第八章應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析

第八章應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析第一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第八章應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析§8-1引言§8-2平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析§8-3應(yīng)力圓§8-4極值應(yīng)力與主應(yīng)力§8-5

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力§8-6平面應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變分析§8-7廣義胡克定律第二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五§8.1引言目錄單向拉壓與純剪切是材料受力最基本形式，在工程實(shí)際中，常常會有更復(fù)雜的受力形式。1FF1σσ單向受力第三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五§8.1引言目錄FlaSS平面zMzT4321yx13雙向受力第四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五§8.1引言目錄三向受力第五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.1

引言低碳鋼塑性材料拉伸時(shí)為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鐵第六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.1

引言脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)為什么沿45o螺旋面斷開？低碳鋼鑄鐵第七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄很明顯，僅僅依靠對單向受力與純剪切的知識，尚不能解決上述構(gòu)件的強(qiáng)度問題，而應(yīng)研究微體受力的一般情況，微體內(nèi)各橫截面的應(yīng)力與各方位的變形，以及材料在復(fù)雜應(yīng)力作用下的破壞或失效規(guī)律?！?.1

引言第八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄應(yīng)力狀態(tài)：構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處所有微截面的應(yīng)力情況或集合?！?.1

引言應(yīng)變狀態(tài)：構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處沿所有方位的應(yīng)變情況或集合。微體的邊長為無窮小量，因此，當(dāng)圍繞一點(diǎn)所取微體各截面的應(yīng)力均為已知時(shí)，則過該點(diǎn)所作各微截面的應(yīng)力也完全確定。同樣，當(dāng)圍繞一點(diǎn)所取微體各方位的應(yīng)變均為已知時(shí)，則該點(diǎn)沿各個(gè)方位的應(yīng)變也完全確定。所以，在分析一點(diǎn)處的應(yīng)力與應(yīng)變狀態(tài)時(shí)，通常以微體作為研究對象。第九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄共同點(diǎn)：在微體的三對側(cè)面中，僅在兩對側(cè)面上作用有應(yīng)力，且其作用線均平行于微體的不受力側(cè)面。這種應(yīng)力狀態(tài)，稱為平面應(yīng)力狀態(tài)。平面應(yīng)力狀態(tài)是一種常見的應(yīng)力狀態(tài)。單向受力與純剪切應(yīng)力狀態(tài)是平面應(yīng)力狀態(tài)的特殊情況。一.平面應(yīng)力狀態(tài)§8.2

平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析31σσ第十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五yxzabcdσxσxτxσyσyτyef平面應(yīng)力狀態(tài)的微體§8.2

平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析目錄第十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄二.斜截面應(yīng)力一般公式§8.2

平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析xxxyntxxyyyyxxyyxyefefbbef面積：dAeb面積：cosαdAbf面積：sinαdAτx=τy第十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.2

平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析xxxyntxxyyyyxyfefbb得到平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面應(yīng)力的一般公式：yxxy第十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.2

平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析xxxyntxxyyyyxyfefbb將上式中的α

用α+90°代替，得到α+90°截面上的正應(yīng)力，可以證明：即：任意兩互相垂直的截面的正應(yīng)力之和為常數(shù)。yxxy第十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.2

平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析xxxyntxxyyyyxyfefbb規(guī)定：正應(yīng)力以拉伸為正；切應(yīng)力以使微體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正；方位角α

則以坐標(biāo)軸x

為起始邊、指向沿逆時(shí)針方向?yàn)檎?。yxxy第十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五例8-1

已知應(yīng)力狀態(tài)如圖，計(jì)算ab

斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力?！?.2

平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析abn解：目錄第十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄一.應(yīng)力圓§8.3

應(yīng)力圓（圖解法）將第一式移項(xiàng)后兩邊平方與第二式兩邊平方相加第十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.3

應(yīng)力圓（圖解法）得取橫軸為斜截面的正應(yīng)力，縱軸為斜截面的切應(yīng)力，則上式為一圓方程。圓上任一點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)，分別代表微體相應(yīng)截面的切應(yīng)力與正應(yīng)力，即為應(yīng)力圓（莫爾圓）。Rσ半徑為圓心坐標(biāo)為第十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄二.應(yīng)力圓的繪制與應(yīng)用§8.3

應(yīng)力圓（圖解法）xxxyyntyD（x截面對應(yīng)）xxy-xE（y截面對應(yīng)）H(任意斜截面α)FGτx=τyDF=EG所作即為應(yīng)力圓第十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.3

應(yīng)力圓（圖解法）α

截面的應(yīng)力求法：將半徑CD沿方位角α

的轉(zhuǎn)向旋轉(zhuǎn)2α

至CH處，可以證明，所得H點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)分別代表α

截面的切應(yīng)力與正應(yīng)力。xxxyyntyD（x截面對應(yīng)）xxy-xE（y截面對應(yīng)）H(任意斜截面α)FGτx=τyDF=EG第二十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.3

