第七章 導(dǎo)行電磁波

第七章導(dǎo)行電磁波第一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四本章主要討論矩形波導(dǎo)、圓柱形波導(dǎo)和同軸線的傳輸模式、場分布以及傳輸特性。還將討論幾種常用微波諧振器的場分布和主要參數(shù)。用以引導(dǎo)電磁波傳輸?shù)难b置稱為導(dǎo)波裝置，或稱為傳輸線或?qū)邢到y(tǒng)。在導(dǎo)波裝置中沿一定方向傳輸?shù)碾姶挪ǚQ為導(dǎo)行電磁波。如果導(dǎo)波裝置的橫截面尺寸、形狀、介質(zhì)分布、材料及邊界均沿傳輸方向不變，則稱之為規(guī)則導(dǎo)波裝置。常用的導(dǎo)行系統(tǒng)如圖7-1所示。其中最簡單、最常用的是矩形波導(dǎo)、圓柱形波導(dǎo)和同軸線。如果將一段波導(dǎo)的兩端短路或開路，就可以構(gòu)成微波諧振器。第二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四圖7-1常用的導(dǎo)波裝置第三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四§7.1導(dǎo)行電磁波的一般分析一個理想的導(dǎo)行系統(tǒng)由無限長理想導(dǎo)體壁和各向同性均勻理想介質(zhì)填充所構(gòu)成。分析導(dǎo)行電磁波，就是要得出導(dǎo)行電磁波沿軸向（縱向）的傳播規(guī)律和電磁場在橫截面內(nèi)的分布情況。這里采用縱向分量法分析其電磁場分布。縱向分量法的思想是，將導(dǎo)行系統(tǒng)中的電磁場矢量分解為縱向分量和橫向分量，由亥姆霍茲方程得出縱向分量滿足的標量微分方程，求解該標量微分方程，得到縱向分量；再根據(jù)麥克斯韋方程組，找出橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系，用縱向分量來表示橫向分量。第四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四7.1.1導(dǎo)行電磁波的表達式

無源區(qū)域內(nèi)，時諧電磁場滿足齊次亥姆霍茲方程：（7-1-1a）

（7-1-1b）在導(dǎo)行系統(tǒng)中，電磁波沿其軸向（縱向）傳播。建立廣義柱坐標系。對于規(guī)則導(dǎo)行系統(tǒng)，電磁場在橫截面內(nèi)的分布與縱向坐標無關(guān)，行波狀態(tài)下沿方向傳播的導(dǎo)行電磁波可寫為（7-1-2a）

（7-1-2b）

第五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四拉普拉斯算子可寫為（7-1-3）將式（7-1-2）和（7-1-3）代入式（7-1-1），可得滿足的方程：

（7-1-4a）（7-1-4b)）其中（7-1-5）當時，稱為本征值，由導(dǎo)行系統(tǒng)的邊界條件和傳輸模式?jīng)Q定。導(dǎo)行系統(tǒng)問題歸結(jié)為求解方程（7-1-4）。第六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四7.1.2導(dǎo)波場縱向分量與橫向分量的微分方程將電磁場矢量表示為橫向分量和縱向分量之和，即（7-1-6a）（7-1-6b）將式（7-1-6）代入式（7-1-4），可得到關(guān)于電場以及磁場橫向分量的矢量亥姆霍茲方程和縱向分量的標量亥姆霍茲方程，即（7-1-7a）（7-1-7b）（7-1-7c）（7-1-7d）第七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四矢量方程（7-1-7a）和（7-1-7c）的求解比較困難，因此通常并不直接求解 和，而是結(jié)合導(dǎo)行系統(tǒng)的邊界條件求解標量波動方程（7-1-7b）和（7-1-7d），得到縱向場分量后，再利用場的橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系求得所有橫向分量。場的橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系式可由麥克斯韋方程組導(dǎo)出。第八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四7.1.3導(dǎo)波場的橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系式哈密頓算子也可表示為橫向分量與縱向分量之和，即（7-1-8）

將式（7-1-6）和（7-1-8）代入無源區(qū)域時諧場麥克斯韋方程組的兩個旋度方程，并注意到對于行波狀態(tài)下的導(dǎo)行波有可得（7-1-9a）

（7-1-9b）

（7-1-9c）

（7-1-9d）第九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四易看出，只要做變換、就可以由式（7-1-10）中的任一式寫出另外一式。由橫向方程(7-1-9a)和（7-1-9c）可以求得、，用乘以式（7-1-9a），對式（7-1-9c）作運算，然后兩式相加，并利用矢量恒等式，整理可得同理可得（7-1-10a）（7-1-10b）可見，只要求得了導(dǎo)波場的縱向分量，由式（7-1-10）便可確定導(dǎo)波場的所有橫向分量。式（7-1-10）即為行波狀態(tài)下場的橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系式，簡稱行波橫-縱關(guān)系式。第十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四在廣義柱坐標中，式（7-1-10）可寫為分量形式：（7-1-11a）（7-1-11b）

（7-1-11c）（7-1-11d）第十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四，（7-1-12a）其中（7-1-12b）式（7-1-11）還可以寫成便于記憶的矩陣形式：第十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四的主模。單導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的規(guī)則金屬波導(dǎo)中不能傳輸TEM波。這是因為，TEM波的電磁場均在導(dǎo)行系統(tǒng)的橫截面內(nèi)，且電場、磁場相互垂直。由可知，磁場必須圍繞傳導(dǎo)電流和（或）位移電流構(gòu)成閉合回路。

