第七章 橢球面元素歸算至投影面

第七章橢球面元素歸算至投影面第一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四本章提要

本章介紹從橢球面上大地坐標系到平面上直角坐標系的正形投影過程。研究如何將大地坐標、大地線長度和方向以及大地方位角等向平面轉(zhuǎn)化的問題。重點講述高斯投影的原理和方法，解決由球面到平面的換算問題，解決相鄰帶的坐標坐標換算。討論在工程應用中，工程測量投影面與投影帶選擇。第二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四[知識點及學習要求]1．高斯投影的基本概念（掌握）；2．正形投影的一般條件（理解）；3．高斯平面直角坐標與大地坐標的相互轉(zhuǎn)換—高斯投影的正算與反算（掌握）4．橢球面上觀測成果歸化到高斯平面上的計算（掌握）；5．高斯投影的鄰帶換算（掌握）；6．工程測量投影面與投影帶的選擇（掌握）。[難點]在對本章的學習中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算計算；方向改化和距離改化計算；高斯投影帶的換算與應用；工程測量中投影面與投影帶的選擇。第三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四8.1地圖數(shù)學投影的基本概念一.投影變換的意義和方程

所謂地圖投影，簡略說來就是將橢球面各元素（包括坐標、方向和長度）按一定的數(shù)學法則投影到平面上。研究這個問題的專門學科叫地圖投影學。橢球面是一個凸起的、不可展平的曲面，若將這個曲面上的元素（比如一段距離、一個角度、一個圖形）投影到平面上，就會和原來的距離、角度、圖形呈現(xiàn)差異，這一差異稱作投影的變形

第四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四二.地圖投影的變形

1.長度比

P1P2SNXYP'1P‘2橢球面投影面或長度比與點的位置及線段的方向有關。

投影面上的邊長與原面上的相應長度之比，稱為長度比。

第五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四2.主方向和變形橢圓

主方向：最大及最小長度比的方向，稱為主方向。ABOCA'B'O'C'原面投影面在橢球面的任意點上，必定有一對相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的，這兩個方向就是長度比的極值方向，也就是主方向。第六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四變形橢圓：設在橢球面上有一單位微分圓,投影后為一微分橢圓，該橢圓即變形橢圓。ξηαP(ξ,η)x'y'O'OP(x‘,y')變形橢圓的形狀和大小及方向完全由投影條件確定。某定點O處的變形橢圓是描述該點各方向上長度比的橢圓。第七頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四3.投影變形長度比與1之差，稱為長度變形，即：vm>0，投影后長度變大，反之，投影后長度變短。1）長度變形2）、方向變形某方向（以主方向起始）投影后為1，當=1（等于0或90度時），亦即在主方向上沒有方向變形時當+1=90°或270°時，方向變形最大O'P'3）角度變形。最大角度變形是最大方向變形的2倍。4）面積變形。第八頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四三、地圖投影的分類1.按變形性質(zhì)分類（1）等角投影又稱為正形投影。投影面上某點的任意兩方向線夾角與橢球面上相應兩線段夾角相等，即角度變形為零。等角投影在一點上任意方向的長度比都相等，但在不同地點長度比是不同的。（2）等積投影在投影平面上任意一塊面積與橢球面上相應的面積相等，即面積變形等于零。（3）等距投影定義為沿某一特定方向的距離，投影前后保持不變，即沿著該特定方向長度比為1。在這種投影圖上并不是不存在長度變形，它只是在特定方向上沒有長度變形。（4）任意投影第九頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四2.按投影面的形狀分類（1）方位投影：以平面作為投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。（2）圓柱投影：以圓柱面作為投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。（3）圓錐投影：以圓錐面作為投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。3.按投影面和原面的相對位置進行分類正軸投影、斜軸投影和橫軸投影第十頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四第十一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四4、中國各種地圖投影：

