第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算

第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算第一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量第二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四第三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四2.連續(xù)(continuous)的定義定義1

設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量趨向于零時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)的增量也趨向于零，即或,那末就稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，稱為的連續(xù)點(diǎn).第四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四定義2

設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,如果函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限存在,且等于它在點(diǎn)處的函數(shù)值,即那末就稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).

定義3設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,

稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).

第五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四例1證第六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四由定義2可推得：例第七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四3.單側(cè)連續(xù)定理第八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四例第九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四例2解第十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四例2解右連續(xù)但不左連續(xù),第十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四4.連續(xù)函數(shù)(continuousfunction)與連續(xù)區(qū)間第十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，或者叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.重要結(jié)論基本初等函數(shù)，在其定義域內(nèi)的每點(diǎn)處的極限都存在且等于函數(shù)在該點(diǎn)處的值.第十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四例3證第十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四例4解第十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四例5解第十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四第十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四二、函數(shù)的間斷點(diǎn)第十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四第十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四(1)跳躍間斷點(diǎn)例1解1.第一類間斷點(diǎn)第二十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四(2)可去間斷點(diǎn)例2例3第二十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四例2解第二十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).如例2中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)如例3中,第二十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四2.第二類間斷點(diǎn)(1)無窮間斷點(diǎn)例如第二十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四例4解第二十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四(2)振蕩間斷點(diǎn)例5解第二十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).第二十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四間斷點(diǎn)的分類：第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)：跳躍間斷點(diǎn)：無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)第二十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算

1、四則運(yùn)算的連續(xù)性定理1第二十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四例如,三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).第三十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四例第三十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四2、反函數(shù)的連續(xù)性定理2

嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,同理：反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).第三十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四3、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理3例如,第三十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換;注意定理3是定理4的特殊情況.定理4第三十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四例1解第三十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四例2解同理可得第三十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四4、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))第三十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四4、初等函數(shù)的連續(xù)性定理5

基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理6

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的任一區(qū)間區(qū)間.第三十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四例1解例2解

1.初等函數(shù)求極限的方法——代入法.注意第三十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四2.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.在點(diǎn)x=0的鄰域內(nèi)沒有定義.求f(x)的連續(xù)區(qū)間,就是求f(x)的定義區(qū)間.第四十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四3.分段函數(shù)的連續(xù)性：各段內(nèi)部的連續(xù)性及各分段點(diǎn)處的連續(xù)性.第四十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四解第四十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四第四十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四四、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)第四十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四⒋連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.⒍復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.⒎初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.兩個(gè)定理;兩點(diǎn)意義.⒌反函數(shù)的連續(xù)性.第四十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四思考題第四十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四思考題1解答且第四十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四但反之不成立.例但第四十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四思考題2解答是它的可去間斷點(diǎn)第四十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四練習(xí)題一第五十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四第五十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四練習(xí)題一答案第五十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四第五十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四練習(xí)題二第五十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四第五十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四第五十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四練習(xí)題二答案第五十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四定理3證第五十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四將上兩步合起來:第五十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期四狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.★★第六十頁，共六