05至06間-附錄A 平面圖形的幾何性質(zhì)N

附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)§A.1

形心和靜矩§A.2

慣性矩慣性積慣性半徑§A.3

平行軸定理§A.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩材料力學(xué)平面圖形的幾何性質(zhì)

——反映平面圖形的形狀與尺寸的幾何量附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)如：本章介紹：

平面圖形幾何性質(zhì)的定義、計(jì)算方法和性質(zhì)1.在軸向拉〔壓〕中：2.在扭轉(zhuǎn)中：3.在彎曲中：§A.1

形心和靜矩一、靜矩二、形心三、組合圖形的靜矩和形心四、靜矩的性質(zhì)附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)一、靜矩§A.1形心和靜矩整個圖形A對x軸的靜矩：整個圖形A對y軸的靜矩：ydA——微面積dA

對

x

軸的靜矩xdA——微面積dA

對y軸的靜矩定義：〔面積矩〕其值：+、-、0

單位：m3二、形心§A.1形心和靜矩討論：水平面的一塊等厚薄板，在重力場均勻、薄板材質(zhì)均勻連續(xù)的條件下，重心與形心重合，通過求重心的方法來求形心，設(shè)厚度為t，單位體積重為g，O-xy平面為水平面?！哺鞣至θ我惠S的矩等于其合力對同一軸的矩〕有它對

y軸的力矩為：由合力矩定理

微面積dA所受到的重力為：§A.1形心和靜矩

gtdA

gtxdA三、組合圖形的靜矩和形心組合圖形——由幾個簡單圖形〔如矩形、圓形等〕組成的平面圖形如：§A.1形心和靜矩1.靜矩2.形心§A.1形心和靜矩四、靜矩的性質(zhì)形心軸

圖形對形心軸的靜矩為零

——通過圖形形心的坐標(biāo)軸反之，圖形對某軸的靜矩為零，那么該軸必為形心軸

性質(zhì)1：§A.1形心和靜矩例1

確定形心坐標(biāo)解：

取參考坐標(biāo)系xy§A.1形心和靜矩舉例求半徑為

r

的半圓形對其直徑軸

y

的靜矩及其形心坐標(biāo)。解:z軸是對稱軸，

通過形心。zdzdAyzro§A.2

慣性矩慣性積慣性半徑一、慣性矩與慣性積二、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)三、慣性積的性質(zhì)四、慣性半徑一、慣性矩與慣性積§A.2慣性矩慣性積慣性半徑整個圖形A對x軸的慣性矩整個圖形A對y軸的慣性矩y2dA——微面積dA

對

x

軸的慣性矩x2dA——微面積dA

對y

軸的慣性矩定義：其值：+

單位：m41.慣性矩整個圖形A對x軸和y軸的慣性積定義：xydA——微面積dA

對x

軸和y

軸的慣性積

的坐標(biāo)軸其值：+、-、0

單位：m4假設(shè)：

x軸和y軸為一對相互垂直一、慣性矩與慣性積2.慣性積§A.2慣性矩慣性積慣性半徑二、慣性矩與極慣性矩的關(guān)系即：

平面圖形對任意一點(diǎn)的極慣性矩等于該圖形對通過該點(diǎn)的任意一對相互垂直的坐標(biāo)軸的慣性矩之和

性質(zhì)2：假設(shè)x、y軸為一對正交坐標(biāo)軸§A.2慣性矩慣性積慣性半徑1.矩形截面常用圖形的慣性矩：§A.2慣性矩慣性積慣性半徑2.圓形截面由對稱性3.環(huán)形截面§A.2慣性矩慣性積慣性半徑三、慣性積的性質(zhì)當(dāng)x、y軸中有一軸為對稱軸在一對正交軸中，只要有一個對稱軸，那么該圖形對這對軸的慣性積為零。

