第七章 二次型

第七章二次型第一頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§1二次型與合同變換一.二次型的定義和矩陣表示

定義7.1n個(gè)變量x1,x2,…,xn的二次齊次函數(shù)

?(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn.稱為一個(gè)n元二次型,簡(jiǎn)稱二次型.當(dāng)系數(shù)aij均為實(shí)數(shù)時(shí)稱為n元實(shí)二次型.以下僅討論實(shí)二次型.把2aijxixj寫成aijxixj+ajixjxi,其中aij=aji,則有?(x1,x2,…,xn)=a11x12+a12x1x2+…+a1nx1xn+a21x2x1+a22x22+

…+a2nx2xn+…+an1xnx1+an2xnx2+…+annxn2第二頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四或?qū)懗删仃嚦朔ㄐ问饺粲泟t有第三頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

定義7.2

?=xTAx稱為n元二次型?的矩陣表示式,實(shí)對(duì)稱矩陣A稱為二次型?的矩陣,

?稱為實(shí)對(duì)稱矩陣A的二次型.矩陣A的秩也稱為二次型?的秩.例如,二次型?=2x2+3y2-z2+4xy-6xz的矩陣為于是第四頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四反之,實(shí)對(duì)稱矩陣

定義7.3僅含平方項(xiàng)的二次型的二次型為?=x12+2x22–x32+4x1x2+2x1x3–2x2x3f=d1x12+d2x22+…+dnxn2稱為標(biāo)準(zhǔn)形.可見,標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣為對(duì)角矩陣.若記x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,C=(cij)nn,則稱:x=Cy,即第五頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四為從x1,x2,…,xn到y(tǒng)1,y2,…,yn的線性變換.其中cij為線性變換的系數(shù),C稱為線性變換的系數(shù)矩陣.當(dāng)C為可逆矩陣時(shí),x=Cy稱為可逆線性變換,這時(shí)y=C-1x為x=Cy的逆變換,當(dāng)C為正交矩陣時(shí),x=Cy稱為正交變換.對(duì)n元二次型?=xTAx作變換x=Cy,則有

?=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y=yTBy即,?成為y1,y2,…,yn的n元二次型,其矩陣為B=CTAC.第六頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

定理7.1線性變換下,二次型仍變?yōu)槎涡?可逆線性變換下,二次型的秩不變.二.方陣的合同變換經(jīng)可逆線性變換x=Cy,

f的矩陣A變?yōu)锽=CTAC.

定義7.4設(shè)A,B為同階方陣,如果存在可逆矩陣C,使得B=CTAC,則稱A與B是合同的,記為AB.對(duì)方陣A的運(yùn)算CTAC,稱為對(duì)A的合同變換,并稱C為把A變?yōu)锽的合同變換矩陣.

矩陣的合同關(guān)系具有性質(zhì):(ⅰ)反身性:

AA;(ⅱ)對(duì)稱性:

若AB,則BA;(ⅲ)傳遞性:若AB,BC,則AC.實(shí)際上,R(B)=R(CTAC)R(A),R(A)=R(CT)-1BC-1)R(B),所以R(A)=R(B).第七頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四由于矩陣C可逆,記C=P1P2…Ps(P1,P2,…,Ps為初等方陣),則有:B=PsTPs-1T…P1TAP1P2…Ps.可見,若A與B是合同的,則A可經(jīng)過一系列初等行變換和完全相同的初等列變換變成矩陣B.所以,若A與B合同,則A與B等價(jià),而且它們的秩相等.但是等價(jià)矩陣不一定是合同的.而且,合同矩陣不一定是相似的;相似矩陣也不一定是合同的.但正交相似的矩陣一定是合同的.進(jìn)一步相似的實(shí)對(duì)稱矩陣一定是合同的.第八頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§2用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形若使n元二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形:只要可逆線性變換x=Py,

滿足=P-1AP.第九頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四由于矩陣A是實(shí)對(duì)稱矩陣,所以有:

定理7.2任意二次型?=xTAx都可經(jīng)正交變換x=Py化為標(biāo)準(zhǔn)形?=yTy,其中的對(duì)角線元素恰是A的特征值.可見,用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形與實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的步驟幾乎是一致的.

