第9章 平面解析幾何 第2節(jié)　兩直線的位置關(guān)系

第九章平面解析幾何第2節(jié)兩直線的位置關(guān)系考試要求1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層訓(xùn)練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1知識(shí)梳理1.兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行

對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?________.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2______. (2)兩條直線垂直

如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?______________，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線______.k1＝k2平行k1·k2＝－1垂直平行?方程組______；重合?方程組有__________.2.兩直線相交唯一解無解無數(shù)個(gè)解(1)兩點(diǎn)間的距離公式平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝____________________________.3.距離公式

特別地，原點(diǎn)O(0，0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝__________.(2)點(diǎn)到直線的距離公式平面上任意一點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝___________.(3)兩條平行線間的距離公式一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝_______________.4.對(duì)稱問題(1)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于點(diǎn)A(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為P′____________________.(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則有(2a－x0，2b－y0)常用結(jié)論1.兩直線平行的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要條件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).2.兩直線垂直的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0.3.若直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，則方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)表示過l1和l2的交點(diǎn)的直線系方程(不表示直線l2的方程).×診斷自測(cè)解析(1)兩直線l1，l2有可能重合.(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，則l2的斜率不存在.1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.(

)(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(

)(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交.(

)(4)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.(

)×√√A2.(易錯(cuò)題)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與l2：mx＋3y－6＝0平行，則實(shí)數(shù)m的值為(

) A.2 B.－3 C.±2 D.－3或2

解析由m(m＋1)－6＝0，解得m＝－3或2，經(jīng)驗(yàn)證，m＝－3時(shí)兩直線重合，舍去.D3.(易錯(cuò)題)兩條平行直線3x＋4y－12＝0與ax＋8y＋11＝0之間的距離為(

)解析由題意知a＝6，直線3x＋4y－12＝0可化為6x＋8y－24＝0，化為一般式，得6x－4y－3＝0.4.(2022·大同期中)經(jīng)過拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線l的方程是(

)A.6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0C.2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0A6.已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直線PQ垂直于直線x＋y＋1＝0，則m＝________.1KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一兩直線的平行與垂直解析法一∵直線l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在.1.已知兩條直線l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，則a等于(

)A.－1 B.2C.0或－2 D.－1或2D又兩條直線在y軸上的截距不相等.∴a＝－1或a＝2時(shí)滿足兩條直線平行.法二由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，解得a＝－1或a＝2.由A1C2－A2C1≠0，得(a－1)×3－1×1≠0.所以a＝－1或a＝2.2.若直線ax＋4y－2＝0與直線2x－5y＋b＝0垂直，垂足為(1，c)，則a＋b＋c＝(

) A.－2 B.－4 C.－6 D.－8Ba＋4c－2＝0，2－5c＋b＝0，解得a＝10，c＝－2，b＝－12，∴a＋b＋c＝－4.解析由題意得直線mx－y－1＝0與2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或者直線mx－y－1＝0過2x－3y＋1＝0與4x＋3y＋5＝0的交點(diǎn).3.已知三條直線2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合為(

)D1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.2.在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.感悟提升考點(diǎn)二兩直線的交點(diǎn)與距離問題解析法一聯(lián)立方程例1

(1)直線l經(jīng)過原點(diǎn)，且經(jīng)過兩條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交點(diǎn)，則直線l的方程為(

)A.2x＋y＝0 B.2x－y＝0C.x＋2y＝0 D.x－2y＝0B則直線l的方程為2x－y＝0.所以兩直線的交點(diǎn)為(－1，－2)，法二設(shè)所求直線l的方程為2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，因?yàn)橹本€l經(jīng)過原點(diǎn)，所以2×0＋3×0＋8＋λ(0－0－1)＝0，解得λ＝8.所以直線l的方程為2x－y＝0.(2)(2020·全國(guó)Ⅲ卷)點(diǎn)(0，－1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為(

)B解析設(shè)該直線方程為x－2y＋b＝0(b≠3)，x－2y＋9＝0(答案不唯一)即該直線方程可為x－2y＋9＝0.(答案不唯一)1.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法：(1)列方程組解出交點(diǎn)，根據(jù)條件寫出直線方程；(2)采用過交點(diǎn)的直線系方程求解.2.利用距離公式應(yīng)注意：(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；(2)應(yīng)用兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)分別化為對(duì)應(yīng)相等.感悟提升訓(xùn)練1