1）中國全國地圖投影：斜軸等面積方位投影、斜軸等角方位投影、偽方位投影、正軸等面積割圓錐投影、正軸等角割圓錐投影。2）中國分省（區(qū)）地圖的投影：正軸等角割圓錐投影、正軸等面積割圓錐投影、正軸等角圓柱投影、高斯-克呂格投影（寬帶）。3）中國大比例尺地圖的投影：多面體投影（北洋軍閥時期）、等角割圓錐投影（蘭勃特投影）（解放前）、高斯-克呂格投影（解放以后）。第十二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四

從世界范圍看，各國大中比例尺地形圖所使用的投影很不統(tǒng)一，據(jù)不完全統(tǒng)計有十幾種之多，最常用的有橫軸等角橢圓柱投影等。中華人民共和國成立后，我國大中比例尺地形圖一律規(guī)定采用以克拉索夫斯基橢球體元素計算的高斯-克呂格投影。我國新編1:100萬地形圖，采用的則是正軸等角圓錐投影。5、常用的幾種地圖投影第十三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四1、控制測量對地圖投影的要求1）等角投影（又稱正形投影）

2）長度和面積變形不大，并能用簡單公式計算由變形而引起的改正數(shù)。在微小的范圍內(nèi)保持了形狀的相似性。長對比與點的位置有關，與方向無關。3）能很方便地按分帶進行，并能按高精度的、簡單的、同樣的計算公式和用表把各帶聯(lián)成整體。8.2高斯投影概述（重點）第十四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四高斯投影是等角橫切橢圓柱投影。高斯投影是一種等角投影。它是由德國數(shù)學家高斯(Gauss，1777～1855)提出，后經(jīng)德國大地測量學家克呂格(Kruger，1857～1923)加以補充完善，故又稱“高斯—克呂格投影”，簡稱“高斯投影”。2、高斯投影的基本概念第十五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四NSc中央子午線赤道高斯投影平面赤道中央子午線1).高斯投影的原理:

高斯投影采用分帶投影。將橢球面按一定經(jīng)差分帶，分別進行投影。第十六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四2)、高斯投影必須滿足：（1）高斯投影為正形投影，即等角投影；（2）中央子午線投影后為直線，且為投影的對稱軸；（3）中央子午線投影后長度不變。第十七頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四3)、高斯投影的特點:（1）中央子午線投影后為直線，且長度不變。（2）除中央子午線外，其余子午線的投影均為凹向中央子午線的曲線，并以中央子午線為對稱軸。投影后有長度變形。（3）赤道線投影后為直線，但有長度變形。赤道中央子午線平行圈子午線Oxy第十八頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四（4）除赤道外的其余緯線，投影后為凸向赤道的曲線，并以赤道為對稱軸。（5）經(jīng)線與緯線投影后仍然保持正交。（6）所有長度變形的線段，其長度變形比均大于l。（7）離中央子午線愈遠，長度變形愈大。赤道中央子午線平行圈子午線Oxy第十九頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四4)、投影帶的劃分

我國規(guī)定按經(jīng)差6o和3o進行投影分帶。

6o帶自首子午線開始，按6o的經(jīng)差自西向東分成60個帶。

3o帶自1.5o開始，按3o的經(jīng)差自西向東分成120個帶。高斯投影帶劃分第二十頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四

6o帶與3o帶中央子午線之間的關系如圖:

3o帶的中央子午線與6o帶中央子午線及分帶子午線重合，減少了換帶計算。

工程測量采用3o帶，特殊工程可采用1.5o帶或任意帶第二十一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四

按照6o帶劃分的規(guī)定，第1帶中央子午線的經(jīng)度為3o，其余各帶中央子午線經(jīng)度與帶號的關系是：

L。=6oN－3o

（N為6o帶的帶號）例：20帶中央子午線的經(jīng)度為：

L。＝6o×20－3o＝117o

按照3o帶劃分的規(guī)定，第1帶中央子午線的經(jīng)度為3o，其余各帶中央子午線經(jīng)度與帶號的關系是：

L。=3on

（n為3o帶的帶號）例：120帶中央子午線的經(jīng)度為

L。＝3o×120＝360o第二十二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四

若已知某點的經(jīng)度為L，則該點的6o帶的帶號N由下式計算：

若已知某點的經(jīng)度為L，則該點所在3o帶的帶號按下式計算：

（四舍五入）第二十三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四高斯平面直角坐標系的建立：x軸

—中央子午線的投影y軸

—赤道的投影原點O

—兩軸的交點OxyP（X，Y）高斯自然坐標注：X軸向北為正，

y軸向東為正。赤道中央子午線第二十四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四

由于我國的位于北半球，東西橫跨12個6o帶，各帶又獨自構成直角坐標系。

故：X值均為正，而Y值則有正有負。世界地圖赤道第二十五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四xyo500km=500000+=636780.360m=

