第三章傅里葉變換

第三章傅里葉變換第一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四目錄3.3

傅里葉變換3.1

周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析3.2

典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)3.4

典型非周期信號(hào)的傅里葉變換3.5

傅里葉變換的基本性質(zhì)3.6

周期信號(hào)的傅里葉變換3.7

取樣信號(hào)的傅里葉變換3.8

系統(tǒng)的頻域分析3.9

信號(hào)的傳輸?shù)诙?yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析從本章起，我們由時(shí)域分析進(jìn)入頻域分析，在頻域分析中，首先討論周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)，然后討論非周期信號(hào)的傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問(wèn)題統(tǒng)稱(chēng)為傅里葉分析。任何周期函數(shù)在滿足狄義赫利的條件下，可以展成正交函數(shù)線性組合的無(wú)窮級(jí)數(shù)。如果正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，此時(shí)周期函數(shù)所展成的級(jí)數(shù)就是“傅里葉級(jí)數(shù)”。第三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.1.1三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)周期信號(hào)為f(t),其重復(fù)周期是T1,角頻率其中推導(dǎo)f(t)分解為不同頻率三角函數(shù)線性組合的無(wú)窮級(jí)數(shù)?；?，二次諧波….n次諧波傅里葉級(jí)數(shù)表明信號(hào)中各次諧波的分布。第四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)也可表示成：（2）其中an為的偶函數(shù)，為的奇函數(shù)cn為的偶函數(shù)，為的奇函數(shù)第五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四例題求題圖所示的周期矩形信號(hào)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)。解：一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為：第六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四因此第七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.1.2指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)其中Fn與nw1形成函數(shù)關(guān)系f(t)分解為不同頻率指數(shù)函數(shù)線性組合的無(wú)窮級(jí)數(shù)。

f(t)→Fn建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。第八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四例題：如圖所示信號(hào)f(t)的指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。-TsTs-τ/2τ/2tE分析：要求級(jí)數(shù)只要確定了系數(shù)Fn即可。解：第九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四例題：已知信號(hào)f(t)=cos100t,求指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)Fn。解：所以例題：已知指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)Fn如圖所示，求信號(hào)f(t)解：所以-2w12w1-w1w1nw1Fn331第十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.1.3周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)1.周期信號(hào)的頻譜（3）（1）（2）

f(t)→Fn建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。不同時(shí)域信號(hào)對(duì)應(yīng)的Fn不同，因此可以通過(guò)研究Fn來(lái)研究信號(hào)的特性。Fn是頻率的函數(shù)，它反映了組成信號(hào)的各次諧波的幅度和相位變化規(guī)律稱(chēng)為頻譜函數(shù)。可直觀地看出各頻率分量的相對(duì)大小和相位情況，這樣的圖就稱(chēng)為信號(hào)的幅度頻譜和相位頻譜。第十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四例題：已知信號(hào)f(t)=cos100t,求其頻譜Fn。解：所以例題：已知信號(hào)f(t)的頻譜Fn如圖所示，求信號(hào)f(t)。解：所以-2w12w1-w1w1nw1Fn221-w1w1nw1Fn0.5第十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四例題求題圖所示的周期矩形信號(hào)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，并畫(huà)出頻譜圖。解：一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為：第十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四幅度頻譜和相位頻譜離散性諧波性收斂性頻譜的特點(diǎn)第十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)（1）離散性--------頻譜是離散的而不是連續(xù)的，這種頻譜稱(chēng)為離散頻譜（2）諧波性--------譜線出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上。（3）收斂性--------幅度譜的譜線幅度隨著而逐漸衰減到零。3.1.4波形的對(duì)稱(chēng)性與諧波特性的關(guān)系如果f(t)是實(shí)函數(shù)而且它的波形滿足某種對(duì)稱(chēng)性，則在傅里葉級(jí)數(shù)中有些項(xiàng)將不出現(xiàn)，留下的各項(xiàng)系數(shù)的表示式也將變得比較簡(jiǎn)單。第十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四（1）偶函數(shù)所以，在偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中不會(huì)有正弦項(xiàng)，只可能含有（直流）和余弦分量。第十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四（2）奇函數(shù)在奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中不會(huì)含有直流與余弦分量，只可能包含正弦分量。（3）奇諧函數(shù)或第十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四（3）奇諧函數(shù)例如第十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四可見(jiàn)，在奇諧函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中，只會(huì)含有基波和奇次諧波的正弦、余弦分量，而不會(huì)包含直流和偶次諧波分量。第十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.2典型周期信號(hào)的頻譜3.2.1周期矩形脈沖信號(hào)(1)周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)第二十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

