第九章 時(shí)間序列分析

第九章時(shí)間序列分析1第一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四第一節(jié)時(shí)間序列基礎(chǔ)－預(yù)測(cè)知識(shí)一線性最小二乘法（LinearLeastSquaresPrediction,LLS)假設(shè)X和Y是兩個(gè)散點(diǎn)分布的隨機(jī)變量，它們具有某種聯(lián)合分布。它們的期望、方差、協(xié)方差分別是：XμxEY=μy第二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四X–μxX–μxEY-μyY-μy

=RSSQ第三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四其中，X的期望E(X)=μx,Y的期望E(Y)=μy,X的方差E(X-μx)2=RY的方差E(Y-μy)2=QCOV(XY)=E(X-μx)(Y-μy)=S

第四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四現(xiàn)假設(shè)我們可以觀測(cè)到X的一組值，如何預(yù)測(cè)Y呢？即如何利用X推知Y，假設(shè)只知道它們的期望、方差和協(xié)方差。我們可以利用這些已知條件求出Y的線性最小二乘估計(jì)值。第五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四假設(shè)這一線性形式為：Yhat=a+b(X-μx)我們的任務(wù)是在使平均平方誤差（均方誤）最小的情況下求出a和b的值。MSE=E[Y-Yhat]2=E[Y-a-b(x-μx)]2=E{[(Y-μy)-(a-μy)-b(X-μx)]}2第六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四=E(Y-μy)2+E(a-μy)2+b2E(X-μx)2

-2E(Y-μy)(a-μy)+2bE(X-μx)(a-μy)-2bE(Y-μy)(X-μx)=Q+(a-μy)2+b2R-2bS分別對(duì)a和b求導(dǎo)，令其為零2（a-μy）=0,所以a=μy,2bR-2S=0,b=S/R=SR-1所以，Yhat=μy+SR-1(X-μx)[也可以寫成：Yhat=μy+[cov(X,Y)/var(x)]*(X-μx)(X-μx)的系數(shù)表明我們所估計(jì)Y值受觀測(cè)值X影響程度的大小，它和X的方差成反比，X、Y的協(xié)方差成正比。第七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四二，線性最小二乘估計(jì)的特點(diǎn)1，Y的估計(jì)值和Y的期望相同。證明：E（Yhat）=E[μy+SR-1(X-μx)]=μy

第八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四2,線性轉(zhuǎn)換如C是任一常數(shù)，則CY的LLS估計(jì)是CYhat.證明：令Z=CYYhat=a+b(X-μx)根據(jù)定義：Zhat=μz+[cov(X,Z)/var(X)]*(X-μx)第九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四μz=E(CY)=Cμy