500000+=227559.720m國家統(tǒng)一坐標：（帶號）（帶號）一帶的寬度是667km第二十六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四例：有一國家控制點的坐標:x=3102467.280m,y=19367622．380m，（1）該點位于6?帶的第幾帶？（2）該帶中央子午線經(jīng)度是多少？（3）該點在中央子午線的哪一側(cè)？（4）該點距中央子午線和赤道的距離為多少？（第19帶）

（L。=6o×19-3o=111?）（先去掉帶號，原來橫坐標y＝367622.380—500000＝-132377.620m，在西側(cè)）（距中央子午線132377.620m，距赤道3102467.280m）第二十七頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四3、橢球面三角系化算到高斯平面

第二十八頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四將橢球面三角系歸算到高斯投影面的主要內(nèi)容是：將起始點的大地坐標B，L歸算為高斯平面直角坐標x，y；為了檢核還應進行反算，亦即根據(jù)x，y反算B，L。通過計算該點的子午線收斂角及方向改正，將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應邊的坐標方位角。通過計算各方向的曲率改正和方向改正，將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應直線組成的三角形內(nèi)角。通過計算距離改正，將橢球面上起算邊的長度歸算到高斯平面上的直線長度。當控制網(wǎng)跨越兩個相鄰投影帶，需要進行平面坐標的鄰帶換算。第二十九頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四

長度比:投影面上的邊長與原面上的相應長度之比，稱為長度比。

8.3正形投影的一般條件（了解）

研究高斯投影應首先滿足正形投影的一般條件，然后加上高斯投影的特殊條件，即可導出高斯投影坐標正反算公式。推求時抓住正形投影區(qū)別于其它投影的特殊本質(zhì)：在正形投影中，長度比與方向無關。在微小的范圍內(nèi)保證了形狀的相似性，當ABCDE無限接近時，多邊形可看作是一個點，因此在正行投影中，長度比與位置有關，與方向無關。第三十頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四8.3正形投影的一般條件（了解）

正形投影方法都必須遵循的法則：柯西(Cauchy)—黎曼(Riemann)條件等量緯度第三十一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四⑴建立長度比關系在微分直角三角形P1P2P3和P1/P2/P3/中有：則長度比為⑵引進等量緯度，則

故第三十二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四全微分得

其中：第三十三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四若想使上式中m與A無關，必須滿足條件：⑶引入方向，由圖知：則F=0、E=G

即正形投影的一般條件，是各類正形投影方法都必須遵循的法則，高斯坐標正、反算公式均以此為基礎。第三十四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四第三十五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四第三十六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四第三十七頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四第三十八頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四1、電磁波測距的歸算的內(nèi)容？

復習：第三十九頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四2三差改正第四十頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四3.橢球面三角系化算到高斯平面的內(nèi)容？第四十一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四8.4高斯投影坐標正反算公式1、高斯投影坐標正算公式：B,l

x,y高斯投影必須滿足以下三個條件：①中央子午線投影后為直線；②中央子午線投影后長度不變；③投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。對于任何一種投影：①坐標對應關系是最主要的；②如果是正形投影，除了滿足正形投影的條件外，還有它本身的特殊條件。第四十二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四赤道第四十三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四由第一條件知中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對稱于中央子午線，的偶函數(shù)，y為的奇函數(shù)；，即，如展開為的級數(shù)，收斂。式中是待定系數(shù)，它們都是緯度B的函數(shù)。由第三個條件知：x為求偏導數(shù)（1）第四十四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四