f(t)的指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為（2）頻譜圖第二十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四一般情況：若則第一個(gè)零值點(diǎn)之內(nèi)或兩個(gè)相鄰的零值點(diǎn)之間有n-1根譜線。有效帶寬：或結(jié)論：矩形脈沖的頻帶寬度與脈沖寬度成反比。第二十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四（3）頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系（T1,）

1.若不變，擴(kuò)大一倍，即第二十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

2.若不變，減小一半，即

譜線間隔只與周期T1

有關(guān)，且與T1成反比；零值點(diǎn)頻率只與有關(guān)，且與成反比；而譜線幅度與和都有關(guān)系，且與成反比與成正比。第二十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.2.2周期鋸齒脈沖信號(hào)E/2tf(t)-E/2T1/2-T1/2周期鋸齒脈沖信號(hào)的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以1/n的規(guī)律收斂。第二十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.2.3周期三角脈沖信號(hào)周期三角脈沖的頻譜只包含直流、奇次諧波的余弦分量，諧波的幅度以的規(guī)律收斂。Ef(t)t-T1-T1/2T1/2T1第二十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.3傅里葉變換周期信號(hào)的離散譜非周期信號(hào)的連續(xù)譜由于第二十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四頻譜密度函數(shù)則-----------非周期信號(hào)f(t)

的傅里葉變換記為F[f(t)]---------傅里葉逆變換F–1第二十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四------------相位譜周期信號(hào)：------連續(xù)譜------離散譜------------幅度譜傅里葉逆變換：傅里葉變換：第二十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.4典型非周期信號(hào)的傅里葉變換一、單邊指數(shù)信號(hào)第三十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、雙邊指數(shù)信號(hào)第三十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四三、對(duì)稱(chēng)矩形脈沖信號(hào)周期矩形脈沖信號(hào)：P102最下邊之間滿足如下關(guān)系：第三十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四四、符號(hào)函數(shù)F第三十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四五、沖激函數(shù)和沖激偶函數(shù)單位沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)，也就是說(shuō)，在整個(gè)頻率范圍內(nèi)頻譜是均勻的。這種頻譜常常被叫做“均勻譜”或“白色頻譜”。(1）沖激函數(shù)的傅里葉變換第三十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四(2）沖激函數(shù)的傅里葉逆變換F或FF第三十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四（3）沖激偶的傅里葉變換F即：上式兩邊對(duì)t求導(dǎo)得：F同理：F第三十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四五、階躍信號(hào)FFF第三十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.5傅里葉變換的基本性質(zhì)3.5.1線性則F[af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w)3.5.2對(duì)稱(chēng)性若F[f1(t)]=F1(w),F[f2(t)]=F2(w)02πf(ω)ω(2π)tF(t)=1010F(ω)=R(ω)=1ω1例如：0(1)t若F[f(t)]=F(w),則F[F(t)]=2πf(-w)第四十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四又如：第四十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四F例3-3：求解：第四十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四例3-4已知求逆變換。解：第四十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.5.3對(duì)偶性第四十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四兩種特定關(guān)系：1.若f(t)是實(shí)函數(shù)，或純虛函數(shù)

[f(t)=j

g(t)]，則|F(w)|是偶函數(shù),φ(w)是奇函數(shù)。2.若f(t)是t的

實(shí)偶函數(shù)，則F(w)必為w的實(shí)偶函數(shù)

F(w)=R(w)若f(t)是t的實(shí)奇函數(shù)，則F(w)必為w的虛奇函數(shù)