Cov(X,Z)=E(X-μx)(Z-μz)=E(X-μx)(CY-Cμy)=CE(X-μx)(Y-μy)=Ccov(X,Y)第十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四將結(jié)果代入定義：Zhat=μz+[cov(X,Z)/var(X)]*(X-μx)=Cμy+Ccov(X,Y)/var(X)]*(X-μx)=C[μy+cov(X,Y)/var(X)]*(X-μx)]=CYhat第十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四3，線性組合Y1、Y2的LLS估計(jì)分別是Y1 hatY2hat.則Y1+Y2的LLS估計(jì)為Y1hat+Y2hat.證明：已知：Y1hat=μy1+S1R-1(X-μx)Y2hat=μy2+S2R-1(X-μx)第十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四根據(jù)定義：Zhat=μz+[cov(XZ)/var(X)](X-μx)μz=E(Y1+Y2)=μy1+μy2,cov(XZ)=E(X-μx)(Z-μz)=E(X-μx)(Y1+Y2-μy1-μy2)=E(X-μx)(Y1-μy1)+E(X-μx)(Y2-μy2)=cov(X,Y1)+cov(X,Y2)第十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四Zhat=μz+[cov(XZ)/var(X)](X-μx)=μy1+μy2+{[cov(X,Y1)+cov(X,Y2)]/var(X)}(X-μx)=Y1hat+Y2hat第十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四4,MSE(Yhat)=E(Y-Yhat)2=E[Y-μy-SR-1(X-μx)]2=E(Y-μy)2-2SR-1E(X-μx)(Y-μy)+S2R-2E(X-μx)2=Q-S2R-1第十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四第二節(jié)時(shí)間序列基本概念一，平穩(wěn)性定義任何一個(gè)時(shí)間序列都可以被看作是由隨機(jī)過程產(chǎn)生的結(jié)果。如果一個(gè)隨機(jī)過程所產(chǎn)生的時(shí)間序列均值和方差在任何時(shí)間過程上都是常數(shù)，并且任何兩個(gè)時(shí)期之間的協(xié)方差僅依賴于這兩個(gè)時(shí)期的距離或滯后，而不依賴于計(jì)算這個(gè)協(xié)方差的實(shí)際時(shí)間，就稱該時(shí)間序列是平穩(wěn)的（Stationary)。第十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四我們可以把上述的描述表達(dá)成下式:如果時(shí)間序列Yt具有下列性質(zhì)：1，E(Yt)=μ,2,var(Yt)=σ2,3,cov(YtYt+k)=E(Yt-μ)(Yt+k-μ)=rk,第十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四二，自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)如果Yt的均值為0，那么rk=E(YtYt+k)被稱為自協(xié)方差函數(shù)定義：ρk＝rk/r0,為自相關(guān)函數(shù)r0=E(YtYt)=var(Yt)=σ2,第十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四三，滯后算子(Lagoperator)為了使計(jì)算簡(jiǎn)單，引入滯后算子的概念。定義LYt=Yt-1,L2Yt=Yt-2,….LsYt=Yt-s,例如Yt－1.5Yt-1＋0.6Yt-2=（1－1.5L+0.6L2)Yt,第十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四第三節(jié)自回歸模型(AR)一，AR模型的定義如果時(shí)間序列Yt可以表示為它先前的值和一個(gè)誤差項(xiàng)的線性函數(shù)，稱此模型為自回歸模型(AutoregressiveModels,記做AR（p))。一般的表達(dá)式是：Yt＝φ1

Yt-1+φ2

Yt-2+….φp

Yt-p+μt,第二十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四μt為白噪聲序列，它滿足以下條件：1,E(μt)=0,2,E(μtμs)=σμ

2t=s0t≠s3,E(μtYt-i

)=0可以進(jìn)一步假設(shè)誤差項(xiàng)服從于正態(tài)分布，期望是0，方差是固定的常數(shù)σμ

2。條件3表明t時(shí)刻的誤差μt與Yt的過去值無關(guān)。同時(shí)為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)E(Yt)=0,該假設(shè)一直存在，除非特別說明。第二十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四利用滯后算子，可以把AR(p)表示成：Yt＝φ1LYt+φ2L2Yt+….φpLpYt+μt,(1-φ1L-φ2L2-……-φpLp)Yt=μt,令φ（L）＝(1-φ1L-φ2L2-……-φpLp)φ（L）Yt=μt,或Yt=φ（L）－1μtAR（1)模型：Yt

＝0.5Yt-1

+μt，可以寫成(1-0.5L)Yt

=μt,或Yt

=(1-0.5L)－1

μtYt

＝0.6Yt-1

+0.4Yt-2

＋μt，可以寫成：(1-0.6L-0.4L2)Yt

=μt，第二十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四二，AR（1）平穩(wěn)的必要條件Yt＝φYt-1+μt對(duì)上式兩邊平方再取期望E(Yt

2)=φ2E(Yt

-12)+E(μt

2)+2φE(Yt-1μt)=φ2E(Yt

-12)+σμ

2

如果Yt序列是平穩(wěn)的，則在任何時(shí)候的方差是相同的，所以E(Yt

2)=E(Yt

-12)＝σy

2

第二十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四σy

2=σμ

2/（1-φ2）,因?yàn)棣襶

2是非負(fù)的，所以σμ

2/1-φ2

≥0，從而就有|φ|<1,因此|φ|<1是AR（1）模型平穩(wěn)的必要條件。第二十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四三，AR模型的自相關(guān)函數(shù)1，AR（1）的自相關(guān)函數(shù)Yt＝φYt-1+μt其自協(xié)方差函數(shù)為：r1＝cov(YtYt-1