即電磁場各分量均在橫截面內(nèi)，則此種傳輸波型稱為橫電磁波，簡稱TEM波或TEM模。對于TEM波，。若電場和磁場在傳播方向上的分量、，§7.2導(dǎo)行波波型的分類以及導(dǎo)行波的傳輸特性7.2.1導(dǎo)行波波型的分類導(dǎo)行波的波型是指能夠單獨存在于導(dǎo)行系統(tǒng)中的電磁波的場結(jié)構(gòu)形式，也稱為傳輸模式。導(dǎo)行波波型大致分為三類。

1.TEM波TEM波是雙導(dǎo)體結(jié)構(gòu)傳輸系統(tǒng)（例如平行雙導(dǎo)線、同軸線）第十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四2.TE波和TM波若電場在電磁波傳播方向上的分量，即電場僅在橫截面內(nèi)，則此種波型稱為橫電波，簡稱TE波或H波。在單導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的金屬波導(dǎo)中，電流只存在于波導(dǎo)壁表面上，而在其內(nèi)部不存在傳導(dǎo)電流。因此，橫向磁場必然要由縱向電場所產(chǎn)生的位移電流來維系。而TEM波的縱向場為零，所以不可能存在TEM波。若磁場在電磁波傳播方向上的分量面內(nèi)，則此種波型稱為橫磁波，簡稱TM波或E波。，即磁場僅在橫截TE波和TM波的導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的規(guī)則金屬波導(dǎo)，如矩形波導(dǎo)、圓柱形波導(dǎo)。。常用的TE波和TM波傳輸系統(tǒng)是單3.表面波所謂表面波是指電磁波沿傳輸線表面?zhèn)鞑サ牟ㄐ汀１砻娌ㄊ荰E波和TM波的混合模式。常用的表面波傳輸系統(tǒng)有介質(zhì)波導(dǎo)和光纖等。第十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四和。7.2.2導(dǎo)行波的傳輸特性1.截止波長與傳輸條件由導(dǎo)行電磁波的表達式（7-1-2）可知，導(dǎo)行波的傳輸狀態(tài)取決于傳播常數(shù)，而滿足關(guān)系：（7-2-1）對于無損耗的理想導(dǎo)行系統(tǒng)，是實數(shù)，波長。是由導(dǎo)行系統(tǒng)邊界條件和傳輸模式所決定的本征值，也是實數(shù)。令，因此，隨著工作波長的不同，稱為截止波長。的取值有三種可能，即、為工作第十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四這表明，導(dǎo)行系統(tǒng)中的電磁場沿傳輸方向（軸）按指數(shù)規(guī)律1），即，則為實數(shù)，導(dǎo)波場表示為（7-2-3a）（7-2-3b）時為截止狀態(tài)。衰減，不是傳輸?shù)牟ǎ史Q2），即，則為虛數(shù)，導(dǎo)波場表示為（7-2-3a）（7-2-3b）上式表明，導(dǎo)行系統(tǒng)中的電磁場是沿軸傳輸?shù)牡确?，故稱時為傳輸狀態(tài)。3），即，此時（7-2-4a）（7-2-4b）第十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四可見，導(dǎo)行系統(tǒng)中的電磁場不是傳輸波，稱為臨界截止狀態(tài)。由上述可知，當時為傳輸狀態(tài)，而故導(dǎo)行系統(tǒng)的傳輸條件為時為截止狀態(tài)，（7-2-5）2．相速、波導(dǎo)波長與群速無耗的傳輸狀態(tài)下，，由式（7-2-1），有（7-2-6）按相速的定義，可得導(dǎo)行波的相速表達式：（7-2-7）第十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四導(dǎo)行系統(tǒng)中，沿軸向相位差為的兩點之間的距離稱為。根據(jù)波導(dǎo)波長的定義，有波導(dǎo)波長，記為（7-2-8）根據(jù)群速的定義，并由（7-2-9）可得導(dǎo)行波群速的表達式：（7-2-10）第十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四，因而，其相速和群速都是頻率的函數(shù)，即TE波和TM波為色散波。對于TEM波，，則有，

顯然，相速和群速滿足關(guān)系 （7-2-11）由式（7-2-7）和（7-2-10）可見，對于TE波和TM波，其傳播速度與頻率無關(guān)，因此TEM波為非色散波。3．波阻抗，導(dǎo)行系統(tǒng)中，傳輸模式的橫向電場分量振幅與橫向磁場分量振幅之比稱為導(dǎo)行波的波阻抗，記為，即（7-2-12）第十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四對于TE波，，注意到

，由行波橫—縱關(guān)系式（7-1-11），可得（7-2-13）對于TM波，，同理可得 （7-2-14）由波阻抗的定義和式（7-1-10），可以得到，無論是TE波還是TM波，其電場橫向分量與磁場橫向分量之間存在如下關(guān)系：，

（7-2-15）第二十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四4．傳輸功率導(dǎo)行波的復(fù)坡印廷矢量為可得，沿導(dǎo)行系統(tǒng)+z方向傳輸?shù)钠骄β蕿椋?-2-17）這里為導(dǎo)行系統(tǒng)的橫截面面積。對于TEM波，有（7-2-16），利用式（7-2-15）第二十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四§7.3矩形波導(dǎo)規(guī)則矩形波導(dǎo)（簡稱矩形波導(dǎo)）的橫截面為矩形，它是微波導(dǎo)行系統(tǒng)的主要形式。對于矩形波導(dǎo)，橫截面坐標采用直角坐標，設(shè)矩形波導(dǎo)橫截面的寬邊尺寸為，窄邊尺為，