位于中央子午線上的點，投影后的縱坐標x應等于投影前從赤道量至該點的子午線弧長X，即(1)式第一式中，當l=0時有：顧及(對于中央子午線)故得：依次求得

第四十五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四自赤道量起的到所求點的子午線弧長所求點的大地經(jīng)度與該點所在帶的中央子午線的大地經(jīng)度之差第四十六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四2、高斯投影坐標反算公式：x,yB,l

滿足以下三個條件：①x坐標軸投影后為中央子午線是投影的對稱軸；②x坐標軸投影后長度不變；③投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。過所求點P作中央子午線的垂線，該垂線與中央子午線的交點的緯度，稱垂足緯度。其值由子午線弧長計算公式反算求得。第四十七頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四

底點緯度計算(迭代法)在克拉索夫斯基橢球上計算時，迭代開始時設以后每次迭代按下式計算：重復迭代直至為止。在1975年國際橢球上計算時，也有類似公式。第四十八頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四3、高斯投影坐標正反算公式的幾何解釋：高斯投影坐標正算第四十九頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四高斯投影坐標反算第五十頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四①當B=0時x=X=0，y則隨l的變化而變化，這就是說，赤道投影為一直線且為y軸。當l=0時,則y=0,x=X,這就是說，中央子午線投影亦為直線，且為x軸，其長度與中央子午線長度相等。兩軸的交點為坐標原點。②當l=常數(shù)時(經(jīng)線),隨著B值增加，x值增大，y值減小，這就告訴我們，經(jīng)線是凹向中央子午線的曲線，且收斂于兩極。又因，即當用-B代替B時，y值不變，而x值數(shù)值相等符號相反，這就說明赤道是投影的對稱軸。③當B=常數(shù)時(緯線)，隨著的l增加，x值和y值都增大，這就是說，緯線是凸向赤道的曲線。又當用-l代替l時，x值不變，而y值數(shù)值相等符號相反，這就說明，中央子午線是投影對稱軸。由于滿足正形投影條件，所以經(jīng)線和緯線的投影是互相垂直的。④距中央子午線愈遠的子午線，投影后彎曲愈厲害，表明長度變形愈大。高斯投影的特點第五十一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四子午線收斂角的概念如右圖所示，、及分別為橢球面點、過點的子午線及平行圈在高斯平面上的描寫。由圖可知，所謂點子午線收斂角就是在上的切線與坐標北之間的夾角，用表示。在橢球面上，因為子午線同平行圈正交，又由于投影具有正形性質(zhì)，因此它們的描寫線及也必正交，由圖可見，平面子午線收斂角也就是等于在點上的切線同平面坐標系橫軸的傾角。8.5平面子午線收斂角公式第五十二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四1、求γ的公式

1）由大地坐標L，B計算：第五十三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四第五十四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四①在中央子午線上l=0,r=0；在赤道上B=0,r=0。③在同一經(jīng)線上(l=常數(shù))緯度愈高，r的絕對值也愈大，在極點處最大；在同一緯線上(B=常數(shù))，經(jīng)差l的絕對值愈大，r的絕對值也愈大。②r為奇函數(shù)，有正負，當描寫點在中央子午線以東時，經(jīng)差為正，r也為正；當描寫點在中央子午線以西時，經(jīng)差為負，r也為負。第五十五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四2）由高斯平面坐標x，y計算：底點緯度第五十六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四8.6方向改化公式方向改正數(shù)就是指大地線的投影曲線和連接大地線兩點的弦之夾角。第五十七頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四1、方向改化近似公式的推導誤差小于0.1″，可適用于三、四等三角測量的計算第五十八頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四8.7距離改化公式（重點）由S化至D所加的△S改正稱為距離改正

1、研究平面曲線長度s與其弦線長度D的關系；2、研究用大地坐標B、L和平面坐標x、y計算長度比m的公式；3、最后導出距離改化的計算公式。m＞1第五十九頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四1、平面曲線長度s與其弦線長度D的關系由于v是一個小角，最大不會超過方向改化值δ，因此可把cosv展開為級數(shù)：

