浙江省溫州市甌海實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

浙江省溫州市甌海實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.給定空間中的直線l及平面α，條件“直線l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的(

)條件．A．充要 B．充分非必要C．必要非充分 D．既非充分又非必要參考答案：C【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】由垂直的定義，我們易得“直線l與平面α垂直”?“直線l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直”為真命題，反之，“直線l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直”?“直線l與平面α垂直”卻不一定成立，根據(jù)充要條件的定義，即可得到結(jié)論．【解答】解：直線與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條平行直線垂直，但該直線未必與平面α垂直；即“直線l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直”?“直線l與平面α垂直”為假命題；但直線l與平面α垂直時(shí)，l與平面α內(nèi)的每一條直線都垂直，即“直線l與平面α垂直”?“直線l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直”為真命題；故“直線l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的必要非充分條件故選C【點(diǎn)評(píng)】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．2.角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊在直線y=2x上，則tan2θ=（）A．2 B．﹣4 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】G9：任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】利用直線斜率的定義、二倍角的正切公式，進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵角θ的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線y=2x上，∴tanθ=2；∴tan2θ==﹣，故選D．3.若曲線在點(diǎn)處的切線與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則A．64 B．32 C．16 D．8參考答案：A4.某幾何體的三視圖如圖1所示，它的體積為(

)

參考答案：略5.已知函數(shù)，若f(a)=1則f(-a)=（）A.0

B.-1

C.-2

D.-3參考答案：D考查奇函數(shù)特性，故選D6.圓x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）對(duì)稱，則+的最小值為（）A．3+2 B．9 C．16 D．18參考答案：D【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】圓x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）對(duì)稱，說(shuō)明直線經(jīng)過(guò)圓心，推出a+b=，代入+，利用基本不等式，確定最小值，推出選項(xiàng)．【解答】解：由圓的對(duì)稱性可得，直線ax﹣2by+1=0必過(guò)圓心（﹣2，1），所以a+b=．所以+=2（+）（a+b）=2（5++）≥2（5+4）=18，當(dāng)且僅當(dāng)=，即2a=b時(shí)取等號(hào)，故選D．7.已知單位向量滿足，則夾角為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C8.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：B略9.（5分）已知函數(shù)f（x）=log2x﹣2log2（x+c），其中c＞0．若對(duì)于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1，則c的取值范圍是（）A．B．C．D．參考答案：D【考點(diǎn)】：抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)恒成立問(wèn)題．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：把函數(shù)f（x）的解析式代入f（x）≤1后，利用對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)變形，去掉對(duì)數(shù)符號(hào)后把參數(shù)c分離出來(lái)，然后利用二次函數(shù)求最值，則c的取值范圍可求．解：由f（x）≤1，得：log2x﹣2log2（x+c）≤1，整理得：，所以x+c≥，即c≥（x＞0）．令（t＞0）．則．令g（t）=，其對(duì)稱軸為．所以．則c．所以，對(duì)于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1的c的取值范圍是．故選D．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了對(duì)數(shù)型的函數(shù)及其應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練了利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍，解答的關(guān)鍵是利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，是中檔題．10.“”是成立的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖為等邊三角形，若其體積為8，則a=．參考答案：2【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】由三視圖可知：該幾何體為正三棱柱，底面正三角形的邊上的高為2，棱柱的高為a，即可得出該幾何體的體積．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為正三棱柱，底面正三角形的邊上的高為2，棱柱的高為a，∴底面正三角形的邊長(zhǎng)=4，∴該正三棱柱的體積V==，解得a=2．故答案為：2．12.中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線C的兩條漸近線與圓都相切，則雙曲線C的離心率是____；參考答案：略13.