如圖7-3-1所示。圖7-3-1矩形波導(dǎo)在單導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的波導(dǎo)中，只能存在TE波和TM波。下面具體分析矩形波導(dǎo)中的這兩種波型。第二十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四7.3.1矩形波導(dǎo)中的TE波行波狀態(tài)下，TE波滿足，（7-3-1）其中，滿足標量波動方程：（7-3-2）在直角坐標系中，上述方程可寫為（7-3-3）對于規(guī)則矩形波導(dǎo)，可應(yīng)用分離變量法，令（7-3-4）將上式代入式（7-3-3），整理可得第二十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四當傳輸模式一定時，（7-3-5）為常數(shù)。令則有（7-3-6a）（7-3-6b）其中 （7-3-7），第二十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四式（7-3-6a）和（7-3-6b）均為二階常系數(shù)齊次微分方程，其解為將和的解代入式（7-3-4），可得方程（7-3-2）的解：（7-3-8）式中、、、和、為待定常數(shù)，由邊界條件、傳輸模式以及激勵源的強度來確定。由理想導(dǎo)體表面電場切向分量為零的邊界條件，可得TE波的電場在波導(dǎo)內(nèi)壁上所滿足的邊界條件：， 第二十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四根據(jù)行波橫-縱關(guān)系式（7-1-11），有即，（7-3-9）綜合以上兩式，對于任何金屬波導(dǎo)，TE波的邊界條件可概括為（7-3-10)將式（7-3-8）代入式（7-3-9），可得

（7-3-11a）、第二十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四將式（7-3-11）代入式（7-3-8），并令（7-3-11b），可以得到矩形波導(dǎo)中TE波的磁場縱向分量的基本解為（7-3-12）其中，

的值由激勵源的強度決定；稱為波型指數(shù)，分別表示場在橫截面內(nèi)沿寬邊和沿窄邊的半駐波個數(shù)。不同，其場的結(jié)構(gòu)就不同，故不同的代表不同的模式，稱為?；蚰?。每一種模式可以單獨存在于矩形波導(dǎo)中，多種模式也可以同時存在于矩形波導(dǎo)中。因此，所有的組合也是方程（7-3-2）的解，于是，?？v向磁場分量的一般解為（7-3-13a）、第二十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四將上式以及代入行波橫-縱關(guān)系式（7-1-11），可

模的所有橫向電磁場分量：（7-3-13b）（7-3-13c）（7-3-13d）（7-3-13e）其中（7-3-14）式（7-3-13）是矩形波導(dǎo)中模的一般表達式。由此可見，不能同時取零，即矩形波導(dǎo)中不存在模，但可以

模、模和模。存在

得到第二十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四7.3.2矩形波導(dǎo)中的TM波行波狀態(tài)下，TM波滿足，（7-3-15）其中，滿足標量波動方程：（7-3-16）同理可以解得（7-3-17）由理想導(dǎo)體表面電場切向分量為零的邊界條件，TM波的邊界條件可概括為（7-3-18）對于矩形波導(dǎo)，具體表示為（7-3-19）第二十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四將式（7-3-17）代入式（7-3-19），可得,（7-3-20a）,（7-3-20b）所以，?？v向電場分量的一般解為（7-3-21a）將上式以及代入行波橫-縱關(guān)系式（7-1-11），可得模的所有橫向電磁場分量：（7-3-21b）（7-3-21c）（7-3-21d)）（7-3-21e）第三十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四式中，為使場量不為零，式（7-3-21）中的波型指數(shù)能取零，因此，不存在諸如和這樣的波型。注意，矩形波導(dǎo)中，可以存在和模，卻不能存在和模。盡管TE波和TM波的場方程具有對偶的形式，但是，由理想導(dǎo)體表面電場切向分量為零的邊界條件所導(dǎo)出的TE波和TM波的邊界條件表達式卻不具有對偶性，導(dǎo)致了這兩種模式選擇條件的差異。由上述分析可知，矩形波導(dǎo)中能夠存在無窮多

種模式。但在實際系統(tǒng)中究竟哪些模式確實存在，以及這些模式的強度分布如何，則要由激勵源的頻率、激勵方式、波導(dǎo)橫截面尺寸和波導(dǎo)中填充的介質(zhì)等具體因素來決定。均不、、第三十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四7.3.3矩形波導(dǎo)的截止波長矩形波導(dǎo)中，模和

模的截止波數(shù)均為

（7-3-21）故截止波長為

（7-3-22）將上式代入式（7-2-6）～（7-2-10），可得各、

模的傳播常數(shù)、相速、群速、波導(dǎo)波長和波阻抗。由導(dǎo)行系統(tǒng)的傳輸條件可知，當工作波長

小于某

模

的截止波長時，電磁波就能夠以此模式在導(dǎo)行系統(tǒng)中和傳播，此模式稱為傳輸模。而當工作波長

大于某模式的截止第三十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四長最長的傳輸模式稱為波導(dǎo)的主模或最低次模，其它模式均為高次模。波長時，該模式就不能在波導(dǎo)中傳輸，稱為截止模。截止波在圖7-3-2不同模式截止波長的分布矩形波導(dǎo)的主模是

模。并且，對于相同的

和，模和

模的截止波長相同。這種不同模式具有相同截止波長的現(xiàn)象稱為簡并現(xiàn)象，這些模式稱為簡并模。對于矩形

的矩形波導(dǎo)中，不同模式截止波長的分布情況如圖7-3-2所示。第三十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四當模是簡并的，也稱為波導(dǎo)，和