式中用v的最大值δ代替v第六十頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四已是二次項，

D與s之差是四次項微小量。當δ取最大40″,s=50KM時，代入上式得，化算為相對中誤差為：所以，對現(xiàn)有測量方法這個誤差可忽略不計，完全可以認為大地線的平面投影曲線長度s等于其弦線長度D。第六十一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四第六十二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四2、長度比和長度變形長度比m是指橢球面上某一點的微分元素dS，與其投影面上的相應的微分元素ds之比，即：由于長度比m恒大于1，故稱為長度變形。1）用大地坐標表示的長度比公式實用時一般取至二次項在6°帶的邊緣及低緯度處，有時用到項。第六十三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四2）用平面坐標表示的長度比公式代入大地線始末兩端的平均緯度計算的橢球的平均曲率半徑第六十四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四①m隨點的位置(B,L)或(x,y)而異，但在一點上與方向無關；③當時，由于m是y（或l）的偶函數(shù)，且各項都為“+”號，故m恒大于1，即除中央子午線外其它投影后都變長了；④長度變形（m-1）與成正比例地增大，愈離遠中央子午線長度變形愈大。⑤在同一緯線上，即B=常數(shù)，長度變形（m-1）隨l的增大而增大。

⑥在同一經(jīng)線上，即l=常數(shù)，長度變形（m-1）隨B的減少而增大，在赤道處(B=0)為最大。②當y=0(或l=0)時，即在縱坐標軸或中央子午線上時，各點的m都等于1，即中央子午線投影后長度不變；第六十五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四3、距離改化公式：對于一條三角邊來說，由于邊長較短，長度比的變化實際上是很微小的，可以認為是一個常數(shù)，因而可以用D/S來代替dD/dS，即有：代入當S<70km,ym<350km(6°帶的邊緣)計算精度小于0.001m，對于一等邊長的歸算完全可滿足要求，對于二等邊長的歸算可略去項，對于三四等邊長的歸算又可再略去項。第六十六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四4、距離改化的實用計算公式一等三角網(wǎng)的距離改正的實用公式：二等三角網(wǎng)的距離改正的實用公式：三等三角網(wǎng)以下的距離改正的實用公式：第六十七頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四→產(chǎn)生換帶的原因高斯投影為了限制高斯投影的長度變形，以中央子午線進行分帶，把投影范圍限制在中央子午線東、西兩側(cè)一定的范圍內(nèi)。因而，使得統(tǒng)一的坐標系分割成各帶的獨立坐標系。在工程應用中，往往要用到相鄰帶中的點坐標，有時工程測量中要求采用帶、帶或任意帶，而國家控制點通常只有帶坐標，這時就產(chǎn)生了帶同帶（或帶、任意帶）之間的相互坐標換算問題，如下圖所示：8.8高斯投影的鄰帶換算（掌握）第六十八頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四需要進行坐標鄰帶換算的情況：1、控制網(wǎng)跨越兩個投影帶；2、在分界子午線附近地區(qū)測圖，需要用到另一帶的三角點作為控制點時；3、6°帶、3°帶、1.5°帶之間的換算。坐標鄰帶換算的一般方法：把橢球面上的大地坐標作為過渡坐標，首先把某投影帶（如21帶）內(nèi)的有關點的平面坐標x，y利用高斯投影反算公式換算成橢球面上的大地坐標B，L。然后再由大地坐標B，L利用投影正算公式換算成相鄰帶的（如22帶）的平面坐標。第六十九頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四計算步驟：根據(jù),利用高斯反算公計算換算,，得到，。采用已求得的,，并顧及到第Ⅱ帶的中央子午線，求得，利用高斯正算公式計算第Ⅱ帶的直角坐標,。為了檢核計算的正確性，要求每步都應進行往返計算算例在中央子午線的Ⅰ帶中，有某一點的平面直角坐標，，現(xiàn)要求計算該點在中央子午線的第Ⅱ帶的平面直角坐標。第七十頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四8.12工程測量投影面與投影帶的選擇（重點）