)=E(YtYt-1

)=E(φYt-1+μt)Yt-1

=φE(Yt

-12)=φr0,r2=cov(YtYt-2

)=E(YtYt-2)=E(φYt-1+μt)Yt-2

=φE(Yt

-1Yt-2

)=φr1

=φ2r0,r3=cov(YtYt-3

)=E(YtYt-3)=E(φYt-1+μt)Yt-3

=φE(Yt

-1Yt-3

)=φr2=φ3r0,第二十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四rk=φkr0,所以，根據(jù)自協(xié)方差函數(shù)，可以計(jì)算出自相關(guān)函數(shù)為：ρk＝rk/r0＝φk，如果Yt是平穩(wěn)的，|φ|<1，當(dāng)k趨于無窮大時(shí)，φk趨于0，這種現(xiàn)象被稱為拖尾第二十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四平穩(wěn)的一階自回歸的自相關(guān)圖第二十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四3，AR（2）的自相關(guān)函數(shù)Yt

＝φ

1Yt-1

+φ2Yt-2

＋μt，自協(xié)方差為：r1＝cov(YtYt-1

)=E(YtYt-1

)＝E(φ

1Yt-1

+φ2Yt-2

＋μt)Yt-1

=φ

1r0+φ2r1,r2＝cov(YtYt-2)=E(YtYt-2

)＝E(φ

1Yt-1

+φ2Yt-2

＋μt)Yt-2

=φ

1r1+φ2r0,第二十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四r3＝cov(YtYt-3)=E(YtYt-3

)＝E(φ

1Yt-1

+φ2Yt-2

＋μt)Yt-3=φ

1r2+φ2r1,r4＝cov(YtYt-4

)=E(YtYt-4

)＝E(φ

1Yt-1

+φ2Yt-2

＋μt)Yt-4

=φ

1r3+φ2r2,第二十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四rk＝cov(YtYt-k

)=E(YtYt-k

)＝E(φ

1Yt-1

+φ2Yt-2

＋μt)Yt-k

=φ

1rk-1+φ2rk-2,所以自相關(guān)函數(shù)ρk＝φ

1

ρ

k-1+φ2ρ

k-2,(k>0)當(dāng)k=1,2時(shí)ρ1＝φ

1+φ2ρ

1,ρ2＝φ

1

ρ

1+φ2,ρ1＝φ

1/（1-φ2）,ρ2＝φ

1

2/（1-φ2）+φ2,第三十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四例題求AR（2):Yt

＝0.6Yt-1

-0.2Yt-2

＋μt，自相關(guān)系數(shù)（k=0,1,2)可以按照上面推導(dǎo)的公式，直接計(jì)算。ρ1＝φ

1/1-φ2＝0.6/1-(-0.2)=0.6/1.2=0.5ρ2＝φ

1

2/1-φ2+φ2

=0.36/1.2-0.2=0.1也可以按照定義來計(jì)算第三十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四r1＝cov(YtYt-1

)=E(YtYt-1

)＝E(0.6Yt-1

-0.2Yt-2

＋μt)Yt-1

=0.6r0–0.2

r1r2＝cov(YtYt-2

)=E(YtYt-2)＝E(0.6Yt-1

-0.2Yt-2

＋μt)Yt-2

=0.6r1–0.2

r0ρ1＝φ

1+φ2ρ

1,ρ2＝φ

1

ρ

1+φ2,所以自相關(guān)函數(shù)ρk＝φ

1

ρ

k-1+φ2ρ

k-2,(k>0)第三十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四也可以得到相同的結(jié)果。ρ3＝0.6ρ2-0.2ρ1＝0.6*0.1-0.2*0.5＝0.06-0.1＝-0.04ρ4＝0.6ρ3-0.2ρ2，＝0.6*（-0.04）-0.2*0.1＝-0.024-0.02＝-0.044第三十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四AR(p)自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)Yt＝φ1