．參考答案：14.的展開(kāi)式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為

．參考答案：3215.若函數(shù)上為遞增函數(shù)，則m的取值范是

。參考答案：略16.設(shè)函數(shù)f（x）=（a＜0）的定義域?yàn)镈，若所有點(diǎn)（s，f（x））（s，t∈D）構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，則a的值為．參考答案：﹣4略17.若關(guān)于x的不等式對(duì)任意恒成立，則a的取值范圍是______．參考答案：【分析】分離參數(shù)可得不等式對(duì)任意恒成立，設(shè)，求出函數(shù)在上的最小值后可得結(jié)果．【詳解】∵關(guān)于不等式對(duì)任意恒成立，∴對(duì)任意恒成立．設(shè)，則，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．∴，∴．∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為．【點(diǎn)睛】解答不等式在某區(qū)間上的恒成立問(wèn)題時(shí)，常用的方法是分離參數(shù)法，即通過(guò)參數(shù)的分離，把不等式化為一邊只含有參數(shù)、另一邊只含有變量的形式，然后通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并求出函數(shù)的最值后可得所求．解題中常用到以下結(jié)論：恒成立或恒成立，當(dāng)函數(shù)的最值不存在時(shí)，可利用函數(shù)值域的端點(diǎn)值來(lái)代替．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離.參考答案：本題考查空間幾何體的體積,線面垂直.(1)證得,,∴平面∴;由與相似得，∴；(2)證得，所以為點(diǎn)到平面的距離，等體積法求得點(diǎn)到平面的距離是.(1)證明：∵直三棱柱，∴平面;∵平面，∴;∵，∴，∴;∵，∴平面∵平面，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∴與相似，且有，∵，∴；(2)在矩形中，為的中點(diǎn)，可得，在，由可得，從而可求得，顯然有，即，為點(diǎn)到平面的距離，∵平面，由，可得，計(jì)算得，，∴，可推出，∴點(diǎn)到平面的距離是.19.（8分）某公司投資新建了一商場(chǎng),共有商鋪30間.據(jù)預(yù)測(cè),當(dāng)每間的年租金定為10萬(wàn)元時(shí),可全部租出.每間的年租金每增加5000元,少租出商鋪1間.該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用1萬(wàn)元,未租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用5000元.（1）當(dāng)每間商鋪的年租金定為13萬(wàn)元時(shí),能租出多少間？（2）當(dāng)每間商鋪的年租金定為多少萬(wàn)元時(shí),該公司的年收益（收益＝租金－各種費(fèi)用）為275萬(wàn)元？參考答案：解：（1）∵

30000÷5000＝6,

∴

能租出24間.

…………3分（2）設(shè)每間商鋪的年租金增加x萬(wàn)元,則（30－）×（10＋x）－（30－）×1－×0.5＝275，

………6分2x2－11x＋5＝0，

∴x＝5或0.5，∴每間商鋪的年租金定為10.5萬(wàn)元或15萬(wàn)元.……8分略20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn)．（1）求證：PO⊥平面ABCD；（2）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；（3）線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定．【專題】綜合題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可知，只需證直線PO垂直平面ABCD中的兩條相交直線垂直即可；（2）先通過(guò)平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)B，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；（3）利用Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：在△PAD卡中PA=PD，O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD．又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．（2）解：連接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD=BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以O(shè)B∥DC．由（1）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角．因?yàn)锳D=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以O(shè)B=，在Rt△POA中，因?yàn)锳P=，AO=1，所以O(shè)P=1，在Rt△PBO中，PB=，所以cos∠PBO=，所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為．（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為．設(shè)QD=x，則S△DQC=x，由（2）得CD=OB=，在Rt△POC中，PC=，所以PC=CD=DP，S△PCD==，由Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，得x=，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí)=．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成角、點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力，邏輯思維能力和運(yùn)算能力．21.如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，），且離心率等于，過(guò)點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓相交于不同兩點(diǎn)P，Q，點(diǎn)N在線段PQ上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，若直線l與y軸不重合，試求λ的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）設(shè)出橢圓方程，利用橢圓的離心率，頂點(diǎn)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化求解即可．（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立消去y得（1+4k2）x2+16kx+8=0，通過(guò)韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)，利用點(diǎn)N在直線y=kx+2上，推出，然后求出結(jié)果．【解答】解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，由于橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是，故b2=2，根據(jù)離心率是，得，解得a2=8，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立消去y得（1+4k2）x2+16kx+8=0，根據(jù)韋達(dá)定理得，，由，得，整理得2x1x2=x0（x1+x2），把上面的等式代入得，又點(diǎn)N在直線y=kx+2上，所以，于是有，，由，得，所以．綜上所述，．22.已知函數(shù)f（x）=﹣4x+m在區(qū)間（﹣∞，+∞）上有極大值．（1）求實(shí)常數(shù)m的值．（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）上的極小值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）由f′（x）=x2﹣4=（x+2）（x﹣2），令f′（x）=0，解得x=﹣2，或x=2，列表討論，能求出m=4．（2）由m=4，得f（x）=，由此能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）上的極小值．【解答】