1999年《城市測量規(guī)范》規(guī)定：一個城市只應建立一個與國家坐標系統(tǒng)相聯(lián)系的、相對獨立和統(tǒng)一的城市坐標系統(tǒng)，并經(jīng)上級行政主管部門審查批準后方可使用。城市平面控制測量坐標系統(tǒng)的選擇應以投影長度變形值不大于2.5cm/km為原則，并根據(jù)城市地理位置和平均高程而定。第七十一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四1、當長度變形值不大于2.5cm/km時,應采用高斯正形投影統(tǒng)一3°帶的平面直角坐標系統(tǒng)。統(tǒng)一3°帶的主子午線經(jīng)度由東經(jīng)75°起,每隔3°至東經(jīng)135°。2、當長度變形值大于2.5cm/km時，可依次采用：1）投影于抵償高程面上的高斯正形投影帶的平面直角坐標系統(tǒng)；2）高斯正形投影任意帶的平面直角坐標系統(tǒng)，投影面可采用黃海平均海水面或城市平均高程面。如何選擇城市平面控制網(wǎng)坐標系統(tǒng)？

3、面積小于25k㎡的城鎮(zhèn),可不經(jīng)投影采用假定平面直角坐標系統(tǒng)在平面上直接進行計算。第七十二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四1、工程測量中投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點1）有關投影變形的基本概念引起投影變形的因素：（1）實量邊長歸算到參考橢球體面上的變形影響

由公式可以看出：的值總為負，即地面實量長度歸算至參考橢球體面上，總是縮短的；值與成正比，隨增大而增大。s第七十三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四（2）將參考橢球面上邊長歸算到高斯投影面上的變形影響：為投影歸算邊長，即在參考橢求面上的長度。

由公式可以看出：的值總為正，即橢球面上長度歸算至高斯面上，總是增大的，值與成正比而增大，離中央子午線愈遠變形愈大。在測區(qū)平均高程面上的長度。第七十四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四第七十五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四2）有關工程測量平面控制網(wǎng)的精度要求的概念為便于施工放樣的順利進行，要求由控制點坐標直接反算的邊長與實地量得的邊長，在長度上應該相等，即由上述兩項歸算投影改正而帶來的變形或改正數(shù)，不得大于施工放樣的精度要求。一般地，施工放樣的方格網(wǎng)和建筑軸線的測量精度為1/5000～1/20000。因此，由歸算引起的控制網(wǎng)長度變形應小于施工放樣允許誤差的1/2，即相對誤差為1/10000～1/40000，也就是說，每公里的長度改正數(shù)，不應該大于10～2.5cm。第七十六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四3）、工程測量投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點

（1）在滿足精度要求的前提下，為使測量結果一測多用，應采用國家統(tǒng)一3°帶高斯平面直角坐標系，將觀測結果歸算至參考橢球面上。即工程測量控制網(wǎng)應同國家測量系統(tǒng)相聯(lián)系；（2）當邊長的兩次歸算投影改正不能滿足上述要求時，為保證測量結果的直接利用和計算的方便，可采用任意帶的獨立高斯平面直角坐標系，歸算測量結果的參考面可自己選定。(a)通過改變Hm從而選擇合適的高程參考面，將抵償分帶投影變形（稱為抵償投影面的高斯正形投影）；(b)改變ym從而對中央子午線作適當移動，以抵償由高程面的邊長歸算到參考橢球面上的投影變形（稱為任意帶高斯正形投影）；