Yt-1+φ2

Yt-2+….φp

Yt-p+μtr1=φ1

r0+φ2

r1+….φp

rp-1

r2=φ1

r1+φ2

r0+….φp

rp-2

….rk=φ1

rk-1+φ2

rk-2+….φp

rk-p

第三十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四ρ1＝φ

1+φ2ρ

1+…+φpρ

ρ-1

ρ2＝φ

1

ρ

1+φ2+…+φpρ

ρ–2…ρk＝φ

1

ρ

k-1+φk-2+…+φpρ

k-p上述方程組被稱為Yule-Walker方程。p階的Yule-Walker方程可以用矩陣形式表達(dá)ρ11ρ

1…ρ

ρ-1φ

1

ρ

2ρ

11…ρ

ρ–2

φ2.=………ρkρ

ρ-1ρ

ρ–2…1φp

第三十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四四，AR（p））模型的參數(shù)估計(jì)Yt＝φ1

Yt-1+φ2

Yt-2+….φp

Yt-p+μt根據(jù)樣本觀測(cè)值,可以利用最小二乘法估計(jì)模型,得到所有參數(shù)φ1φ2….φp的估計(jì)值。第三十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四也可以利用Yule-Walker方程，以樣本自相關(guān)函數(shù)代替總體自相關(guān)函數(shù)，也可以估計(jì)出所有的參數(shù)。rk=E(YtYt+k)為總體自協(xié)方差函數(shù)rkhat=1/nΣ(Yt

-Ybar)(Yt+k

-Ybar)r0=E(YtYt)=var(Yt)r0hat=1/nΣ(Yt

-Ybar)2ρk＝rk/r0,為總體自相關(guān)函數(shù)ρkhat=rkhat/r0hat,第三十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四我們以AR（1）和AR（2）為例Yt＝φ1

Yt-1+μtφ1hat=ρ

1hat=r1hat/r0hatσμ

2=r0hat-φ1r1hat=r0hat(1-ρ

1hat2)第三十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四Yt＝φ1

Yt-1+φ2

Yt-2+μtρ1hat=φ

1hat+φ2hat

ρ

1hatρ2hat=φ

1hatρ

1hat+φ2hat

可以求出：φ

1hat=（ρ

1hat-ρ

1hatρ2hat）/（1-ρ

1hat2）φ

2hat=（ρ2hat-ρ

1hat2

）/（1-ρ

1hat2）σμ

2=r0hat（1-φ

1hatρ

1hat-φ2hatρ2hat

）第三十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四第四節(jié)移動(dòng)平均模型一，移動(dòng)平均模型（MovingAveragemodels,MA(q))定義如果時(shí)間序列Yt是現(xiàn)在和過去誤差的線性組合，即Yt＝μt－θ

1

μt－1－θ

2

μt－2－……－θ

q

μt-q

則上式為Yt的移動(dòng)平均模型，記做MA(q)第四十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四如果用滯后算子表示：Yt＝（1－θ

1L-θ

2L2-….θ

qLq)μt,=θ(L)μt,μt=θ(L)-1

Yt

第四十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四二，MA模型的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)r0＝E(Yt

2)=E(μt－θ

1

μt－1－θ

2

μt－2－……－θ

q

μt-q)2,=σμ

2

(1+θ

12

+θ

2

2

+…+θ

q

2)rk＝E(μt－θ

1

μt－1－θ

2

μt－2－……－θ

q

μt-q)(μt-k－θ

1

μt－k-1－θ

2

μt－k-2－……－θ

q

μt—k-q)=σμ

2

(－θ

k+θ

1θ

k+1+…+θ

q-kθ

q)1≤k≤q0k>q第四十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四ρk=(－θ

k+θ

1θ

k+1+…+θ

q-kθ

q)/(1+θ

12

+θ

2

2

+…+θ

q

2)1≤k≤q0k>q從上式可以看出，MA序列自相關(guān)函數(shù)序列的前q項(xiàng)是非零的，q+1項(xiàng)以后是零，我們稱其為截尾。第四十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四我們現(xiàn)以MA(1）和MA(2)模型為例1，Yt＝μt－θ