(1)已知直線kx－y＋2k＋1＝0與直線2x＋y－2＝0的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(

)D∵直線kx－y＋2k＋1＝0與直線2x＋y－2＝0的交點(diǎn)在第一象限，(2)直線l過點(diǎn)P(－1，2)且到點(diǎn)A(2，3)和點(diǎn)B(－4，5)的距離相等，則直線l的方程為______________________.解析法一當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由題意知x＋3y－5＝0或x＝－1即x＋3y－5＝0.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝－1，也符合題意.當(dāng)l過AB中點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)為(－1，4).則過P(－1，－2)和AB中點(diǎn)(－1，4)的直線l的方程為x＝－1.故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.角度1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱考點(diǎn)三對(duì)稱問題解析設(shè)所求直線上任一點(diǎn)(x，y)，則關(guān)于M(－2，1)的對(duì)稱點(diǎn)(－4－x，2－y)在已知直線上，∴所求直線方程為(－4－x)－2(2－y)－3＝0，即x－2y＋11＝0.例2

直線x－2y－3＝0關(guān)于定點(diǎn)M(－2，1)對(duì)稱的直線方程是________________.x－2y＋11＝0感悟提升例3

一束光線經(jīng)過點(diǎn)P(2，3)射在直線l：x＋y＋1＝0上，反射后經(jīng)過點(diǎn)Q(1，1)，則入射光線所在直線的方程為__________________.角度2點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱5x－4y＋2＝0解析

設(shè)點(diǎn)Q(1，1)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q′(x′，y′)，由已知得即Q′(－2，－2)，由光學(xué)知識(shí)可知，點(diǎn)Q′在入射光線所在的直線上，即5x－4y＋2＝0.感悟提升2.幾個(gè)常用結(jié)論(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y).(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x).(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x，2b－y).例4

(1)(2021·成都診斷)與直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的方程是(

) A.3x－4y＋5＝0 B.3x－4y－5＝0 C.3x＋4y－5＝0 D.3x＋4y＋5＝0角度3線關(guān)于線對(duì)稱D解析設(shè)所求直線上點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)，則關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)(x，－y)在已知的直線3x－4y＋5＝0上，所以所求對(duì)稱直線方程為3x＋4y＋5＝0.(2)直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對(duì)稱的直線方程是________________.解析設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x，y)，則P關(guān)于x－y＋2＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x0，y0)，x－2y＋3＝0由點(diǎn)P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.求直線l1關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2有兩種處理方法：(1)在直線l1上取兩點(diǎn)(一般取特殊點(diǎn))，利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱的方法求出這兩點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式寫出直線l2的方程.(2)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是直線l2上任意一點(diǎn)，其關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程.感悟提升解析由題意，直線y＝－3x＋b與直線y＝ax＋2關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，所以直線y＝ax＋2上的點(diǎn)(0，2)關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)(－2，0)在直線y＝－3x＋b上，所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，訓(xùn)練2

(1)(2022·漢中調(diào)研)光線沿著直線y＝－3x＋b射到直線x＋y＝0上，經(jīng)反射后沿著直線y＝ax＋2射出，則有(

)D(2)已知直線l：y＝3x＋3，則點(diǎn)P(4，5)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為________.解析設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，

(－2，7)則直線PP′垂直于直線l，∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(－2，7).FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A級(jí)基礎(chǔ)鞏固解析設(shè)直線l2的斜率為k，當(dāng)a≠0時(shí)，由l1⊥l2得a·k＝－1，1.如果直線l1的斜率為a，l1⊥l2，則直線l2的斜率為(

)D當(dāng)a＝0時(shí)，l1與x軸平行或重合，則l2與y軸平行或重合，∴直線l2的斜率不存在.2.設(shè)λ∈R，則“λ＝－3”是“直線2λx＋(λ－1)y＝1與直線6x＋(1－λ)y＝4平行”的(

) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

解析

當(dāng)λ＝－3時(shí)，兩條直線的方程分別為6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0，

