(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意的概率大.感悟提升1.頻率分布直方圖的性質(zhì).(1)小長(zhǎng)方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率；(2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1；(3)小長(zhǎng)方形的高＝eq\f(頻率,組矩).2.要理解并記準(zhǔn)頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的關(guān)系.訓(xùn)練1(2021·江西省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體于2021年進(jìn)行了一次校際數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過(guò)評(píng)判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.得分在[40，60)之間的共有40人B.從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在[60，80)的概率為0.5C.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65D.可求得a＝0.005答案C解析對(duì)于A，得分在[40，60)之間的有100×[1－(0.030＋0.020＋0.010)×10]＝40(人)，故A正確；對(duì)于B，從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在[60，80)的概率為(0.030＋0.020)×10＝0.5，故B正確；對(duì)于D，由(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，故D正確；對(duì)于C，得分在[40，60)的頻率為(0.005＋0.035)×10＝0.4，得分在[60，70)的頻率為0.030×10＝0.3，∴這100名參賽者得分的中位數(shù)為60＋eq\f(0.5－0.4,0.3)×10≈63.3，故C錯(cuò)誤.考點(diǎn)二統(tǒng)計(jì)圖表及應(yīng)用角度1扇形圖例2(2022·鄭州模擬)某高中為了解學(xué)生課外知識(shí)的積累情況，隨機(jī)抽取200名同學(xué)參加課外知識(shí)測(cè)試，測(cè)試共5題道，每答對(duì)一題得20分，答錯(cuò)得0分.已知每名同學(xué)至少能答對(duì)2道題，得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測(cè)試成績(jī)百分比分布圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是()A.該次課外知識(shí)測(cè)試及格率為90%B.該次課外知識(shí)測(cè)試得滿(mǎn)分的同學(xué)有30名C.該次測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)大于測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)D.若該校共有3000名學(xué)生，則課外知識(shí)測(cè)試成績(jī)能得優(yōu)秀的同學(xué)大約有1440名答案C解析由題圖可知及格率為1－8%＝92%，故A錯(cuò)誤.該次課外知識(shí)測(cè)試得滿(mǎn)分同學(xué)占的百分比為1－8%－32%－48%＝12%，則得滿(mǎn)分的同學(xué)有12%×200＝24(名)，故B錯(cuò)誤.中位數(shù)為80分，平均數(shù)為40×8%＋60×32%＋80×48%＋100×12%＝72.8分，故C正確.3000×(48%＋12%)＝1800(名)，故D錯(cuò)誤.角度2折線圖例3(2021·昆明診斷)“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過(guò)搜索引擎，以每天搜索關(guān)鍵詞的次數(shù)為基礎(chǔ)所得到的統(tǒng)計(jì)指標(biāo).搜索指數(shù)越大，表示網(wǎng)民搜索該關(guān)鍵詞的次數(shù)越多，對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度也越高.如圖是2019年9月到2020年2月這半年來(lái)某個(gè)關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)該統(tǒng)計(jì)圖判斷，下列結(jié)論正確的是()A.這半年來(lái)，網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度呈周期性變化B.這半年來(lái)，網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度不斷減弱C.從該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來(lái)看，2019年10月的方差小于11月的方差D.從該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來(lái)看，2019年12月的平均值大于2020年1月的平均值答案D解析由統(tǒng)計(jì)圖可知，這半年來(lái)，該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的周期性并不顯著，排除A；由統(tǒng)計(jì)圖可知，這半年來(lái)，該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)的整體減弱趨勢(shì)不顯著，排除B；由統(tǒng)計(jì)圖可知，2019年10月該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)波動(dòng)較大，11月的波動(dòng)較小，所以2019年10月的方差大于11月的方差，排除C；由統(tǒng)計(jì)圖可知，2019年12月該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)大多高于10000，該月平均值大于10000，2020年1月該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)大多低于10000，該月平均值小于10000，選D.角度3莖葉圖例4(2022·西安模擬)中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主辦，是全國(guó)中學(xué)生級(jí)別最高、規(guī)模最大、最具影響力的數(shù)學(xué)競(jìng)賽.