第8講二維隨機變量

引例：在打靶時,命中點的位置是由一對隨機變量(兩個坐標)來確定的.飛機的重心在空中的位置是由三個隨機變量(三個坐標)來確定的等等.一維隨機變量及其分布第三章隨機向量多維隨機變量及其分布隨機向量的定義設(shè)E

是一個隨機試驗,它的樣本空間是W

,設(shè)X1

,

X

2

,

Xn是定義在W

上的n個隨機變量,由它們構(gòu)成的一個整體(X1

,

X2

,,

Xn叫做n維隨機向量或n維隨機變量。定義§3.1

二維隨機向量及其分布函數(shù)設(shè)E

是一個隨機試驗,它的樣本空間是W

,設(shè)X

,

Y是定義在W

上的

2

個隨機變量,

由它們構(gòu)成的一個整體(X

,

Y定義Oxy((Xx,,Yy)叫做二維隨機向量或二維隨機變量。二維隨機變量的取值記為：(x,y)一維隨機變量X的分布函數(shù)F

(x)

=

P{X

￡

x}-￥

<

x

<

+￥稱為二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù).或稱為隨機變量X和Y

的聯(lián)合分布函數(shù).定義設(shè)(X

,Y是二維(X,Y)的分布函數(shù)=

P

{X

￡

x,Y

￡

y}隨機變量,

二元函數(shù)F

(x,

y

-￥

<

x

<

+￥

,

=

P

{{X

￡

x}

{Y

￡

y}}

-￥

<

y<

+￥

簡記為y(X

,YOy(x,

y)x左下方的無窮矩形F

(

x,

y)

=

P

{X

￡

x

,Y

￡

y}落在點(x,yy(X

,YOxy(x,

y)x注1隨機點(X

,Y區(qū)域內(nèi)的概率.(-￥

<

x

<

+￥

,

-￥

<

y

<

+￥的函數(shù)值

F

(x,

y

是:注2

隨機點(X

,Y落在矩形域x1

<x

￡

x2

,y1

<y

￡

y2內(nèi)的概率P(x1

<

X

￡

x2

,

y1

<

Y

￡

y2=

F

(x2

,

y2

-

F

(x2

,

y1

-

F

(x1,

y2

+

F

(x1,

y1yxY(X

,Oy2y11xx2(x1

,

y1(x2

,

y1(x1

,

y2

(x2

,

y2x1.

F

(x,y

是關(guān)于變量x

和y

的單調(diào)不減y

函數(shù);O(X

,Yx1x2y(x

,

y)1x2

,

y分布函數(shù)F

(x,y)的性質(zhì):(X

,Y及"y1

,y2

?

R,當(dāng)y1

<y2時,都有

F

(x,y1

)￡

F

(x,y2

);對任意固定的y

?

R及"x1

,x2

?

R,當(dāng)x1

<x2時,都有F

(x1,

y

￡

F

(x2

,

y

;對任意固定的x

?

R,yy(X

,YOxF

(-￥

,

-￥

=

0

,

F

(+￥

,

+￥對任意固定的x

?

R

,F

(x,-￥=0,=1.對任意固定的

y

?

R

,F

(-￥

,

y

=

0

,2. 0

￡

F

(x,y

￡1,且3.

F

(x,

y

=

F

(x

+

0,

y

,

F

(x,

y

=

F

(x,

y

+

0

.即F(x,

y)關(guān)于x,y是右連續(xù)的。(x,

y)【注】這三條性質(zhì)是分布函數(shù)的特征性質(zhì).x一維離散型隨機變量X的概率分布

P(X

=xk

)=pk

,k=1,2,…kpk

=1

pk

?

0,

k=1,2,

…定義

如果二維隨機變量(X

,Y

全部可能的取值為有限對或可列無限多對,則稱(X,Y)是二維離散型隨機變量.設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)所有可能的取值是(

xi

,

y

j

),

i,

j

=

1,

2,;(X,Y)取各對可能值的概率為P(X

=xi

,Y

=

yj

)=pij,

i,j

=

1,

2,稱這些概率為二維離散型隨機變量(X,Y)的概率分布,或稱為隨機變量X和Y

的聯(lián)合概率分布.§3.2

二維離散型隨機向量YXy1y2y

jx1p11p21pi1p12p22pi

2p1

jp2

jpijx2xi二維離散型的(X,Y

)的概率分布也可用表格來表示：概率分布的性質(zhì)：pij

?