、分別相等時，E-H簡并。【例】規(guī)則金屬矩形波導(dǎo)BJ-100(a=22.86mm,b=10.16mm)，其中填充的聚四氟乙烯。求截止波長較長的前五個模式的截止頻率。若工作頻率分別為9GHz和11GHz，問波導(dǎo)中可能存在哪些模式？解：由，，可得對于模，，；對于模，，；對于模，，；對于和模，，；第三十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四足，故僅可以存在模。當工作頻率為9GHz時，工作波長，滿足，或即僅有模滿當工作頻率為11GHz時，工作波長，此時滿足傳輸條件的有、和三種模式，中可以存在這三種模式。故該系統(tǒng)第三十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四（模）是矩形波導(dǎo)的主模，7.3.4

矩形波導(dǎo)中的模

模式，其優(yōu)點是場結(jié)構(gòu)簡單、頻帶寬、損耗小、傳輸穩(wěn)定，而它是矩形波導(dǎo)中最常用的1、模的場結(jié)構(gòu)模的場復(fù)數(shù)表達式：

（7-3-23a）（7-3-23b）（7-3-23c）（7-3-23d）

而且易于激勵和實現(xiàn)單模傳輸。第三十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四其瞬時值表達式為

（7-3-24a）（7-3-24b）（7-3-24c）

（7-3-24d）

模的電場只有

分量，磁場有

和

與

無關(guān)，這表明場的各分量沿分布。

沿

軸（即波導(dǎo)寬邊）、

處，和

均為零，在

處

和

均為最大值；

均呈正弦分布，在和

分量，它們

軸（即波導(dǎo)窄邊）均勻

沿

軸呈余弦分布，在和第三十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四的幅值最大，在處為零。因此，、和沿波導(dǎo)寬邊都是半個駐波分布。和在平面內(nèi)構(gòu)成閉合回路。、和沿軸和軸的瞬時分布如圖7-3-3所示。模的瞬時場結(jié)構(gòu)如圖7-3-4所示。處

圖7-3-3軸的瞬時分布

和

沿

、

和

第三十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四模的瞬時場結(jié)構(gòu)圖7-3-4第三十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四在平面上

2.模在波導(dǎo)內(nèi)壁上引起的電流分布理想導(dǎo)體表面面電流密度為入，可得

模在波導(dǎo)內(nèi)壁上引起的面電流分布：將式（7-3-24）代

（7-3-25a）在平面上（7-3-25b）在平面上（7-3-25c）第四十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四在平面上

（7-3-25d）模瞬時壁電流分布如圖7-3-5所示。TE10模在矩形波導(dǎo)內(nèi)壁上的瞬時電流分布圖7-3-5第四十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四壁電流分布特點：兩寬壁上面電流分布具有高頻電流，故不影響波導(dǎo)內(nèi)電磁波的傳播。這樣的一條狹縫可兩窄壁上電流分布具有對稱性；反對稱性。并且在處，寬壁橫向電流為零，只存在縱向面電流。因此，在矩形波導(dǎo)寬壁中央開一縱向狹縫，不會切于波導(dǎo)內(nèi)場幅分布和傳播特性的測量。第四十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四3、TE10模的傳輸特性（1）截止波長與單模傳輸條件截止波長:（7-3-26）（2）單模傳輸條件:（7-3-27）當時，。（3）相位常數(shù)與波導(dǎo)波長分別為（7-3-28）（7-3-29）第四十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四（4）相速與群速分別為（7-3-30）（7-3-31）（5）波阻抗為（7-3-32）（6）傳輸功率為（7-3-33）第四十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四§7.4圓柱形波導(dǎo)規(guī)則圓柱形波導(dǎo)（簡稱圓波導(dǎo)），它常用于毫米波的遠距離通信、精密衰減器、天線的雙極化饋線、微波諧振器等。對于圓波導(dǎo)，設(shè)圓波導(dǎo)的橫截面半徑為，如圖7-4-1所示。圖7-4-1圓柱形波導(dǎo)第四十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四7.4.1圓波導(dǎo)中的TE波在極坐標系中，

TE波滿足（7-4-1）滿足的標量波動方程為（7-4-2）

應(yīng)用分離變量法，令

（7-4-3）

將式（7-4-3）代入（7-4-2），整理可得

（7-4-4）第四十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四令

（7-4-5）

則有

（7-4-6）

方程（7-4-5）的解為或記為（7-4-7）

式（7-4-6）是貝塞爾方程，其解為

（7-4-8）

第四十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四式中，和分別為第一類和第二類階貝塞爾函數(shù)。圖7-4-2給出幾條低階貝塞爾函數(shù)、紐曼函數(shù)和貝塞爾函數(shù)導(dǎo)數(shù)的曲線。

第四十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四圖7-4-2貝塞爾函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)曲線第四十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四由圖7-4-2(b)可知，當時，

表達式為處為有限值，因此，式（7-4-8）中。由于場量在再代入式（7-4-1），可得的基本（7-4-8）代入式（7-4-3），。將式（7-4-7）和（7-4-9）應(yīng)用TE波的邊界條件表達式（7-3-10），有所以可得

（7-4-10）第五十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四表7-4-1第一類貝塞爾函數(shù)導(dǎo)數(shù)的根值表（）式中，為階貝塞爾函數(shù)導(dǎo)數(shù)的第個根，是貝塞爾函數(shù)的階數(shù)，的根值如表7-4-1所示。是根的序號。貝塞爾函數(shù)導(dǎo)數(shù)由于每一組便構(gòu)成一種場結(jié)構(gòu)，而所有組合的場可同時存在于導(dǎo)行系統(tǒng)中。令，于是，圓波導(dǎo)中模縱向磁場分量的一般表達式為（7-4-11a）第五十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四將上式代入行波橫-縱關(guān)系式（7-1-11），可得圓波導(dǎo)中TE波的所有橫向電磁場分量：（7-4-11b）（7-4-11c）（7-4-11d）（7-4-11e）第五十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四應(yīng)用波的邊界條件7.4.2