某重點(diǎn)高中為參加中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克做準(zhǔn)備，對(duì)該校數(shù)學(xué)集訓(xùn)隊(duì)進(jìn)行一次選拔賽，所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，則該集訓(xùn)隊(duì)考試成績(jī)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為()A.85，75 B.85，76C.74，76 D.75，77答案B解析由莖葉圖知，出現(xiàn)的數(shù)據(jù)最多的是85，故眾數(shù)為85；由于數(shù)據(jù)總數(shù)為14個(gè)，故中位數(shù)為排序后第七個(gè)和第八個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即eq\f(75＋77,2)＝76，故選B.感悟提升1.通過(guò)扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚的表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.2.折線圖可以顯示隨時(shí)間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢(shì).3.莖葉圖的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一.(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏.(3)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計(jì)數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小.訓(xùn)練2(1)由于受疫情的影響，學(xué)校停課，同學(xué)們通過(guò)三種方式在家自主學(xué)習(xí)，現(xiàn)學(xué)校想了解同學(xué)們對(duì)假期學(xué)習(xí)方式的滿(mǎn)意程度，收集如圖1所示的數(shù)據(jù)；教務(wù)處通過(guò)分層抽樣的方法抽取4%的同學(xué)進(jìn)行滿(mǎn)意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.樣本容量為240B.若m＝50，則本次自主學(xué)習(xí)學(xué)生的滿(mǎn)意度不低于四成C.總體中對(duì)方式二滿(mǎn)意的學(xué)生約為300人D.樣本中對(duì)方式一滿(mǎn)意的學(xué)生為24人(2)(2022·南昌測(cè)試)愛(ài)美之心，人皆有之，健身減肥已成為很多肥胖者業(yè)余選擇的項(xiàng)目.為了了解運(yùn)動(dòng)健身減肥的效果，某健身房調(diào)查了40名肥胖者，健身之前他們的體重(單位：kg)情況如柱狀圖1所示，經(jīng)過(guò)四個(gè)月的健身后，他們的體重情況如柱狀圖2所示，對(duì)比健身前后，關(guān)于這40名肥胖者，下面結(jié)論不正確的是()A.他們健身后，體重在區(qū)間[90，100)內(nèi)的人數(shù)增加了4B.他們健身后，體重在區(qū)間[100，110)內(nèi)的人數(shù)沒(méi)有改變C.因?yàn)榻∩砬昂篌w重在區(qū)間[100，110)內(nèi)的人數(shù)所占的比例沒(méi)有發(fā)生變化，所以健身對(duì)體重沒(méi)有任何影響D.他們健身后，原來(lái)體重在區(qū)間[110，120)內(nèi)的肥胖者的體重都有減少答案(1)B(2)C解析(1)選項(xiàng)A，樣本容量為6000×4%＝240，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，根據(jù)題意得自主學(xué)習(xí)的滿(mǎn)意率為eq\f(600＋300＋1250,6000)≈0.358<0.4，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，樣本可以估計(jì)總體，但會(huì)有一定的誤差，總體中對(duì)方式二滿(mǎn)意人數(shù)約為1500×20%＝300，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，樣本中對(duì)方式一滿(mǎn)意人數(shù)為2000×4%×30%＝24，該選項(xiàng)正確.(2)健身前體重在區(qū)間[90，100)，[100，110)，[110，120)內(nèi)的人數(shù)分別為40×30%，40×50%，40×20%，即12，20，8，健身后體重在區(qū)間[80，90)，[90，100)，[100，110)內(nèi)的人數(shù)分別為40×10%，40×40%，40×50%，即4，16，20.所以健身后，體重在區(qū)間[90，100)內(nèi)的人數(shù)增加了16－12＝4，故A選項(xiàng)正確；健身后，體重在區(qū)間[100，110)內(nèi)的人數(shù)與健身前一樣，同為20，故B選項(xiàng)正確；雖然健身前后體重在區(qū)間[100，110)內(nèi)的人數(shù)所占的比例沒(méi)有發(fā)生變化，但是健身后沒(méi)有體重在區(qū)間[110，120)內(nèi)的人，所以健身對(duì)體重有影響，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；健身前，體重在區(qū)間[110，120)內(nèi)的有8人，健身后沒(méi)有體重在區(qū)間[110，120)內(nèi)的人，故D選項(xiàng)正確.故選C.考點(diǎn)三樣本的數(shù)字特征例5(1)(2021·太原模擬)已知一組數(shù)據(jù)1，2，a，b，5，8的平均數(shù)和中位數(shù)均為4，其中a，b∈N*，在去掉其中的一個(gè)最大數(shù)后，該組數(shù)據(jù)的()A.平均數(shù)不變 B.中位數(shù)不變C.眾數(shù)不變 D.標(biāo)準(zhǔn)差不變(2)甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績(jī)?nèi)缦卤?單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是________.答案(1)C(2)甲解析(1)由平均數(shù)為4知，a＋b＝8；由中位數(shù)為4，得a＝b＝4或a＝3，b＝5.去掉最大數(shù)8后，根據(jù)平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的意義，知平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均變小，中位數(shù)可能是4，也可能是3，當(dāng)a＝b＝4時(shí)，眾數(shù)與原來(lái)一致，都為4；當(dāng)a＝3，b＝5時(shí)，眾數(shù)也與原來(lái)一致，都為5，故選C.(2)由題意可得eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙＝9，又∵seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(2,5)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(6,5)>seq\o\al(2,甲)，∴甲更穩(wěn)定，故最佳人選應(yīng)是甲.