0,

i,

j

=

1,

2,

pij

=

1i,

j二維離散型隨機變量(X,Y

)的分布函數(shù):F

(x,

y)

=

P

{X

￡

x

,Y

￡

y}

=xi

￡x,

y

j

￡

ypijYXy1y2y

jx1p11p21pi1p12p22pi

2p1

jp2

jpijx2xi概率分布與分布函數(shù)的關(guān)系二維離散型隨機變量(X,Y

)的概率分布1，第二次取到的產(chǎn)品是次品，Y

=0，第二次取到的產(chǎn)品是正品，試求二維隨機變量(X

,Y

)的分布律.X

=0，第一次取到的產(chǎn)品是正品，設(shè)有10件產(chǎn)品，其中7件正品，3件次品，現(xiàn)從中任取兩次，每次取一件產(chǎn)品，取后不放回，令1，第一次取到的產(chǎn)品是次品，例1解{X

,Y}的所有可能的取值為:（0，0）,（0，1）,（1，0）,（1，1）P{X

=

0,Y

=

0}=P{第一、二次取到的都是正品的}=

7

·6

=

710

·915P{X

=

0,Y

=1}=P{第一次取到的是正品且第二次取到的是次品}=

7

·310

·930=

730P{X

=1,Y

=

0}=

7

，

P{X

=1,Y

=1}=

115故

(

X

,

Y

)

的概率分布為Y

X0107157

3017301

15例2

把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y

為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值,求(X

,Y)

的分布律.解(X,Y

)可能的取值為(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)XY13001

813

8023

80301

82

3P{X=1,

Y=1}

=

C11

1

2

2

=3/8

1

2P{X=2,Y=1}

=

C

23

12

2

3P{X=3,Y=0}

=

(1

2)=

1

8.=3/83P{X=0,

Y=3}=

(1

2)

=

1

8例3

設(shè)隨機變量X

在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取值,另一個隨機變量Y

在1

~

X

中等可能地取一整數(shù)值.試求(X

,Y

)的分布律.解(X

,Y

)的所有可能的取值為:{i,j},

i

=1,2,3,4,j取不大于i的正整數(shù).P{

X

=

i,Y

=

j}=

P{X

=

i}P{Y

=

j

X

=

i}=

14

i1

,

i

=

1,2,3,4,j取不大于i的正整數(shù).1234123441811101812

161

1001211610001612

161XY于是(X

,Y

)的分布律為4

iP{

X

=

i,Y

=

j}=

11

,i

=1,2,3,4,

j取不大于i的正整數(shù).解

(

X,

Y

)

的可能取值為(1,2), (2,1),

(2,2).例4

一個袋中有三個球,依次標有數(shù)字1,

2,

2,從中任取一個,不放回袋中,再任取一個,設(shè)每次取球時,各球被取到的可能性相等,以X,Y

分別記第一次和第二次取到的球上標有的數(shù)字,求

(

X,

Y

)

的分布律與分布函數(shù).1

2

2P{X

=1,Y

=

2}=

1 2

=

1

,3

2

3P{X

=

2,Y

=1}

=

2 1

=

1

,3

2

32

1 1

.P{X

=

2,Y

=

2}

=

3 2

=

3故

(

X

,

Y

)

的分布律為Y

X12101

321

31

3下面求分布函數(shù).(1)當(dāng)x

<1

或y

<1

時,F

(

x,

y)

=

0;(2)當(dāng)1

￡

x

<2,1

￡

y

<2時,F

(

x,

y)

=

p11

=

0;(3)當(dāng)1

￡

x

<2,y

?2時,F

(

x,

y)

=

p11

+

p12

=

1

3;2112oxy(2,2)(1,2)(1,1)(2,1)(x,

y)(x,

y)(x,

y)(x,

y)F

(

x,

y)=

P{

X

￡

x,Y

￡

y}(4)當(dāng)x

?2,1

￡

y

<2時,(5)當(dāng)x

?2,

y

?2時,F

(x,y)=p11

+p21

+p12

+p22

=1.F

(x,

y)

=

p11

+

p21

=1

3;211oxy(2,2)2

(1,2)(1,1)(2,1)(x,

y)(x,

y)所以(X

,Y

)的分布函數(shù)為0,

x

<1

或y

<1,1F(x,y)=3,

1

￡

x

<2,y

?2,或x

?2,1

￡

y

<2,1,

x

?

2,

y

?

2.(X

,Y

的分布函數(shù)F

(x,

y

,則稱(X,Y

)是二維連續(xù)型的隨機變量,(

)F

x,

y

=(f（u,v）du)dvy

x-￥

-￥如果存在非負函數(shù)

f

(x,

y

,使對于任意實數(shù)x,y

,均有§3.3

二維連續(xù)型隨機向量定義對于二維隨機變量或稱為隨機變量X

和Y

的聯(lián)合概率密度.稱f

(x,y為(X,Y

)的概率密度,(

)-￥xF

x

=f

(t

)d

tf

(x)=F

￠(x)￥

-￥

f

(x)

?

0f

(x)dx

=1一維連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)f

(x

,(-￥

<

x

<+￥）（X,Y）的概率密度的性質(zhì):1

.

f

(x,

y)?

0

;R2

f（x,

y）dx)dy

=

1

f

(x,

y

)dxdy

=

1

;+￥

+￥-￥

-￥2.

(幾何意義:介于曲面f(x,y)和平面xOy之間的空間區(qū)域的體積等于1.【注】這兩條性質(zhì)是概率密度的特征性質(zhì)。f

(x,

y

)=?2

F

(x,

y?x?y(在f

(x,y)的連續(xù)點處)幾何意義:注1.

設(shè)G是xOy平面上的區(qū)域，則P{(X,Y

?

