第七講-定積分的近似計(jì)算

第七講-定積分的近似計(jì)算第一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

問(wèn)題背景和實(shí)驗(yàn)?zāi)康亩ǚe分的近似計(jì)算

定積分計(jì)算的基本公式是牛頓－萊布尼茲公式。但當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)不知道時(shí)，如何計(jì)算？這時(shí)就需要利用近似計(jì)算。特別是在許多實(shí)際應(yīng)用中，被積函數(shù)甚至沒(méi)有解析表達(dá)式，而是一條實(shí)驗(yàn)記錄曲線，或一組離散的采樣值，此時(shí)只能用近似方法計(jì)算定積分。本實(shí)驗(yàn)主要研究定積分的三種近似計(jì)算算法：矩形法、梯形法和拋物線法。同時(shí)介紹Matlab計(jì)算定積分的相關(guān)函數(shù)。第二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

矩形法梯形法拋物線法

數(shù)值積分的常見(jiàn)算法主要內(nèi)容

Matlab求積分函數(shù)數(shù)值積分函數(shù)：trapz、quad、dblquad、triplequad符號(hào)積分函數(shù)：int第三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

矩形法

定積分的定義：定積分的近似計(jì)算第四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四矩形法d

充分小

定積分的近似：

通常我們?nèi)∽簏c(diǎn)法右點(diǎn)法中點(diǎn)法

點(diǎn)可以任意選取，常見(jiàn)的取法有：

左端點(diǎn)，右端點(diǎn)和中點(diǎn)。第五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四步長(zhǎng)節(jié)點(diǎn)

右點(diǎn)法：

中點(diǎn)法：

左點(diǎn)法：左點(diǎn)法、右點(diǎn)法和中點(diǎn)法第六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：矩形法舉例==>h=1/100=0.01,xi=i*h,a=0,b=1,n=100例：用不同的矩形法計(jì)算下面的定積分(取n=100)，

并比較這三種方法的相對(duì)誤差。

左點(diǎn)法：

右點(diǎn)法：

中點(diǎn)法：(i=0,1,2,...,100)第七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

理論值：左點(diǎn)法相對(duì)誤差：誤差分析矩形法舉例右點(diǎn)法相對(duì)誤差：中點(diǎn)法相對(duì)誤差：不同的方法有不同的計(jì)算精度有沒(méi)有更好的近似計(jì)算定積分的方法

?第八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四定積分幾何意義第九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

曲邊小梯形的面積可以由直邊小梯形的面積來(lái)近似整個(gè)曲邊梯形的面積：梯形法第十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

如果我們n

等分區(qū)間[a,b]，即令：則==>梯形公式梯形法梯形公式與中點(diǎn)公式有什么區(qū)別

?第十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：==>例：用梯形法計(jì)算下面定積分(取n=100)，

并計(jì)算相對(duì)誤差梯形法舉例a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2)==>h=1/100=0.01,xi=i*h,yi=f(xi)

相對(duì)誤差：第十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

2n

等分區(qū)間[a,b]，得該直線用拋物線代替，計(jì)算精度是否會(huì)更好？

計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值：拋物線法

在區(qū)間[x0,x2]上，用過(guò)以下三點(diǎn)的拋物線來(lái)近似原函數(shù)f(x)。第十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

設(shè)過(guò)以上三點(diǎn)的拋物線方程為：則在區(qū)間[x0,x2]上，有y=

x2+x

+

=p1(x)

拋物線法第十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

同理可得：

相加即得：拋物線法第十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

整理后可得：或辛普森(Simpson)公式拋物線法公式拋物線法第十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四==>例：用拋物線法計(jì)算下面定積分(取n=100)，

并計(jì)算相對(duì)誤差解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)

相對(duì)誤差：拋物線法第十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

矩形法梯形法拋物線法

數(shù)值積分的常見(jiàn)算法Matlab函數(shù)

Matlab求積分函數(shù)數(shù)值積分函數(shù)：trapz、quad、dblquad符號(hào)積分函數(shù)：int第十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

矩形法總結(jié)

Matlab數(shù)值積分函數(shù)：trapz、quad、dblquad

梯形法

拋物線法第十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四梯形法：trapztrapz(x,y)

x

為分割點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）組成的向量，

y為被積函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值組成的向量。

Matlab近似計(jì)算定積分的相關(guān)函數(shù)Matlab計(jì)算定積分函數(shù)介紹第二十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四前面的做法例：用梯形法計(jì)算下面定積分(取n=100)解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)>>

x=0:1/100:1;>>

y=1./(1+x.^2);>>

trapz(x,y)trapz函數(shù)trapz(x,1./(1+x.^2))trapz舉例第二十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四quad(f,a,b,tol)f=f(x)為被積函數(shù)，[a,b]為積分區(qū)間，tol

為計(jì)算精度將自變量看成是向量拋物線法：quad不用自己分割積分區(qū)間可以指定計(jì)算精度，若不指定，缺省精度是10-6精度越高，函數(shù)運(yùn)行的時(shí)間越長(zhǎng)此處的函數(shù)

f是數(shù)值形式，應(yīng)該使用數(shù)組運(yùn)算，即

點(diǎn)運(yùn)算：.*，./，.\，.^

注：拋物線法第二十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-10)函數(shù)表達(dá)式一定要用單引號(hào)括起來(lái)！涉及的運(yùn)算一定要用數(shù)組運(yùn)算！例：用quad