感悟提升1.平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，而方差、標(biāo)準(zhǔn)差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.2.用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來(lái)描述總體的數(shù)字特征.訓(xùn)練3(1)(2020·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為()A.0.01 B.0.1 C.1 D.10(2)(2022·成都診斷)構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是我國(guó)教育一直以來(lái)努力的方向.某中學(xué)積極響應(yīng)黨的號(hào)召，開(kāi)展各項(xiàng)有益于德智體美勞全面發(fā)展的活動(dòng).如圖所示的是該校高三(1)(2)班兩個(gè)班級(jí)在某次活動(dòng)中的德智體美勞的評(píng)價(jià)得分對(duì)照?qǐng)D(得分越高，說(shuō)明該項(xiàng)教育越好).下列說(shuō)法正確的是()A.高三(2)班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的極差為1.5B.除體育外，高三(1)班的各項(xiàng)評(píng)價(jià)得分均高于高三(2)班對(duì)應(yīng)的得分C.高三(1)班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)比高三(2)班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)要高D.各項(xiàng)評(píng)價(jià)得分中，這兩班的體育得分相差最大答案(1)C(2)C解析(1)10x1，10x2，…，10xn的方差為102×0.01＝1.故選C.(2)高三(2)班德智體美勞各項(xiàng)得分依次為9.5，9，9.5，9，8.5，所以極差為9.5－8.5＝1，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩班的德育分相等，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，兩班的勞育得分相差最大，D錯(cuò)誤.故選C.1.一個(gè)容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數(shù)為()A.4 B.8 C.12 D.16答案B解析設(shè)頻數(shù)為n，則eq\f(n,32)＝0.25，∴n＝32×0.25＝8.2.(2021·洛陽(yáng)模擬)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示.為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A.200，20 B.100，20C.200，10 D.100，10答案A解析由圖①得樣本容量為(3500＋2000＋4500)×2%＝10000×2%＝200，抽取的高中生人數(shù)為2000×2%＝40(人)，則近視人數(shù)為40×0.5＝20(人)，故選A.3.從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高(單位：厘米)分布情況匯總?cè)缦拢荷砀遊100，110](110，120](120，130](130，140](140，150]頻數(shù)535302010由此表估計(jì)這100名小學(xué)生身高的中位數(shù)為(結(jié)果保留4位有效數(shù)字)()A.119.3 B.119.7 C.123.3 D.126.7答案C解析由題意知身高在[100，110]，(110，120]，(120，130]的頻率依次為0.05，0.35，0.3，前兩組頻率和為0.4，組距為10，設(shè)中位數(shù)為x，則(x－120)×eq\f(0.3,10)＝0.1，解得x≈123.3.故選C.4.(2021·貴陽(yáng)診斷)如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員9場(chǎng)比賽所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.甲所得分?jǐn)?shù)的極差為22B.乙所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為18C.兩人所得分?jǐn)?shù)的眾數(shù)相等D.甲所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)低于乙所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)答案D解析甲所得分?jǐn)?shù)的極差為33－11＝22，A正確；乙所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為18，B正確；甲所得分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為22，乙所得分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為22，C正確，故選D.5.某運(yùn)動(dòng)健康A(chǔ)pp可以記錄跑步(里程數(shù))或行走情況(步數(shù))，用戶(hù)通過(guò)該App可查看自己某時(shí)間段的運(yùn)動(dòng)情況.某人根據(jù)2022年1月至2022年11月期間每月跑步的里程(單位：十公里)的數(shù)據(jù)繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論不正確的是()A.月跑步里程逐月增加B.月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月C.月跑步里程的中位數(shù)為5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)D.相對(duì)6月至11月，1月至5月的月跑步里程波動(dòng)性更小、變化比較平穩(wěn)答案A解析由折線圖可知，月跑步里程并不是逐月增加，A錯(cuò)誤；月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月，B正確；月跑步里程的中位數(shù)為5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)，C正確；相對(duì)6月至11月，1月至5月的月跑步里程波動(dòng)性更小、變化比較平穩(wěn)，D正確.6.