G}=

f

(x,

y

dxdyP{(X

,Y

)?

G}等于以G為底，以曲面z=f

(x,

y)為頂?shù)那斨w的體積.2.

f

(x,y)與F

(x,y)的關(guān)系G(

)F

x,

y

=(f（u,v）du)dvy

x-￥

-￥例4

設(shè)(X,Y)的概率密度是求常數(shù)A;求分布函數(shù)

F

(x,

y

;求概率P

{Y

￡

X

}.

Ae-(2

x+

y

)

,f

(x,

y

)=

x

>

0,

y

>

0,其它.0,f

(x,y

)dxdy

=1，故+￥

+￥-￥-￥因此A=2.-(2

x+

y

)0

0Ae dxdy

=

1+￥

+￥解(1)由于

00左端=Ae

dx-2

xe

dy-

y+￥+￥1212=A1

=A

=

1uvy(x,

y)x

O(

)F

x,

y

=(f（u,v）du)dvyx-￥

-￥被積函數(shù)非零的區(qū)域：D1

={(u,v

)u

>0,v

>0}解(2)u積分區(qū)域：D2

={(u,v

)-￥<u

￡

x,-￥<v￡

y}vOy(x,

y)x2DD2D1D1Ouvy(x,

y)xOuvy(x,

y)x(

)F

x,

y

=(f（u,v）du)dv

=

0y

x-￥

-￥D1D2當(dāng)

x

￡

0或

y

￡

0

時,D1D2(1

-

e-2

x

)(1

-

e-

y

),F

(x,

y

)=

x

>

0,

y

>

0,0,

其它.故0

0(2e

du)dv-(2u+v

)y

x=e-2udu00=

2yxe

dv-v=

(1

-

e-2

x

)(1

-

e-

y

)當(dāng)x

>0,y

>0

時,(

)x,

y

=(f（u,v）du)dvyxF-￥-￥Ouvy(x,

y)xD1D2(

)-2

x-3

x0=

2e

-

e

dx+￥3=

1

.(3)P

{Y

￡

X

}=

f

(x,

y

)dxdyy￡

x(

)00=

2(e

dy)dx-

2

x+

y+￥

x00=

2e

(-2

xe

dy)dxx-

y+￥y

=

xxyoy

=

xxyox例5

設(shè)隨機變量(X

,Y

)的聯(lián)合分布函數(shù)為-

￥

<

x

<

+￥

,-￥

<

y

<

+￥其中A

,B

,C

為常數(shù).確定常數(shù)A

,B

,C

；求P

(X>2);求(X

,Y

)的聯(lián)合密度函數(shù)。

2

2

F

(x,

y)

=

A

B

+

arctan

x

C

+

arctan

y

解(1)

2

2

F

(+￥

,+￥

)

=

A

B

+

p

C

+

p

=1F

(-￥

,

y)

=

A

B

-

p

C

+arctan

y

=

0

2

2

F

(x,

-￥

)

=

A

B

+arctan

x

C

-

p

=

0

2

2

2

2p

2B

=

p

,C

=

p

,

A

=

122-

￥

<

x

<

+￥

,

-￥

<

y

<

+￥p2

2

2

故

F

(x,

y)

=

1

p

+

arctan

x

p

+

arctan

yF

(-￥

,

-￥

)

=

A

B

-

p

C

-

p

=

0

2

2

2

p

2

=1

-

1

+

1

arctan

2

=1/

4.(3)4?2

F(x,

y)

1=p

2

(4

+

x2

)(4

+

y2

)f

(x,

y)=-￥

<

x

<

+￥

,

-￥

<

y

<

+￥?x?y22pF

(x,

y)

=

1

p

+

arctan

x

p

+

arctan

y

2

2

2

-

￥

<

x

<

+￥

,

-￥

<

y

<

+￥(2)

P(

X

>

2)

=1-

P(

X

￡

2)=1-

P(

X

￡

2,Y

<

+￥

)=1-

F

(2,

+￥

)二維均勻分布定義

設(shè)D為平面上的有界區(qū)域，其面積為d，若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度(x,

y

)?

D其他

1

,f

(x,

y

)=

d0,則稱（

X,Y）服從區(qū)域D上的均勻分布。若（

X,Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，則(X

,Y

落在二維均勻分布的意義：1AP（{

X，Y

)

?

A}

=

ddxdy=A的面積

D的面積(X,Y)落在D內(nèi)任一小區(qū)域A內(nèi)的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與A的形狀及位置無關(guān).D中某一區(qū)域A中的概率x2

+

y2

￡

4其它

1

,f

(x,

y)

=

4p

0,例6

設(shè)(X,Y)服從

D

={(x,

y)

:

x2

+

y2

￡

4}

上的均勻分布，計算

P（{

X，Y

)

?

A},

這里A是圖中陰影部分的區(qū)域.解 由于區(qū)域D的面積d

=

4p

,故(X,Y)的概率密y度為P（{

X，Y

)

?

A}o2

x211A

1

12=

=4p

8p

1

4pAdxdy=從而