計(jì)算定積分：quad舉例第二十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四拋物線法計(jì)算二重積分：dblquaddblquad(f,a,b,c,d,tol)

tol

為計(jì)算精度，若不指定，則缺省精度為10-6

f可以是：

字符串；inline

定義的內(nèi)聯(lián)函數(shù)；函數(shù)句柄

[a,b]

是第一積分變量的積分區(qū)間，

[c,d]

是第二積分變量

的積分區(qū)間dblquad第二十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四>>

f=inline('4*x*y+3*y^2');>>

I=dblquad(f,-1,1,0,2)

f(x,y)

中關(guān)于第一自變量的運(yùn)算是數(shù)組運(yùn)算，

即把x

看成是向量，y

看成是標(biāo)量。也可以全部采用數(shù)組運(yùn)算例2：計(jì)算二重積分>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x^2'),-1,1,0,2)>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)X例1：計(jì)算二重積分dblquad舉例第二十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四例：計(jì)算二重積分>>

dblquad(@(x,y)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)指定x、y

分別是第一和第二積分變量>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)被積函數(shù)f(x,y)

的另一種定義方法：匿名函數(shù)>>

dblquad(@(y,x)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)下面的命令運(yùn)行結(jié)果和上面的一樣嗎？dblquad舉例第二十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四int(f,a,b)

計(jì)算

f

關(guān)于默認(rèn)自變量

的定積分，積分區(qū)間為[a,b]。int(f)

計(jì)算

f

關(guān)于默認(rèn)自變量

的不定積分。int(f,v,a,b)

計(jì)算函數(shù)f

關(guān)于自變量v

的定積分，積分區(qū)間為[a,b]int(f,v)

計(jì)算函數(shù)

f

關(guān)于自變量

v

的不定積分findsym(f,1)符號(hào)積分：

intint符號(hào)積分第二十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四>>

symsxy;>>

f=y*sin(x);>>

int(f,x)>>

int(f,y)>>

int(f)>>

int('a+b')ans=-y*cos(x)ans=1/2*y^2*sin(x)ans=-y*cos(x)ans=a*b+1/2*b^2例：指出下面各條語(yǔ)句的輸出結(jié)果int舉例第二十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四例：用int

函數(shù)計(jì)算定積分：解：>>

symsx;>>

f=1/(1+x^2);>>

int(f,x,0,1)>>

f=sym('1/(1+x^2)');>>

int(f,x,0,1)>>

int('1/(1+x^2)',x,0,1)或>>

int('1/(1+x^2)',0,1)或或int舉例第二十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四double(a)將a

轉(zhuǎn)化為雙精度型，若a

是字符，則取對(duì)應(yīng)的ASCII碼>>

a=3;>>

double(a)>>

double('a')例：ans=3ans=97其它相關(guān)函數(shù)第三十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四>>

x=1:0.001:2;>>

y=exp(x.^(-2));>>

trapz(x,y)

梯形法：

拋物線法：>>

quad('exp(x.^(-2))',1,2,10e-10)

符號(hào)積分法：>>

syms

x>>

int('exp(x^(-2))',x,1,2)例1：用Matlab

函數(shù)近似計(jì)算積分?jǐn)?shù)值實(shí)驗(yàn)第三十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

拋物線法：>>

dblquad(inline('x+y^2'),0,2,-1,1)

符號(hào)積分法：>>

f=int('x+y^2','y',-1,1);>>

int(f,0,2)數(shù)值實(shí)驗(yàn)例2：用Matlab

函數(shù)近似計(jì)算二重積分第三十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四拋物線法計(jì)算三重積分：triplequadtriplequad(f,a,b,c,d,e,f,tol)

tol

為計(jì)算精度，若不指定，則缺省精度為10-6

f可以是：

字符串；inline

定義的內(nèi)聯(lián)函數(shù)；函數(shù)句柄

[a,b]

是第一積分變量的積分區(qū)間，

[c,d]

是第二積分變量

的積分區(qū)間

[e,f]是第二積分變量的積分區(qū)間triplequad第三十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

f(x,y,z)

中關(guān)于前兩個(gè)自變量的運(yùn)算是數(shù)組運(yùn)算，

即把x，y看成是向量，z看成是標(biāo)量。也可以全部采用數(shù)組運(yùn)算例2：計(jì)算三重積分>>

triplequad(inline('4*x.*y+3*x.^2+z^2'),-1,1,0,2,0,1)>>

symsxyz>>int(int(int('4*x*y+3*x^2+z^2',x,-1,1),y,0,2),z,0,1)triplequad舉例第三十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四>>

triplequad(@(x,y,z)4*x.*y+3*x.^2+z^2,-1,1,0,2,0,1)指定x、y,

z

分別是第一、二、三積分變量>>

triplequad(inline('4*x.*y+3*x.^2+z^2'),-1,1,0,2,0,1)被積函數(shù)f(x,y,z)

的另一種定義方法：匿名函數(shù)triplequad舉例例2：計(jì)算三重積分第三十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四梯形數(shù)值積分命令trapz()clearx=0:pi/100:pi;y=sin(x);tr