(2022·銀川質(zhì)檢)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)組成的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了一次小組競(jìng)賽，共測(cè)試了5道題，每位同學(xué)各題得分情況如下表所示：題目學(xué)生第1題第2題第3題第4題第5題甲101010200乙101051510丙1010151510丁010102020下列說(shuō)法正確的是()A.甲的平均得分比丙的平均得分高B.乙的得分極差比丁的得分極差大C.對(duì)于這4位同學(xué)，因?yàn)榈?題的平均得分比第2題的平均得分高，所以第4題相關(guān)知識(shí)一定比第2題相關(guān)知識(shí)掌握的好D.對(duì)于這4位同學(xué)，第3題得分的方差比第5題得分的方差小答案D解析選項(xiàng)A中，甲的平均得分為eq\f(10＋10＋10＋20＋0,5)＝10，丙的平均得分為eq\f(10＋10＋15＋15＋10,5)＝12，故甲的平均得分比丙的平均得分低，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，乙的得分極差為15－5＝10，丁的得分極差為20－0＝20，故乙的得分極差比丁的得分極差小，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，不清楚兩題的具體分值是否相同，所以不能通過(guò)平均分判斷這4位同學(xué)第4題相關(guān)知識(shí)一定比第2題相關(guān)知識(shí)掌握的好，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，第3題得分的平均分為eq\f(10＋5＋15＋10,4)＝10，故方差為eq\f(（10－10）2＋（5－10）2＋（15－10）2＋（10－10）2,4)＝12.5，第5題得分的平均分為eq\f(0＋10＋10＋20,4)＝10，故方差為eq\f(（0－10）2＋（10－10）2＋（10－10）2＋（20－10）2,4)＝50，所以對(duì)于這4位同學(xué)，第3題得分的方差比第5題得分的方差小.7.我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車(chē)中，有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車(chē)所有車(chē)次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為_(kāi)_______.答案0.98解析經(jīng)停該站高鐵列車(chē)所有車(chē)次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.8.某班的全體學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是____________.答案50解析由頻率分布直方圖，知低于60分的頻率為(0.010＋0.005)×20＝0.3.∴該班學(xué)生人數(shù)n＝eq\f(15,0.3)＝50.9.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_______.答案16解析依題意，x1，x2，x3，…，x10的方差s2＝64.則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差為22s2＝22×64，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(22×64)＝2×8＝16.10.(2022·哈爾濱調(diào)研節(jié)選改編)某城市交通部門(mén)為了對(duì)該城市共享單車(chē)加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車(chē)的推行情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將問(wèn)卷中的這100人根據(jù)其滿(mǎn)意度評(píng)分值(百分制)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中x的值；(2)估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù).解(1)由頻率分布直方圖得(0.005＋x＋0.035＋0.030＋0.010)×10＝1，解得x＝0.020.(2)因?yàn)樽罡咝￠L(zhǎng)方形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為75，所以估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝55×0.005×10＋65×0.020×10＋75×0.035×10＋85×0.030×10＋95×0.010×10＝77.滿(mǎn)意度評(píng)分值在[50，70)內(nèi)的頻率為(0.005＋0.020)×10＝0.25，滿(mǎn)意度評(píng)分值在[70，80)內(nèi)的頻率為0.035×10＝0.35，∴中位數(shù)為70＋eq\f(0.5－0.25,0.35)×10＝eq\f(540,7).11.(2021·全國(guó)乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為eq\o(x,\s\up6(－))和eq\o(y,\s\up6(－))，樣本方差分別記為seq\o\al(2,1)和seq\o\al(2,2).(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))≥2eq\r(\f(seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2),10))，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).解(1)由表格中的數(shù)據(jù)易得：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(－0.2＋0.3＋0＋0.2－0.1－0.2＋0＋0.1＋0.2－0.3,10)＋10.0＝10.0，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(0.1＋0.4＋0.1＋0＋0.1＋0.3＋0.6＋0.5＋0.4＋0.5,10)＋10.0＝10.3，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,10)×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,10)×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04.(2)由(1)中數(shù)據(jù)可得eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))＝10.3－10.0＝0.3，而2eq\r(\f(seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2),10))＝eq\r(\f(2,5)（seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2)）)＝eq\r(0.0304)，顯然有eq\o(y,\s\up6(－))