應(yīng)力圓（圖解法）值得注意的是：在應(yīng)用應(yīng)力圓分析應(yīng)力時(shí)，微體內(nèi)兩截面的夾角為α?xí)r，應(yīng)力圓上相對應(yīng)點(diǎn)所夾的圓心角為2α，且二者轉(zhuǎn)向相同。因此，兩相互垂直截面相對應(yīng)的點(diǎn)，必然位于應(yīng)力圓上同一直徑的兩端。第二十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.3

應(yīng)力圓（圖解法）繪制應(yīng)力圓的步驟：⒈作橫軸為軸，縱軸為軸；⒉在橫軸上取OB1=x，過B1引垂線B1D1=x；⒊在橫軸上取OB2=y，過B2引垂線B2D2=-x；⒋連接D1D2交橫軸于C⒌以C為圓心，CD1為半徑作圓，此圓即為應(yīng)力圓。xxxyyyD1xxy-xD2B1B2第二十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五例8-2

已知應(yīng)力狀態(tài)如圖，利用圖解法計(jì)算ab

斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力?！?.3

應(yīng)力圓abn解：目錄στ60°CA(50，-20)B(-40，20)E按比例尺量取E點(diǎn)坐標(biāo)，得σ=10.2MPaτ=49MPaα=-30°O第二十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄一.平面應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓如圖所示。在平行于z

軸的各截面中，最大與最小正應(yīng)力分別為最大正應(yīng)力所在截面的方位角：第二十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力由圖中可以看出，直線BD’所示方位即最大正應(yīng)力的方位，因此，方位角也可由下式確定：第二十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力因?yàn)樽畲笈c最小正應(yīng)力所在截面互相垂直，因此，各正應(yīng)力極值所在截面的方位如圖（ｂ）。第二十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力在平行于ｚ軸的各截面中，最大與最小切應(yīng)力分別為所在截面互相垂直，并與正應(yīng)力極值截面呈45°夾角。第二十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄二.主應(yīng)力§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力由圖可知，正應(yīng)力極值所在截面的切應(yīng)力為零。主平面：切應(yīng)力為零的截面。ab，bc，cd，da均為主平面。微體的前、后兩面不受力，切應(yīng)力也為零。主平面微體：三對互相垂直的主平面所構(gòu)成的微體。第二十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力主平面：主平面上的正應(yīng)力。按其代數(shù)值，表示為：在處于平面應(yīng)力狀態(tài)的微體內(nèi)，一定存在主平面微體。單向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中，僅有一個(gè)主應(yīng)力不為零。二向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中，兩個(gè)主應(yīng)力不為零。三向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力都不為零。第二十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄三.純剪切狀態(tài)的最大應(yīng)力與圓軸扭轉(zhuǎn)破壞分析§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力ττσDB(0，-τ)A(0，τ)OC最大拉、壓應(yīng)力第三十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力ττσDB(0，-τ)A(0，τ)OC最大切應(yīng)力位于微體的縱、橫截面上，絕對值為第三十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力低碳鋼圓軸扭轉(zhuǎn)屈服時(shí)，在表面縱、橫方向出現(xiàn)滑移線，灰口鑄鐵圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，在與軸線約成45°傾角的螺旋面上發(fā)生斷裂，即分別與最大切應(yīng)力及最大拉應(yīng)力有關(guān)。第三十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五例8-3

求圖示微體的主應(yīng)力大小及方位。目錄解：已知§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力第三十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄因此最大主應(yīng)力的方位角：§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力第三十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五1133στCA(50，-20)B(-40，20)EO解(二)：圖解法§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力目錄第三十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五例8-4

求圖示微體的主應(yīng)力大小及方位。目錄解（一）解析法§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力第三十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五3311解(二)：圖解法§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力目錄第三十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五124512345mm15311113333234梁的主應(yīng)力與主應(yīng)力跡線。此式表明，在梁內(nèi)任一點(diǎn)處的兩個(gè)非零主應(yīng)力中，其一必為拉應(yīng)力，而另一則必為壓應(yīng)力?！?.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力目錄第三十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五

梁的各點(diǎn)皆處于平面應(yīng)力狀態(tài)，各點(diǎn)的主應(yīng)力為拉主應(yīng)力1和壓主應(yīng)力3。各點(diǎn)的拉主應(yīng)力和壓主應(yīng)力的走向形成兩組互相正交的曲線族，此兩組互相正交的曲線稱為梁的主應(yīng)力跡線。過一點(diǎn)沿兩組主應(yīng)力跡線的切線則表示該點(diǎn)兩個(gè)主應(yīng)力的方向。x11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd主應(yīng)力跡線的畫法：§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力目錄第三十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五拉力壓力1313圖示為懸臂梁的主應(yīng)力跡線實(shí)線表示拉主應(yīng)力跡線；虛線表示壓主應(yīng)力跡線?！?.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力目錄第四十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五q1331