例1用正交變換化二次型

?(x1,x2,x3)=3x12+3x22+2x1x2+4x1x3–4x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形,并給出所用的正交變換.

解二次型的矩陣為第十頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

A的特征多項(xiàng)式為=(-4)(2-2-8)=(-4)2(+2)所以,矩陣A的特征值為1=2=4,3=-2.由于于是,方程組(4E-A)x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系可取為:第十一頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四又由于所以得屬于3=-2的單位特征向量故可取正交矩陣作正交變換:x=Qy,即第十二頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四二次型?(x1,x2,x3)=3x12+3x22+2x1x2+4x1x3–4x2x3變?yōu)槿羧≌痪仃嘠=(1,3,2),作正交變換x=Qy,則有

?(x1,x2,x3)=4y12+4y22–2y32

?(x1,x2,x3)=4y12–

2y22+4y32若取正交矩陣Q=(3,1,2),作正交變換x=Qy,則有

?(x1,x2,x3)=–

2y12+4y22+4y32第十三頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

可見,化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形所用的正交變換以及標(biāo)準(zhǔn)形都不是唯一的.但是,正交變換對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形中,各項(xiàng)系數(shù)恰是矩陣A的所有特征值,因此除順序外是唯一的.第十四頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3正定二次型一.慣性定理與正定二次型雖然將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形可采用不同的變換,所化成的標(biāo)準(zhǔn)形也不唯一.但是,由于R(A)=R(),所以標(biāo)準(zhǔn)形中非零項(xiàng)數(shù)是唯一的,它等于二次型的秩,也等于二次型矩陣非零特征值的個(gè)數(shù)。同時(shí),標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)也是相同的。

?=1y12+2y22+…+ryr2(i0)則1,2,…,r中正數(shù)個(gè)數(shù)與1,2,…,r中正數(shù)個(gè)數(shù)相同.

定理7.3(慣性定理)設(shè)實(shí)二次型?=xTAx,其秩為r,在不同的可逆線性變換x=Cy和x=Dz下化為標(biāo)準(zhǔn)形

?=1z12+2z22+…+rzr2(i0)第十五頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

定義7.5

?的標(biāo)準(zhǔn)形中的正系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為?的正慣性指數(shù),負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為?的負(fù)慣性指數(shù).

定義7.6如果x0,都有?=xTAx>0(<0),則稱?是正定(負(fù)定)二次型,A稱為正定(負(fù)定)矩陣,記為A>0(A<0).二.正定二次型(正定矩陣)的判定

定理7.4n元實(shí)二次型?=xTAx為正定(負(fù)定)二次型的充分必要條件是?的正(負(fù))慣性指數(shù)等于n.

推論n階實(shí)對(duì)稱矩陣A正定(負(fù)定)的充分必要條件是A的n個(gè)特征值都是正數(shù)(負(fù)數(shù)).第十六頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四稱為矩陣A的第i個(gè)順序主子式.

定義7.7設(shè)A=(aij)nn,則行列式顯然,D1=a11,Dn=detA.

定理7.5n階實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A的所有順序主子式都大于0.A負(fù)定的充分必要條件是A的所有奇數(shù)階順序主子式都小于0,偶數(shù)階順序主子式都大于0.第十七頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

解(1)用特征值法

例2判斷下列二次型的正定性.(1)?(x1,x2,x3)=2x12+3x22+3x32+4x2x3(2)?(x1,x2,x3)=-5x12-6x22-4x32+4x1x2+4x1x3二次型?(x1,x2,x3)的矩陣是:矩陣A的特征多項(xiàng)式為:第十八頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四=(-2)[(-3)2-4]=(-1)(-2)(-5)所以,矩陣A的特征值是1=1,2=2,3=5.因此,二次型?(x1,x2,x3)是正定二次型.(2)用順序主子式法:二次型?(x1,x2,x3)的矩陣是:則矩陣A的各階順序主子式為:第十九頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四D1=－5<0,所以,二次型?(x1,x2,x3)是負(fù)定二次型.=2(8－48)=－80<0第二十頁(yè)，共二十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

解二次型的矩陣為

例3確定參數(shù)t使二次型

?(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2tx1x2－4tx2x3為正定二次型.由D1=1>0,D2=2-t2>0,D3=3(2-t2)+