μt－1r0＝E(Yt

2)＝E(μt－θ

μt－1)2=σμ

2(1+θ

2)r1＝E(YtYt-1)=E(μt－θ

μt－1)(μt-1－θ

μt－2)=-θσμ

2

r2＝E(YtYt-2)=E(μt－θ

μt－1)(μt-2－θ

μt－3)=0第四十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四ρ0=1ρ1=-θ/(1+θ

2

)ρk=0(k=23…….)所以對(duì)于MA(1)模型而言，k>1之后自相關(guān)系數(shù)就是零了。第四十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四2MA(2)模型Yt＝μt－θ

1

μt－1－θ

2

μt－2r0＝E(Yt

2)＝E(μt－θ

μt－1－θ

2

μt－2)2＝σμ

2(1+θ

12+θ

2

2）r1＝E(YtYt-1)=E(μt－θ

1

μt－1－θ

2

μt－2)(μt-1－θ

1

μt－2－θ

2

μt－3)＝(-θ

1＋θ

1

θ

2)σμ

2

第四十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四r2＝E(YtYt-2)=E(μt－θ

1

μt－1－θ

2

μt－2)(μt-2－θ

1

μt－3－θ

2

μt－4)＝－θ

2

σμ

2

r3＝E(YtYt-3)=E(μt－θ

1

μt－1－θ

2

μt－2)(μt-3－θ

1

μt－4－θ

2

μt－5)＝0第四十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四ρ0=1ρ1=（-θ

1＋θ

1

θ

2

）/(1+θ

12

+θ

2

2

)ρ2=－θ

2/(1+θ

12

+θ

2

2

)ρk=0(k=34…….)MA(2)從k>2之后自相關(guān)系數(shù)就為零了。所以根據(jù)前面的推導(dǎo)，MA（q）模型從k>q之后自相關(guān)系數(shù)就是零了。第四十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四三MA模型的可逆性對(duì)于MA模型而言，我們關(guān)注的是它是否是可逆的。所謂可逆指的是MA（1)轉(zhuǎn)換成自回歸模型第四十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四Yt＝μt－θ

μt－1或μt＝Y(jié)t+θ

μt－1相應(yīng)地μt－1＝Y(jié)t－1+θ

μt－2μt＝Y(jié)t+θ

μt－1＝Y(jié)t+θ（Yt－1+θ

μt－2）＝Y(jié)t+θYt－1＋θ2

μt－2重復(fù)迭代下去，第五十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四μt＝Y(jié)t+ΣθjYt－j＋θj+1

μt-j-1當(dāng)

|θ|<1時(shí)，上式為：μt＝Y(jié)t+ΣθjYt－jYt＝μt－ΣθjYt－j（1)(1)式被稱為MA（1)的逆轉(zhuǎn)形式，也可以直接用模型推導(dǎo)出同樣的結(jié)果。第五十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四而這種逆轉(zhuǎn)也是有實(shí)際意義的。表明Yt可以用Yt的滯后項(xiàng)的函數(shù)來表示。序列Yt的歷史值雖然對(duì)現(xiàn)在的值有影響，但是隨著時(shí)間的推移，影響越來越小。如果|θ|>1地話，表明時(shí)間越滯后，對(duì)今天的影響越大，這是不合常理的。第五十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四三MA模型估計(jì)問題2，線性迭代法第五十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四rk=σμ

2(1+θ

12+θ

2

2+…+θ

q

2)k=0σμ

2(－θ

k+θ

1θ

k+1+…+θ

q-kθ

q)1≤k≤q上式是有q+1個(gè)參數(shù)的非線性方程組。可以有不同的求解方法。1，直接求解法第五十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四當(dāng)q=1時(shí)，即一階的移動(dòng)平均模型。我們可以得到：r0hat=σμ