此時(shí)兩條直線平行；若兩條直線平行，則2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，

所以λ＝－3或λ＝1，經(jīng)檢驗(yàn)，兩者均符合，

綜上，“λ＝－3”是“直線2λx＋(λ－1)y＝1與直線6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要條件，故選A.A解析過點(diǎn)(0，7)且與直線y＝－4x＋2平行的直線方程為y－7＝－4x，即直線l的方程為y＝－4x＋7.3.已知直線l過點(diǎn)(0，7)，且與直線y＝－4x＋2平行，則直線l的方程為(

)A.y＝－4x－7 B.y＝4x－7C.y＝4x＋7 D.y＝－4x＋7D解析由題意知直線l的斜率k＝3，∴tanα＝3，C5.過兩條直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線方程為(

)A.4x＋3y－6＝0 B.3x＋4y＋6＝0C.x＋3y＋3＝0 D.3x＋y＋3＝0A法二設(shè)所求直線l的方程為4x＋3y＋c＝0，由法一可知P(0，2)，將其代入方程，得c＝－6，所以直線l的方程為4x＋3y－6＝0.法三設(shè)所求直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因?yàn)橹本€l與l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直線l的方程為4x＋3y－6＝0.解析過點(diǎn)M(－1，0)與直線x＋2y－1＝0垂直的直線方程為2x－y＝－2，6.點(diǎn)M(－1，0)關(guān)于直線x＋2y－1＝0的對(duì)稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)是(

)C7.直線x－2y＋2＝0關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的直線方程是(

) A.x＋2y－4＝0 B.2x＋y－1＝0 C.2x＋y－3＝0 D.2x＋y－4＝0

解析設(shè)P(x，y)為所求直線上的點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)為(2－x，y)，且該對(duì)稱點(diǎn)在直線x－2y＋2＝0上，代入可得x＋2y－4＝0.A解析對(duì)于動(dòng)直線l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，當(dāng)k＝0時(shí)，斜率不存在，傾斜角為90°，故A正確；8.已知直線l1：x－y－1＝0，動(dòng)直線l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，則下列結(jié)論不正確的是(

)A.存在k，使得l2的傾斜角為90°B.對(duì)任意的k，l1與l2都有公共點(diǎn)C.對(duì)任意的k，l1與l2都不重合D.對(duì)任意的k，l1與l2都不垂直C可得(2k＋1)x＝0，對(duì)任意的k，此方程有解，可得l1與l2有交點(diǎn)，故B正確；由于直線l1：x－y－1＝0的斜率為1，9.若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則m的值為________.－9∴點(diǎn)(1，2)滿足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.解析由題意可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝4，所以圓的圓心坐標(biāo)為(－1，2)，10.(2022·合肥調(diào)研)已知直線l1：y＝2x，則過圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心且與直線l1垂直的直線l2的方程為_______________.x＋2y－3＝0解析設(shè)點(diǎn)M(－3，4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點(diǎn)M′，11.已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(－3，4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2，6)，則反射光線所在直線的方程為_______________.6x－y－6＝0又反射光線經(jīng)過點(diǎn)N(2，6)，解析法一設(shè)直線x－y－1＝0與l1，l2的交點(diǎn)分別為C，D，12.設(shè)一直線l經(jīng)過點(diǎn)(－1，1)，此直線被兩平行直線l1：x＋2y－1＝0和l2：x＋2y－3＝0所截得線段的中點(diǎn)在直線x－y－1＝0上，則直線l的方程為______________.2x＋7y－5＝0∴C(1，0).又l過點(diǎn)(－1，1)，由兩點(diǎn)式得l的方程為即2x＋7y－5＝0為所求方程.法三過中點(diǎn)且與兩直線平行的直線方程為x＋2y－2＝0，設(shè)所求方程為(x－y－1)＋λ(x＋2y－2)＝0.∵(－1，1)在此直線上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，∴λ＝－3，代入所設(shè)得2x＋7y－5＝0.法四設(shè)所求直線與兩平行直線l1，l2的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，又A，B的中點(diǎn)在直線x－y－1＝0上，B級(jí)能力提升解析因?yàn)锳C＝BC，所以歐拉線為AB的中垂線，又A(1，0)，B(0，2)，13.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，則△ABC的歐拉線的方程為(

)A.4x＋2y＋3＝0 B.2x－4y＋3＝0C.x－2y＋3＝