F(w)=jx(w)第四十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.5.4位移特性（1）時(shí)移特性例3-5：求下圖所示的單邊矩形脈沖信號(hào)的頻譜函數(shù)。解：因?yàn)閷?duì)稱(chēng)矩形脈沖信號(hào)EGτ(t)的傅里葉變換為F[EGτ(t)]=EτSa(wτ/2)根據(jù)時(shí)移特性若F[f(t)]則同理F[f(t-t0)]=F[f(t+t0)]=第四十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四幅度譜保持不變，相位譜產(chǎn)生附加相移-wτ/2F[f(t)]=EτSa(wτ/2)e-jwτ/2-wτ/2則若F[f(t)](2)頻移特性第四十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：

例3-7：求的頻譜。第四十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四例3-8：求矩形調(diào)幅信號(hào)的頻譜函數(shù)，已知f(t)=G(t)cosω0t，其中

G(t)為矩形脈沖，脈幅為E,脈寬為τ。解：f(t)=G(t)cosω0t=0.5G(t)(ejω0t+e-jω0t)第四十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

由上可見(jiàn)，信號(hào)在時(shí)域中壓縮等效在頻域中擴(kuò)展；反之，信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展等效在頻域中壓縮。

3.5.5尺度變換特性則若F[f(t)]F[f(at)]第五十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四綜合時(shí)移特性和尺度變換特性，可以證明以下兩式：3.5.6微分與積分特性（1）時(shí)域微分特性F[f(at-t0)]F[f(at+t0)]則若F[f(t)]F[df(t)/dt]F[dnf(t)/dtn]第五十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四（2）時(shí)域積分特性例如：由于F所以FF則若F[f(t)]F若F(0)=0則F思考問(wèn)題：若已知函數(shù)m’(t)=f(t),并且f(t)傅里葉變換為F(w),那么能否直接利用上式求出m(t)的傅里葉變換？答案是否定的。關(guān)鍵在于f(t)的積分不一定等于m(t)。第五十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四因此，若已知函數(shù)m’(t)=f(t),并且f(t)傅里葉變換為F(w),那么利用F(w)求m(t)的傅里葉變換時(shí)應(yīng)利用若m(-∞)和m(+∞)都為0，那么上式第五十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四例：利用積分特性分別求f1(t)=u(t)及f2(t)=0.5sgn(t)的傅里葉變換。解：由于第五十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四（3）頻域微分特性例：若則第五十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.5.7卷積定理（1）時(shí)域卷積定理（2）頻域卷積定理若F[f2(t)]則F[f1(t)*f2(t)]=F[f1(t)]若則F[f2(t)]F[f1(t)]F[f1(t)f2(t)]=第五十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四例3-13：利用頻域卷積定理求余弦脈沖的頻譜。解：我們把f(t)看作是矩形脈沖G(t)

與無(wú)窮長(zhǎng)余弦函數(shù)的乘積。Ftf(t)tt第五十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四ttFf(t)t相乘卷積第五十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四例3-12：利用時(shí)域卷積定理求三角脈沖的頻譜解：我們可以把三角脈沖看作是兩個(gè)同樣的矩形脈沖的卷積。而矩形脈沖的幅度、寬度可以由卷積的定義直接看出，分別為√2E/τ及τ/2。t-τ/4τ/4G(t)f(t)t-τ/2τ/2E第五十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四f(t)t-τ/2τ/2Et-τ/4τ/4G(t)第六十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.6.1正弦、余弦信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)非周期信號(hào)？傅里葉變換3.6周期信號(hào)的傅里葉變換第六十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

3.6.2一般周期信號(hào)的傅里葉變換

令周期信號(hào)f(t)的周期為T(mén)1,角頻率為。它的傅里葉級(jí)數(shù)為

周期信號(hào)f(t)的傅里葉變換是由一系列沖激函數(shù)所組成，這些沖激位于信號(hào)的諧頻處，每個(gè)沖激的強(qiáng)度等于f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)相應(yīng)系數(shù)Fn的倍。其中：對(duì)式（1）兩邊取傅里葉變換或：第六十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四例3-14：求周期單位沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換。第六十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：已知矩形脈沖f0(t)的傅里葉變換F0(jω)為例3-15：求周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換。