性質(zhì)3：§A.2慣性矩慣性積慣性半徑

慣性矩——對某一軸而言

極慣性矩——對某一點(diǎn)而言特別指出：

慣性積——對某一對正交軸而言§A.2慣性矩慣性積慣性半徑——圖形對x軸的慣性半徑

單位：m四、慣性半徑

在力學(xué)計(jì)算中，有時把慣性矩寫成即：——圖形對

y

軸的慣性半徑§A.2慣性矩慣性積慣性半徑注意：試問：即：§A.2慣性矩慣性積慣性半徑§A.2慣性矩慣性積慣性半徑組合截面的慣性矩和慣性積即，各個分面積對某軸的慣性矩之和等于它們的組合截面對同一軸的慣性矩。同理：§A.2慣性矩慣性積慣性半徑xy例求圖示圓環(huán)截面對x、y軸的慣性矩Ix、Iy。內(nèi)徑為d，外徑為D。求解中，不僅可以加，還可以減。§A.3

平行軸定理一、定理推導(dǎo)二、應(yīng)用附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)§A.3平行軸公式一、定理推導(dǎo)即：xc、yc為一對正交的形心軸，x、y分別平行于xc、yC軸。顯然：性質(zhì)4：在平面圖形對所有相互平行的坐標(biāo)軸的慣性矩

中，以對形心軸的慣性矩為最小。同理慣性矩和慣性積的平行軸定理§A.3平行軸公式§A.3平行軸公式a、b為形心C在坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo)，因而有正負(fù)號之分。雖然在計(jì)算Ix、Iy時對計(jì)算結(jié)果沒有影響，但是在計(jì)算Ixy時就不同了。注意：例求圖示工字形截面對x、y軸的慣性矩Ix、Iyyx解：將截面分成上翼緣、下翼緣和腹板三局部。xyIIIIII三局部均為矩形截面，其對自身形心主慣性軸的慣性矩為，上、下翼緣自身的形心主慣性軸與x平行、腹板的形心主慣性軸即為x軸。xyIIIIIIxyIIIIIIxyIIIIII將截面看成寬為B，高為H的矩形截面，減去陰影局部面積。方法2：xyIIIIIIxyIIIIII解：例1求和§A.4

轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩一、公式推導(dǎo)二、主慣性矩附錄A平面圖形的幾何性質(zhì)§A.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩一、公式推導(dǎo)規(guī)定：角逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)?兩組坐標(biāo)系之間的關(guān)系：代入一、公式推導(dǎo)規(guī)定：角逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)?結(jié)果：§A.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩顯然§A.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩顯然性質(zhì)5：平面圖形對通過一點(diǎn)的任意一對正交軸的兩個

慣性矩之和為常數(shù)，且等于圖形對該點(diǎn)的極慣

性矩?！霢.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩二、主慣性矩

1.定義主慣性軸——慣性積為零的一對坐標(biāo)軸，簡稱主軸主慣性矩——圖形對主慣性軸的慣性矩形心主慣性軸——通過圖形形心的主慣性軸形心主慣性矩——圖形對形心主慣性軸的慣性矩性質(zhì)6：圖形的對稱軸是形心主慣性軸§A.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩2.主慣性軸的方位

設(shè)主慣性軸的方位為0，對應(yīng)的坐標(biāo)軸為x0、y0令得到§A.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩3.主慣性矩因故有§A.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩4.主慣性矩的性質(zhì)

當(dāng)Ix1取極值時，對應(yīng)的方位為1

得到即：性質(zhì)7：主慣性矩為極值慣性矩，其中一個為極大慣性

矩Imax，另一個為極小慣性矩Imin。令

§A.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性矩解：例2求圖示圖形的形心主慣性矩。

1.確定形心位置解：例2求圖示圖形的形心主慣性矩。

2.求、和解：例2求圖示圖形的形心主慣性矩。

2.求、和解：例2求圖示圖形的形心主慣性矩。

2.求、和解：例2求圖示圖形