2(1+θ

12)r1hat=-θ

1σμ

2

θ

1=-r1hat/σμ

2

將θ

1代入r0hat=σμ

2(1+θ

12)=σμ

2[1+（-r1hat/σμ

2）2]第五十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四化簡(jiǎn)得到：σμ

4

-r0hatσμ

2+r1hat2=0σμ

2

hat=[r0hat+√

r0hat2-4r1hat2]/2=r0hat[1+√

1-4ρ

1hat2]/2θ

1hat=-r1hat/σμ

2=-r1hat/{r0hat[1+√

1-4ρ

1hat2]/2}=-2ρ

1hat

/[1+√

1-4ρ

1hat2]第五十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四上述參數(shù)估計(jì)有兩個(gè)解，可以根據(jù)可逆性的條件來判斷選取。σμ

2

hat=r0hat[1+√

1-4ρ

1hat2]/2θ

1hat=-2ρ

1hat

/[1+√

1-4ρ

1hat2]第五十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四r0hat=σμ

2(1+θ

12+θ

22)1r1hat=σμ

2（-θ

1+θ

1θ

2）2r2hat=-θ

2σμ

23由后兩個(gè)方程可以得出：θ

2hat=-r2hat/σμ

2

θ

1hat=-r1hat/(σμ

2+r2hat)然后將結(jié)果再代入第一個(gè)方程，得到：r0hat=σμ

2{1+（-r2hat/σμ

2）2+[-r1hat/(σμ

2+r2hat)]

2}可以得到σμ

2的三次方程，可得σμ

2三個(gè)根，相應(yīng)也有θ

1hat、θ

2hat三個(gè)解。對(duì)于q>2時(shí)，求解較為復(fù)雜，因此，q較大時(shí)用線性迭代法。第五十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四第五節(jié)自回歸移動(dòng)平均模型一，定義，如果Yt是先前序列值和當(dāng)前及過去誤差的線性組合，即Yt＝φ1

Yt-1+φ2

Yt-2+…φp

Yt-p+μt－θ

1

μt－1－θ

2

μt－2－…－θ

q

μt-q稱上式為Yt的自回歸移動(dòng)平均模型（AutoregressiveMovingAverageModels,記做ARMA(p,q),pq分別表示自回歸和移動(dòng)平均的階數(shù)第五十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四用滯后算子來表示：（1－φ1

L-φ2

L2-…-φp

Lp)Yt=(1-θ

1L-θ

2L2-…-θ

qLq)μtφ(L)Yt=θ(L)μt第六十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四二ARMA模型的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)1,ARMA（1，1）Yt＝φYt-1+μt－θ

μt－1把上式改寫成：Yt－φYt-1

＝μt－θ

μt－1第六十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四E(Yt

μt)=σμ

2

E(Yt

μt-1)=E(φYt-1+μt－θ

μt－1)μt-1=φσμ

2

-θσμ

2,=(φ-θ)σμ

2

第六十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四r0＝E(Yt

2)=E(φYt-1+μt－θ

μt－1)2=φ2E(Yt-1)2+E(μt)2+θ2E(μt－1)2+2φE(Yt-1μt)-2φθE(Yt-1μt－1)-2θE(μtμt-1)=φ2

r0

+σμ

2

+θ2σμ

2

-2φθσμ

2

r0＝σμ

2(1+θ2-2φθ)/(1-φ2

)第六十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四r1=E(YtYt-1)=E(φYt-1+μt－θ

μt－1)Yt-1=φr0-θσμ

2=φ{(diào)σμ

2(1+θ2-2φθ)/(1-φ2

)}-θσμ

2,=σμ

2{(1-φθ)(φ-θ)}/(1-φ2)上式是通分化簡(jiǎn)后得到的最后結(jié)果第六十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四r2=E(YtYt-2)=E(φYt-1+μt－θ

μt－1)Yt-2=φr1＝φ

σμ

2{(1-φθ)(φ-θ)}/(1-φ2)第六十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四r3=E(YtYt-3)=E(φYt-1+μt－θ

μt－1)Yt-3=φr2＝φφ

σμ

2{(1-φθ)(φ-θ)}/(1-φ2)rk=φrk-1,k>1(k=2,3….)第六十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四所以自相關(guān)函數(shù)為:ρ1=r1/r0=(1-φθ)(φ-θ)/(1+θ2-2φθ)對(duì)于k>1,ρk=φ

k

ρk-1,第六十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四ρ2=φρ1

＝φ(1-φθ)(φ-θ)/(1+θ2-2φθ)ρ3=φρ2＝φ2(1-φθ)(φ-θ)/(1+θ2-2φθ)……ρk=φ

k

ρk-1＝φk-1(1-φθ)(φ-θ)/(1+θ2-2φθ)由此可以看出ARMA（1，1）是拖尾的第六十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四例題Yt－0.6