圓波導(dǎo)中的波波滿足，，（7-4-12）的方程為（7-4-13）與模同理，可得方程的基本解：（7-4-14）（7-4-15）可得 （7-4-16）第五十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四表7-4-2

第一類貝塞爾函數(shù)的根值表（）式中，為階貝塞爾函數(shù)的第個根。貝塞爾函數(shù)的根值如表7-4-2所示。波的各個場分量為)（7-4-17a)）第五十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四（7-4-17b）（7-4-17c）（7-4-17d）（7-4-17e）在TE波和TM波中，m、n不同，場的結(jié)構(gòu)不同。m表示場沿圓周方向整駐波分布的個數(shù)，n表示是沿半徑方向最大值或零點的個數(shù)。第五十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四7.4.3圓波導(dǎo)的傳輸特性1．截止波長和單模傳輸條件圓波導(dǎo)中模的截止波長為（7-4-18）模的截止波長為（7-4-19）圓波導(dǎo)中的幾個不同模式的截止波長列于表7-4-3，其分布圖如圖7-4-3所示。第五十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四表7-4-3圓波導(dǎo)中不同模式的截止波長圖7-4-3圓波導(dǎo)中不同模式截止波長分布圖第五十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四是圓波導(dǎo)的主模，其單模傳輸條件為（7-4-20）2.簡并現(xiàn)象圓波導(dǎo)中存在兩種簡并現(xiàn)象，一種是模和簡并（E-H簡并），另一種是極化簡并。（1）E-H簡并。對于圓波導(dǎo)而言，由于,因此，，故模和模為E-H簡并模。（2）極化簡并。對同一組m,n

值，只要，場量沿坐標就可能存在和兩種分布，兩者的場結(jié)構(gòu)形式完全相同，只是極化面不同，它們相互垂直，這種簡并稱為極化簡并。利用圓波導(dǎo)的極化簡并可以設(shè)計極化分離器和極化衰減器等器件。之間的第五十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四盡管模是圓波導(dǎo)中的主模，但它不宜作為傳輸模式。TE11模存在極化簡并現(xiàn)象。由于圓波導(dǎo)加工中可能出現(xiàn)細微的不均勻性，傳輸過程中7.4.4圓波導(dǎo)中的常用模式圓波導(dǎo)中的常用模式有TE11模、TM01模和TE01三種模式。1.TE11模模是圓波導(dǎo)中的最低次模，即主模，其截止波長。模的場結(jié)構(gòu)如圖7-4-4所示。TE11模的場結(jié)構(gòu)與矩形波導(dǎo)中的TE10換器實現(xiàn)矩形波導(dǎo)TE10

模相似，利用該特點可用方-圓波導(dǎo)變模到圓波導(dǎo)TE11

模的激勵。模場的極化面會發(fā)生旋轉(zhuǎn)，因此，第五十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四圖7-4-4圓波導(dǎo)中模的場結(jié)構(gòu)第六十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四個高次模。截止波長為,2．模模是圓波導(dǎo)中E波的最低次模，也是圓波導(dǎo)中的第一模無極化簡并現(xiàn)象，且為軸對稱或圓對稱模。模只有和三個場分量，場結(jié)構(gòu)如圖7-4-5所示。由于模場結(jié)構(gòu)特點及軸對稱性，該模常被用于雷達天線饋電系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)鉸鏈中。圓波導(dǎo)中模引起的壁電流分布為（7-4-21）模的壁電流分布只有z分量。對于傳輸該模式的圓波導(dǎo)，可以沿波導(dǎo)縱向開窄槽，插入金屬探針作為測量線使用。第六十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四圖7-4-5圓波導(dǎo)中模的場結(jié)構(gòu)第六十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四模是圓波導(dǎo)的高次模，其截止波長為，3．模該模式也是一種無極化簡并現(xiàn)象的軸對稱模式。

模只有和三個場分量，且圖7-4-6所示。構(gòu)成閉合回路，場結(jié)構(gòu)如圓波導(dǎo)中，模引起的壁電流分布為（7-4-22）可見，模的壁電流分布只有分量。該特點使得模在高頻下的損耗最小，故常被作為毫米波遠距離傳輸模式。第六十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四圖7-4-6圓波導(dǎo)中模的場結(jié)構(gòu)第六十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四中所填充的介質(zhì)是非理想介質(zhì)，所以電磁波在導(dǎo)行系統(tǒng)中傳輸時有一定的導(dǎo)體損耗和介質(zhì)損耗。有損耗的波導(dǎo)中，電磁波的傳播常數(shù)是復(fù)數(shù)§7.5波導(dǎo)的損耗實際上波導(dǎo)壁是非理想導(dǎo)體，其電導(dǎo)率值有限，導(dǎo)行系統(tǒng)，其中為衰減常數(shù)。