已知周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的幅度為E，脈寬為τ，周期為T(mén)1,角頻率為ω1=2π/T1。第六十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)：第六十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列p(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中“取樣”一系列的離散樣值，這種離散信號(hào)通常稱(chēng)為“取樣信號(hào)”。3.7.1信號(hào)的取樣3.7取樣信號(hào)的傅里葉變換也稱(chēng)抽樣，它是用離散化的一組樣本值表示連續(xù)函數(shù)的過(guò)程或者方法。抽樣脈沖信號(hào)的頻率稱(chēng)為抽樣頻率，記為fs。抽樣脈沖信號(hào)原始信號(hào)已抽樣脈沖信號(hào)第六十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四fs(t)取樣連續(xù)信號(hào)f(t)量化、編碼數(shù)字信號(hào)取樣脈沖p(t)取樣過(guò)程方框圖已取樣信號(hào)第六十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.7.2已取樣信號(hào)的傅里葉變換其中：E所以，令連續(xù)信號(hào)f(t)的傅里葉變換為取樣脈沖p(t)的傅里葉變換為已取樣信號(hào)fs(t)的傅里葉變換為第六十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四（1）矩形脈沖取樣

取樣脈沖p(t)是矩形脈沖，令它的脈沖幅度為E，脈寬為τ，取樣角頻率為ωs，這種取樣也稱(chēng)為“自然取樣”。E第六十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四相乘tfs(t)Ts卷積ωFs(jω)ωs-ωsωP(jω)ωs-ωs(Eτωs)Ep(t)tTs設(shè)：第七十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四（2）沖激取樣若取樣脈沖p(t)是沖激序列，此時(shí)稱(chēng)為“沖激取樣”或“理想取樣”顯然，F(xiàn)(jω）在以ωs

為周期的重復(fù)過(guò)程中幅度以的規(guī)律變化。

由于沖激序列的傅里葉系數(shù)Pn為常數(shù)，所以F(jω)是以ωs為周期等幅地重復(fù)。tp(t)Ts(1)第七十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四tp(t)Ts(1)ωP(ω)(ωs)ωs-ωstfs(t)Ts相乘ωFs(jω)ωm-ωm1/Tsωs-ωs卷積第七十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.7.3取樣定理并且如何從取樣信號(hào)中恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)？

用取樣脈沖對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行取樣，取樣周期取多大合適呢？ωFs(ω)ωm-ωm1/Tsωs-ωs從上圖可知：只有滿足才不會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊，即保留了原連續(xù)時(shí)間信號(hào)的全部信息。這時(shí)只要將施加于“理想低通濾波器”，就可恢復(fù)原信號(hào)f(t)。理想低通濾波器的頻率特性為：第七十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四ωFs(ω)ωm-ωm1/Tsωs-ωsωωm-ωm1/Ts其中：

通常把最低允許的取樣率稱(chēng)為奈奎斯特取樣率，把最大允許的取樣間隔稱(chēng)為奈奎斯特間隔。即或：第七十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四時(shí)域取樣定理：一個(gè)頻譜受限的信號(hào)f(t)，如果頻譜只占據(jù)-ωm~ωm的范圍，則信號(hào)f(t)可以用等間隔的取樣值來(lái)惟一地表示。而取樣間隔Ts≤1/(2fm)(其中ωm=2πfm），或者說(shuō)，取樣頻率fs≥2fm。第七十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四tf(t)ωF(ω)ωm-ωm1ωωm-ωm1/Ts-ωsωsF(ω)tfs(t)Tsωωm-ωm1/Ts-ωsωsFs(ω)tfs(t)Ts第七十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四解:（1）奈奎斯特取樣率為：例3-16已知信號(hào)用對(duì)其進(jìn)行取樣，（1）確定奈奎斯特取樣率；（2）若取求取樣信號(hào)并畫(huà)出波形圖；（3）求并畫(huà)出頻譜圖；（4）確定低通濾波器的截止頻率F第七十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四（2）（3）第七十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四即低通濾波器的截止頻率應(yīng)滿足下式：（4）第七十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.8.1系統(tǒng)響應(yīng)的頻域表示設(shè)FFF（1）對(duì)式（1）兩邊取傅里葉變換：或：--------系統(tǒng)函數(shù)（或轉(zhuǎn)移函數(shù)）--------激勵(lì)信號(hào)的頻譜--------響應(yīng)信號(hào)的頻譜--------系統(tǒng)函數(shù)3.8系統(tǒng)的頻域分析第八十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四