圖示混凝土梁自重下的主應(yīng)力跡線。

混凝土屬脆性材料，抗壓不抗拉。沿拉主應(yīng)力跡線方向鋪設(shè)鋼筋，可增強(qiáng)混凝土梁的抗拉強(qiáng)度?！?.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力目錄第四十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄一.三向應(yīng)力圓§8.5

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力s1s2xyzs3主平面微體123與主應(yīng)力σ3

平行的斜截面上的應(yīng)力，僅與σ1

和σ2有關(guān)，所以，在σ-τ

平面內(nèi)，與這類斜截面對應(yīng)的點(diǎn)，必然位于由σ1

與σ2所確定的應(yīng)力圓上。第四十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五三向應(yīng)力圓123123123123§8.5

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力目錄第四十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄二.最大應(yīng)力§8.5

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力在σ-τ

平面內(nèi)，代表任一截面的應(yīng)力的點(diǎn)，或位于應(yīng)力圓上，或位于由三圓所構(gòu)成的陰影區(qū)域內(nèi)。則最大與最小正應(yīng)力分別為最小正應(yīng)力分別為最大與最小主應(yīng)力，即第四十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五maxmin123最大切應(yīng)力所在的截面與2平行，與第一、第三主平面成45°角?！?.5

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力目錄第四十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五§8.5

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力上述結(jié)論也適用于單向與二向應(yīng)力狀態(tài)。如對于在拉應(yīng)力σ

作用下的單向應(yīng)力狀態(tài)：則最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力分別為目錄第四十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五例8-5

如圖所示應(yīng)力狀態(tài)，試畫三向應(yīng)力圓，并求主應(yīng)力、最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。目錄已知§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力sxsyxyzszτx解：1.畫三向應(yīng)力圓顯然，σz

為主應(yīng)力，其余兩個(gè)主應(yīng)力可由σx、σy和τx確定。A(80,35)B(20,35)CDE第四十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.4

極值應(yīng)力與主應(yīng)力sxsyxyzszτx2.主應(yīng)力與最大應(yīng)力A(80,35)B(20,35)CDE最大正應(yīng)力最大切應(yīng)力第四十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄一.廣義胡克定律§8.7

廣義胡克定律彈性力學(xué)指出：對于各向同性材料，當(dāng)變形很小且在線彈性范圍內(nèi)時(shí)，線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)，而與切應(yīng)力無關(guān)；切應(yīng)變只與切應(yīng)力有關(guān)，而與正應(yīng)力無關(guān)。這樣，處于平面應(yīng)力狀態(tài)的微體，其正應(yīng)變εx、εy

與切應(yīng)變γxy

均可利用疊加原理進(jìn)行分析。第四十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五=+§8.7

廣義胡克定律正應(yīng)力σx單獨(dú)作用時(shí)，微體x

和y

方向的正應(yīng)變分別為正應(yīng)力σy單獨(dú)作用時(shí)，微體x

和y

方向的正應(yīng)變分別為目錄第五十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五=+§8.7

廣義胡克定律所以，當(dāng)正應(yīng)力σx與σy同時(shí)作用時(shí)，微體x

和y

方向的正應(yīng)變分別為正應(yīng)力單獨(dú)作用時(shí)：目錄第五十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五=+§8.7

廣義胡克定律微體的切應(yīng)變?yōu)檎龖?yīng)力同時(shí)作用時(shí)：目錄第五十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五=+§8.7

廣義胡克定律同理可得目錄第五十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.7

廣義胡克定律同樣可以證明，對于三向應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系為xyzxyxzxyzyxyzzxzy132微體的六個(gè)平面皆為主平面時(shí)的情況：第五十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.7

廣義胡克定律廣義胡克定律第五十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄§8.7

廣義胡克定律廣義胡克定律的使用范圍：1.材料為各向同性，且處于線彈性范圍內(nèi)；2.式中的x，y并不局限于所取定的坐標(biāo)軸，只要x，y方向互相垂直，均可使用此定理。第五十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五例8-6

如圖所示槽形缸體，槽寬a=10mm，槽內(nèi)放置一邊長為a的正方形鋼塊，二者光滑貼合。設(shè)鋼塊頂面承受合力為F=8kN

的均布壓力作用，鋼的彈性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3。試求鋼塊的主應(yīng)力。目錄解：在壓力作用下，鋼塊頂面受壓，且x方向變形受阻，則會引起壓應(yīng)力σx，即鋼塊處于二向應(yīng)力狀態(tài)?！?.7

廣義胡克定律Fxyxyzaa第五十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五目錄鋼塊處于二向應(yīng)力狀態(tài)，并且§8.7