7.5.1波導(dǎo)壁損耗由于存在損耗，電磁波在傳播過程中，其電磁場量的幅度按衰減，傳輸功率按衰減。因此，z處的傳輸功率（7-5-1）其中為處的傳輸功率。若僅考慮波導(dǎo)壁的損耗，為第六十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四單位長度上的損耗功率為（7-5-2）所以（7-5-3）由電磁場理論，這兩部分功率分別為（7-5-4）（7-5-5）是波導(dǎo)的橫截面面積，微分面元矢量的方向為+z方向。是單位長度的波導(dǎo)壁表面面積，微分面元矢量的方向為波導(dǎo)壁內(nèi)表面的法線方向的電磁場量。。和是波導(dǎo)壁內(nèi)表面上第六十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四應(yīng)用，假定波導(dǎo)壁的電導(dǎo)率不影響波導(dǎo)中電磁場的分布，也不影響波導(dǎo)壁內(nèi)表面上的磁場；它的影響僅在于在波導(dǎo)壁內(nèi)表面上產(chǎn)生了切向電場。波導(dǎo)壁的電導(dǎo)率較大，這樣的假設(shè)不會引起顯著的誤差。在該假設(shè)下，式（7-5-4）中的場量以及式（7-5-5）中的場量可以用理想波導(dǎo)中的場量來替代。根據(jù)式（7-2-17），（7-5-4）可寫為（7-5-6）在穿透深度內(nèi)的電磁波可近似看作導(dǎo)電介質(zhì)中的平面電磁波，因此有（7-5-7）其中，為波導(dǎo)壁的波阻抗。將式（7-5-7）代入（7-5-5），并可得波導(dǎo)壁的損耗功率：第六十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四（7-5-8）則單位長度波導(dǎo)壁的損耗功率為（7-5-9）式中，是波導(dǎo)壁內(nèi)表面上磁場的切向分量；為波導(dǎo)橫截面的將式（7-5-6）和（7-5-7）代入式（7-5-3），可得（7-5-10）其中1Np=8.686dB。

周界。第六十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四（7-5-11）若介質(zhì)損耗較小，且波導(dǎo)工作在遠離截止的傳輸狀態(tài)，從而有則上式可寫為若波導(dǎo)壁為理想導(dǎo)體，波導(dǎo)內(nèi)填充的是有耗介質(zhì)，其損耗角正切為，衰減常數(shù)為。由，有，以及7.5.2介質(zhì)損耗第六十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四比較等式兩邊，可得（7-5-12）式中，，為工作頻率，（電磁參量為）的波導(dǎo)的截止頻率，為相應(yīng)無損介質(zhì)中的波數(shù)。是填充無損介質(zhì)第七十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四§7.6同軸線同軸線分為硬同軸線和同軸電纜兩種，由同軸的內(nèi)、外導(dǎo)體和導(dǎo)體間填充介質(zhì)構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)如圖7-6-1所示。同軸線能夠傳輸TEM波、TE波和TM波，主模是TEM波。同軸線的頻帶非常寬，從直流至毫米波段，因而被廣泛應(yīng)用于微波系統(tǒng)中。圖7-6-1同軸線第七十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四7.6.1同軸線中TEM波的場分布TEM模的縱向場分量，因此不能采用縱向分量法求解TEM模的場分布?？梢灾苯佑甥溈怂鬼f方程組中的旋度方程來求解。因為電磁場量只有橫向分量，而且磁場線必須是閉合回路，故磁場僅有分量；又因為電場、磁場相互垂直，所以電場只有分量。由于同軸線的結(jié)構(gòu)對稱性，、都是軸對稱的，即和都與無關(guān)。因此，同軸線中導(dǎo)行電磁波可以表示為，的旋度方程可寫為第七十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四可見常數(shù)。令，于是得到（7-6-1）從而可得（7-6-2a）由式（7-6-2b），有（7-6-3）第七十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四從而可得由式（7-6-2a），可得（7-6-4）TEM波的場結(jié)構(gòu)如圖7-6-2所示。圖7-6-2同軸線中TEM模的場結(jié)構(gòu)第七十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四7.6.2同軸線中TEM波的傳輸特性

1．相速、群速與波導(dǎo)波長同軸線中TEM波的相位常數(shù)（7-6-5）其相速與群速分別為（7-6-6）（7-6-7）第七十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四波導(dǎo)波長為（7-6-8）2．特性阻抗由安培環(huán)路定理，并利用式（7-6-3），可得同軸線內(nèi)導(dǎo)體上的縱向電流：（7-6-9）同軸線內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為（7-6-10）第七十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四于是，可得同軸線的特性阻抗：（7-6-11）對于非磁性介質(zhì)，，上式可寫為（7-6-12）3．傳輸功率將式（7-6-4）代入式(7-2-17)，可得傳輸功率：（7-6-13）當同軸線中的最大電場達到介質(zhì)的擊穿場強時，功率達到極限值，稱為同軸線的功率容量，記為由式（7-6-4）可知，第七十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四將上式代入式（7-6-13），可得功率容量：（7-6-14）可見，功率容量與同軸線的橫截面尺寸、介質(zhì)參數(shù)以及有關(guān)。4．衰減由式（7-5-10）和（7-5-12）可得，同軸線單位長度上的導(dǎo)體損耗和介質(zhì)損耗分別為（7-6-15）同軸線中處電場最強，即有第七十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四若同軸線的橫截面尺寸與波長相比足夠大時，同軸線中可能會出現(xiàn)TE波或TM波。對于同軸線中的TE波或TM波來說，其截止波數(shù)kc所滿足的方程都是超越方程，嚴格求解很困難，一般采用近似方法得到其截止波長的近似表達式，這里僅給出結(jié)果。由式(7-6-15)可知，導(dǎo)體損耗也與比值有關(guān)。（7-6-16）7.6.3同軸線中的高次模

對于TEm1模（），截止波長為（7-6-17）于是，TE波的最低高次模TE11的截止波長為（7-6-18）第七十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四對于模，其截止波長為（7-6-19）TM波的最低高次模的截止波長為（7-6-20）由式（7-6-18）和（7-6-20）可知，同軸線中TE波和TM波的最低高次模為模。7.6.4