Yt-1＝μt－0.4

μt－1+0.04μt－2，E(Yt

μt)=σμ

2

E(Yt

μt-1)=E(0.6Yt-1+μt－0.4

μt－1

+0.04μt－2)μt-1=0.6σμ

2

–0.4σμ

2,=0.2σμ

2

第六十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四E(Yt

μt-2)=E(0.6Yt-1+μt－0.4

μt－1

+0.04μt－2)μt-2＝0.6*0.2σμ

2+0.04σμ

2

＝0.16σμ

2

E(Yt

μt-1)＝E(Yt－1

μt-2)＝0.2σμ

2，將這一結(jié)果代入上式即可第七十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四利用上面的結(jié)果，計(jì)算自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)首先將初始模型左右同乘以Yt，再取期望（1）r0－0.6r1

＝E(Yt

μt)-0.4E(Yt

μt-1)+0.04E(Yt

μt-2)=σμ

2(1-0.4*0.2+0.04*0.16)=σμ

2(1-0.08+0.0064)=0.9264σμ

2

第七十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四同乘以Yt-1，再取期望(2)r1－0.6r0

＝E(Yt－1

μt)-0.4E(Yt－1

μt-1)+0.04E(Yt－1

μt-2)＝σμ

2（-0.4+0.04*0.2）＝-0.392σμ

2

第七十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四同乘以Yt-2，再取期望3,r2－0.6r1＝E(Yt－2μt)-0.4E(Yt－2

μt-1)+0.04E(Yt－2

μt-2)=0.04σμ

2

第七十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四解上面的方程組首先（2）*0.6+（1）r0＝σμ

20.6912/0.64=1.08σμ

2

代入（2）式r1＝0.6r0－0.392σμ

2

＝（0.6*1.08-0.392）σμ

2

＝0.256σμ

2

第七十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四代入（3）式r2＝0.6r1＋0.04σμ

2

＝σμ

2（0.6*0.256+0.04）＝0.1936σμ

2

ρ1=r1/r0=0.256/1.08=0.237037ρ2=r2/r0=0.1936/1.08=0.179259第七十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四rk－0.6rk-1=0k>2所以ρk－0.6

ρk-1＝0ρ3＝0.6ρ2＝0.6*0.179259＝0.10756ρ4＝0.6ρ3＝0.6*0.10756＝0.06453……第七十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四二ARMA（1，1)模型的平穩(wěn)性和可逆性的判斷。|φ|<1是AR（1）模型平穩(wěn)的必要條件

|θ|<1是MA(1)可逆的條件。第七十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四三，ARMA（1，1）模型的預(yù)測(cè)假設(shè)，ARMA模型是平穩(wěn)可逆的，并且φ≠θYt＝φYt-1+μt－θ

μt－1Yt+1＝φYt+μt+1－θ

μt見板書第七十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四第六節(jié)非平穩(wěn)的時(shí)間序列一，非平穩(wěn)性，單位根如果一個(gè)時(shí)間序列的均值或方差隨時(shí)間t而改變，就稱該時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。特別的，我們把有一個(gè)單位根的時(shí)間序列叫隨機(jī)游走（randomwalk)，時(shí)間序列包含單位根時(shí)，它就是一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列。第七十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四Yt＝Y(jié)t-1+μt當(dāng)φ＝1時(shí)，我們稱出現(xiàn)了單位根（unitroot)Yt是一個(gè)純隨機(jī)游走序列通過直接迭代，得到：Yt＝Y(jié)0+Σμii從1到t,E(Yt)=Y0

Var(Yt

)=tσμ

2

方差不再是固定不變的。第八十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四我們來看一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列Yt＝0.8Yt-1+μt假設(shè)已知Y0=2，σμ