(c)通過既改變Hm（選擇高程參考面），又改變ym（移動中央子午線），來抵償兩項歸算改正變形（稱為具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影）。第七十七頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四2、工程測量中幾種可能采用的直角坐標系1）國家3°帶高斯正形投影平面直角坐標系據(jù)計算，當測區(qū)平均高程在100m以下，且ym值不大于40km時，其投影變形值均小于2.5cm，可以滿足大比例尺測圖和工程放樣的精度要求。因此在偏離中央子午線不遠和地面平均高程不大的地區(qū)，無需考慮投影變形問題，直接采用國家統(tǒng)一的3°帶高斯正形投影平面直角坐標系作為工程測量的坐標系，使兩者一致。2）抵償投影面的3°帶高斯正形投影平面直角坐標系此時仍采用國家3°帶高斯投影，但投影的高程面不是參考橢球面而是依據(jù)補償高斯投影長度變形而選擇的高程參考面。在該參考面上長度變形為零。第七十八頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四抵償投影面的高程如何確定？當采用第一種坐標系時，有：若超過允許的精度要求(10～2.5cm)時，應考慮采用抵償投影面進行投影，即采用第二種坐標系，此時在抵償投影面上的投影變形為0，設該面的高程為H抵即：此時ym是定值，且假設不同投影面上同一距離近似相等。RHm△H第七十九頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四例1：某測區(qū)的平均高程為Hm=400m，測區(qū)中心在高斯投影3°帶的坐標為y=80km，要使測區(qū)內(nèi)抵償投影面上的長度與實地長度之差最小，試問抵償高程面應如何選定？所以抵償高程面高程應為：第八十頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四某測區(qū)海拔=2000（m），最邊緣中央子午線100（km），當=1000（m）時，則有而超過允許值（10～2.5cm）。這時為不改變中央子午線位置，而選擇一個合適的高程參考面，經(jīng)計算得高差：

將地面實測距離歸算到：算例：第八十一頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四3）任意帶高斯正形投影平面直角坐標系該坐標系中，仍把地面觀測結果歸算到參考橢球面上，但投影帶的中央子午線不按國家3°帶的劃分方法，而是依據(jù)補償高程面歸算長度變形而選擇的某一條子午線作為中央子午線。

當Hm不變，且假設不同投影面上同一距離近似相等。表示某測區(qū)中心的橫坐標值（或測區(qū)內(nèi)y坐標的平均值）如果是用上式計算得到的ym時，此時的投影變形為0，即已知ym的情況，來反確定中央子午線的位置。第八十二頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四某測區(qū)相對參考橢球面的高程=500m，為抵償?shù)孛嬗^測值向參考橢球面上歸算的改正值，依上式算得即選擇與該測區(qū)相距80km處的子午線。此時在=80km處，兩項改正項得到完全補償。算例：但在實際應用這種坐標系時，往往是選取過測區(qū)邊緣，或測區(qū)中央，或測區(qū)內(nèi)某一點的子午線作為中央子午線，而不經(jīng)過上述的計算。第八十三頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四例：某測區(qū)中心所在的大地坐標為L=114°10′20″，B=34°21′18″（北京54），測區(qū)內(nèi)平均高程為Hm=400m，為使高斯投影面上的長度與實地長度保持一致，試確定抵償投影帶中央子午線的經(jīng)度（設Rm=N=6371km）。取高斯坐標正算y的第一項所以抵償投影帶的中央子午線的經(jīng)度為：第八十四頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四4）具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標系該坐標系中，往往是指投影的中央子午線選在測區(qū)的中央，地面觀測值歸算到測區(qū)平均高程面上，按高斯正形投影計算平面直角坐標系。因此，這是綜合第二、三兩種坐標系長處的一種任意高斯直角坐標系。顯然這種坐標系更能有效地實現(xiàn)兩種長度變形改正的補償。5）假定平面直角坐標系當測區(qū)面積小于時，可不進行方向和距離改正，直接把局部地球表面作為平面建立獨立的平面直角坐標系。這時起算坐標和起算方位角最好能與國家網(wǎng)聯(lián)測，如果聯(lián)測有困難可自行測定邊長和方位，而起始點坐標可假定。這種假定平面直角坐標系只限于某種工程建筑施工之用。第八十五頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四這種方案的思路結合了前面兩種方案的一些特點，即將中央子午線移動至測區(qū)中部，又變換了高程投影面。當測區(qū)東西向跨度較大時，需要抵償?shù)膸捿^大時，應采用此種方案建立坐標系統(tǒng)。該方案同時要求：表示若抵償高程面的高程取測區(qū)的平均高程，或略低于該平均高程面（考慮到高程異常），則各邊長的高程投影變形近似為0表示若測區(qū)在中央子午線附近，則各邊長的高斯投影變形近似為0實現(xiàn)步驟第八十六頁，共九十二頁，編輯于2023年，星期四（1）、選擇合適的地方投影帶中央子午線L0：在測區(qū)內(nèi)或測區(qū)附