同軸線的單模傳輸條件和尺寸選擇1．單模傳輸條件由于TEM波的截止波數(shù)，其截止波長,而模的截止波長為，欲實現(xiàn)TEM波單模傳輸，應(yīng)滿足（7-6-21）第八十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四2.尺寸選擇當給定工作頻率時，為確保單模傳輸，必須選擇合適的內(nèi)導(dǎo)體半徑a和外導(dǎo)體內(nèi)半徑b使之滿足式（7-6-21）。在滿足式（7-6-21）的同時，還要根據(jù)損耗和功率容量的實際要求確定a和b的比值。不妨令b為常數(shù)。當要求衰減最小時，應(yīng)滿足，由式（7-6-15），可得（7-6-22）而當要求功率容量最大時，則應(yīng)滿足。由式（7-6-14），（7-6-23）可得第八十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四有和的兩種?？梢姡@得最大功率容量和獲得最小衰減的條件并不相同。

兼顧兩者，可取。此時，空氣填充同軸線的特性阻抗

。根據(jù)損耗和功率容量的實際需要，常用的同軸線第八十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四§7.7諧振器低頻波段的諧振電路通常由集總參數(shù)元件所構(gòu)成。當工作頻率升高時，所需要的電感和電容減小，難以實現(xiàn)；同時導(dǎo)體損耗、介質(zhì)損耗和輻射損耗等將增大。所以在微波波段，常用的諧振電路通常是由一段導(dǎo)行系統(tǒng)兩端短路而構(gòu)成，統(tǒng)稱為諧振器。由于諧振器一般是腔體結(jié)構(gòu)的形式，故也稱為諧振腔。諧振器中的電磁場分布是滿足特定邊界條件的齊次亥姆霍茲方程的解。因此，電磁場理論是分析諧振器的基本理論。7.7.1諧振器產(chǎn)生振蕩的物理過程微波諧振器具有多諧性和駐波特性。所謂多諧性是指同一諧振器可諧振于不同的頻率上。所謂駐波特性是指諧振器中的電磁場呈現(xiàn)駐波分布特性。第八十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四設(shè)頻率為的電磁波在無限長矩形波導(dǎo)中沿方向傳輸。在橫截面處放置一塊理想導(dǎo)體板使波導(dǎo)短路，則沿軸方向形成駐波。在（）處為橫向電場的波節(jié)。其場分布將不受影響。這樣的兩端短路的一段矩形波導(dǎo)就構(gòu)成了矩形諧振器，其腔體尺寸為，其中，。以矩形諧振器為例，分析諧振器中電磁振蕩的物理過程?？梢栽O(shè)想，若將處的導(dǎo)體板取出，并逐漸升高波源頻率，波導(dǎo)波長隨之變短，波導(dǎo)中的電場波節(jié)將逐漸向處移動。當頻率升高到時，處又出現(xiàn)了橫向電場的波節(jié)，但該波節(jié)點是離開處的第二個波節(jié)點。此時在該處重新放入導(dǎo)體板，又構(gòu)成了尺寸未變的矩形諧振器，但諧振頻率已不再是，而是。此時，，依次類推，同一尺寸的諧振器可以諧振于無數(shù)頻率，此即諧振器的多諧性。第八十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四由上分析可知，矩形諧振器中，電磁場沿三個坐標方向均為駐波分布。因此，諧振器內(nèi)電磁場的平均坡印廷矢量為零。由此可知，其電場和磁場在時間上存在的相位差，

即諧振器中電場能量最大時，磁場能量為零；磁場能量最大時，電場能量為零。電能與磁能相互轉(zhuǎn)換形成持續(xù)的電磁振蕩。因此，諧振器的振蕩過程與諧振回路相似，是電磁能量相互轉(zhuǎn)換的過程。圖7-7-1矩形諧振器的構(gòu)成第八十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四7.7.2諧振器的基本參數(shù)描述諧振器性能的特性參數(shù)是諧振波長、固有品質(zhì)因數(shù)和等效電導(dǎo)1．諧振波長表征諧振器中電磁振蕩規(guī)律的一個參數(shù)，即表示諧振器內(nèi)振蕩存在的條件。諧振器的長度與構(gòu)成它的波導(dǎo)中的導(dǎo)行電磁波的波導(dǎo)波長之間的關(guān)系為