2=1E（Y1）=0.8E（Y0）+E（μ0）=0.8*2=1.6E（Y2）=0.8E（Y1）=0.8*0.8*2=1.28E（Y3）=0.8E（Y2）=0.8*0.8*0.8*2=1.024……E（Y100）=0.8100*E（Y0）≈0E（Yt）=0.8t*E（Y0）當(dāng)t∞，E（Yt）→0第八十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四Var(Yt)=var(0.8Yt-1+μt)=0.82var(Yt-1

)+σμ

2

重復(fù)迭代下去=0.8var(Y0)+σμ

2[1+0.82+…+0.82(t-1)]=σμ

2(1-0.82t)/(1-0.82)當(dāng)t→∞時(shí)，0.82t→0，Var(Yt

)

→σμ

2/(1-0.82)所以一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列t的增大，其期望和方差均趨于固定的常數(shù)。第八十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四

但是我們可以發(fā)現(xiàn)：ΔYt＝Y(jié)t－Yt-1

＝μt即其一階差分是一個(gè)平穩(wěn)的過程。如果一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列的一階差分是平穩(wěn)的，則稱其為一階單整I（1）。如果非平穩(wěn)的時(shí)間序列經(jīng)過d次差分后為平穩(wěn)的，則稱其為d階單整，記做I（d).第八十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四大多數(shù)的宏觀經(jīng)濟(jì)流量指標(biāo)和與人口規(guī)模有關(guān)的存量指標(biāo)都是I（1），如產(chǎn)出及就業(yè)人口，名義GNP等.I(2)則具有相對(duì)不變的增長(zhǎng)率。如物價(jià)指數(shù)。d>2的時(shí)間序列比較少見，但是經(jīng)濟(jì)異常時(shí)也會(huì)發(fā)生，如惡性通貨膨脹時(shí)的物價(jià)水平就是一個(gè)I(3)。第八十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四二，虛假回歸(spuriousregression)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列時(shí)常有一個(gè)長(zhǎng)期所謂趨勢(shì)，或近似單位根，即大多數(shù)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。如果我們直接對(duì)非平穩(wěn)的時(shí)間序列進(jìn)行回歸，可能會(huì)出現(xiàn)：1，高R22，很低的標(biāo)準(zhǔn)差（低SE）3，d趨于0（DW值）一般地，當(dāng)R2>d,時(shí)，上述回歸就可能是虛假回歸或謬誤回歸。（經(jīng)驗(yàn)上的）第八十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四三，為了避免虛假回歸，必須事先進(jìn)行單位根的檢驗(yàn)，即首先檢驗(yàn)該序列是否是平穩(wěn)的。常用的單位根檢驗(yàn)被稱為DF檢驗(yàn)（Dickey–FullerTest)第八十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四Yt＝βYt-1+μt使用最小二乘法估計(jì)上述模型，我們要檢驗(yàn)的是：H0:β＝1，Yt是非平穩(wěn)的。H1:β<1,Yt是平穩(wěn)的使用DF檢驗(yàn)，計(jì)算DF值，然后與臨界值進(jìn)行比較。第八十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四在β＝1的虛擬假設(shè)下，把通常計(jì)算的t統(tǒng)計(jì)量稱為τ(tau)統(tǒng)計(jì)量。Dickey–Fuller計(jì)算出τ統(tǒng)計(jì)量的臨界值表。τ檢驗(yàn)的方法是使用最小二乘法估計(jì)上述模型，將估計(jì)的參數(shù)β－1再除以其標(biāo)準(zhǔn)差就是τ統(tǒng)計(jì)量。然后與臨界值進(jìn)行比較。如果所計(jì)算的τ統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于臨界值絕對(duì)值，則不拒絕時(shí)間序列是平穩(wěn)的假設(shè)，即認(rèn)為該時(shí)間序列是平穩(wěn)的。如果小于臨界值絕對(duì)值，則時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。第八十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期四例題Yt＝0.147

Yt-1

（0.1427)因?yàn)榇龣z假設(shè)β＝1DF值或τ統(tǒng)計(jì)量＝0.147