（7-7-1）表示沿方向半駐波分布的個數(shù)?？傻茫?-7-2）將代入上式，第八十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四其中，是構(gòu)成諧振器的波導(dǎo)的截止波長。即為諧振器的諧振波長，記為，它等于相應(yīng)介質(zhì)中的工作波長。由式（7-7-2）可見，諧振波長取決于諧振器的結(jié)構(gòu)形狀、大小和工作模式。諧振器的諧振頻率為（7-7-3）可見，諧振頻率不但與諧振器的結(jié)構(gòu)形狀、大小、工作模式有關(guān)，而且和所填充的介質(zhì)也有關(guān)。2．固有品質(zhì)因數(shù)固有品質(zhì)因數(shù)是表征諧振器頻率選擇性的一個參數(shù)，表示諧振器的儲能與損耗之間的關(guān)系，其定義為（7-7-4）第八十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四（7-7-5）由式（7-5-8），諧振器內(nèi)壁的導(dǎo)體平均功率損耗為（7-7-6）式中，為表面電阻；為導(dǎo)體表面的切向磁場；是波導(dǎo)壁表面面積。（7-7-4），可得的一般表示式：（7-7-7）諧振器的儲能為將式（7-7-5）和（7-7-6）代入式第八十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四為粗略估計值，可近似認為，則有式中，S和V分別為諧振器的內(nèi)表面積和內(nèi)體積。諧振器的尺寸與成正比，即、。因此，，對于厘米波段諧振器，一般在數(shù)微米至數(shù)十微米之間，因此，在3．等效電導(dǎo)等效電導(dǎo)是表征諧振器的功率損耗特性的一個參數(shù)。在實際應(yīng)用中，常把單模工作的諧振器在不太寬的頻帶內(nèi)等效為LC諧振回路，用等效電導(dǎo)來表示諧振器的功率損耗。其等效電路如圖7-7-2所示。數(shù)量級。第八十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四圖7-7-2諧振器的等效電路設(shè)電路兩端的電壓（模式電壓）為，則諧振器的功率損耗為，故等效電導(dǎo)為（7-7-8）模式電壓的振幅與電場強度振幅的關(guān)系為（7-7-9）模式電壓U與積分路徑有關(guān)。第九十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四（7-7-10）與頻率、導(dǎo)體的電導(dǎo)率、諧振器結(jié)構(gòu)尺寸和諧振模式有關(guān)。7.7.3矩形諧振腔矩形諧振器是由一段長度為L、兩端短路的矩形波導(dǎo)所構(gòu)成，所以也稱為矩形諧振腔。矩形諧振腔的結(jié)構(gòu)如圖7-7-3所示。電磁場能量儲存在腔體內(nèi)部，其功率損耗由金屬腔壁和腔體內(nèi)所填充的介質(zhì)引起。諧振腔與外部電路的耦合方式通常是孔耦合、探針耦合或耦合環(huán)耦合。將式（7-7-6）和（7-7-9）代入式（7-7-8），得第九十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四

圖7-7-3矩形諧振腔場分布矩形諧振腔中的場分布可采用入射波和反射波的疊加法求得，也可采用縱向分量法。前一方法得求解思路是結(jié)合邊界條件，利用沿+Z方向的導(dǎo)行入射波與沿-Z方向的反射波的疊加求得諧振腔的場分布。這里將入射波和反射波的疊加法與縱向分量法結(jié)合起來，先由入射波和反射波的疊加求得場的縱向分量，然后由駐波場的橫-縱關(guān)系式求得場的各橫向分量。駐波場的橫-縱關(guān)系可由前面的行波場的橫-縱關(guān)系寫出。第九十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四將行波場的橫-縱關(guān)系式（7-1-10）中的還原為（因為駐波狀態(tài)下），則式（7-1-10）改寫為（7-7-11a）（7-7-11b）此即駐波場的橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系式。式（7-7-11）也適用于行駐波狀態(tài)以及行波狀態(tài)，故簡稱為場的橫-縱關(guān)系式。與矩形波導(dǎo)的模式相對應(yīng)，矩形諧振腔的諧振模式有TE波和TM波兩類。下面以TE波為例，采用縱向分量法求解諧振腔的場分布。諧振腔中的縱向分量由相應(yīng)波導(dǎo)的導(dǎo)行入射波和反射波疊加而構(gòu)成。根據(jù)矩形波導(dǎo)中TE波縱向分量的表達式(7-3-12)，諧振于TE波的縱向場分量可寫為第九十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四（7-7-12b）（7-7-12a）其中，為入射波復(fù)振幅；為反射波復(fù)振幅。將式（7-7-12）代入式（7-7-11），可得分量為（7-7-13）式中，由理想導(dǎo)體表面的邊界條件，故在和端面的邊界條件為。將時，代入式（7-7-13），可得第九十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四

（7-7-14）將上式和時，代入式（7-7-13），可得將上式和式（7-7-14）代入式（7-7-12b），可得TE波的縱向磁場分量為（7-7-15）分別表示場沿方向分布的半駐波數(shù)。不同，其場結(jié)構(gòu)不同，代表不同的模式，稱為模式。由場的橫-縱關(guān)系式（7-7-11），可得模橫向分量的表達為第九十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四（7-7-16a）（7-7-16b）（7-7-16c）（7-7-16d）將式（7-7-15）代入式（7-7-16），便可求得模的所有橫向場分量。第九十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四2．諧振波長矩形波導(dǎo)的截止波長為，代入式（7-7-2），可得諧振波長 （7-7-17）3．模矩形諧振腔的常用模式為模。對于模，。由式（7-7-15）和（7-7-16），可得該模式的場量：（7-7-18a）（7-7-18b）第九十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四（7-7-18c）（7-7-18d）其瞬時值為（7-7-19a）（7-7-19b）（7-7-19c）（7-7-19d）模的瞬時場結(jié)構(gòu)如圖7-7-4所示。第九十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四由式(7-7-17)，可得模的諧振波長：（7-7-20）圖7-7-4模的場分布第九十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四模的品質(zhì)因數(shù)和等效電導(dǎo)的求解：（7-7-21）（7-7-22）將上兩式代入式（7-7-7），可得（7-7-23）第一百頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四（7-7-24）對于模，由式（7-7-18b）可知，，則將式（7-7-22）和（7-7-24）代入式（7-7-10），并結(jié)合式（7-7-23），可得的等效電導(dǎo)為（7-7-25）第一百零一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期四7.7.4圓柱形諧振腔圓柱形諧振器是由一段長度為兩端短路的圓柱形波導(dǎo)所構(gòu)成，也稱為圓柱形諧振腔。圓柱形諧振腔常用作微波頻率計或波長計，通常其中一個端面做成可調(diào)短路活塞，通過調(diào)節(jié)兩端面之間的距離實現(xiàn)頻率的調(diào)諧。諧振模式圓柱形諧振腔的諧振波也分為TE波和TM波兩類，其