第五節(jié)洛朗級數(shù)展開

第五節(jié)洛朗級數(shù)展開第一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四二.雙邊冪級數(shù)其中被稱為雙邊冪級數(shù)的正冪部分被稱為雙邊冪級數(shù)的負冪部分第二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四三.收斂環(huán)的確定設正冪部分的收斂半徑為R1；而負冪部分在變換=1/(z-z0)下的級數(shù)的收斂半徑為1/R2，則其在|z-z0|>R2外收斂。如果R2<R1，那么雙邊冪級數(shù)就在環(huán)狀域R2<|z-z0|<R1內(nèi)收斂，所以R2<|z-z0|<R1給出了雙邊冪級數(shù)的環(huán)狀收斂域，稱為收斂環(huán)。雙邊冪級數(shù)在收斂環(huán)內(nèi)絕對且一致收斂。第三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四正冪部分負冪部分R2R1z0R1z0|z-z0|<R1R2z0R2<|z-z0|收斂環(huán)R2<|z-z0|<R1第四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四積分路徑C為位于環(huán)域內(nèi)按逆時針方向饒內(nèi)圓一周的任一閉合曲線.四.洛朗定理第五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四證明:為了避免討論在圓周上函數(shù)的解析性及級數(shù)的收斂性問題,將外圓稍微縮小為,內(nèi)圓稍微擴大為,如圖應用復通區(qū)域上的柯西公式有下面將展開為冪級數(shù),對于沿的積分,展開如下:而對于沿的積分,考慮到用以下方法將其展開第六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四把分別沿和的展開式代入下式,然后逐項積分可得把第二部分中的k=-(l+1)代替l作為求和指標,并根據(jù)柯西定理第七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四把積分回路改為可得其中C為環(huán)域內(nèi)沿逆時針方向饒內(nèi)圓一周的任一閉回線,上式稱之為f(z)的洛朗展開,右端的級數(shù)稱為洛朗級數(shù)說明:雖然級數(shù)中含有z-z0的負冪項,而這些項在z=z0時都是奇異的,但點z0可能是也可能不是函數(shù)f(z)的奇點雖然展開系數(shù)ak的公式與泰勒展開系數(shù)ak的公式形式相同,但這里不論z0是不是f(z)奇點.如果是奇點,則根本不存在第八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四如果z0不是奇點,則因為成立的條件是以C為邊界的區(qū)域上f(z)解析,但現(xiàn)在區(qū)域上有f(z)的奇點,(如果沒有奇點,就不用考慮洛朗級數(shù)的展開)不是z0(3)如果只有環(huán)心z0是f(z)的奇點,則內(nèi)圓半徑可以任意小,同時z可以無限接近z0,這個時候稱為f(z)在它的孤立奇點z0的鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)展開式,這種情況特別重要,以后將利用它研究函數(shù)在孤立奇點附近的性質(zhì).(4)洛朗級數(shù)展開式也是唯一的,這點和泰勒級數(shù)是一致的,此唯一性使得可用不同的方法求得環(huán)域上解析函數(shù)的洛朗展開式存在,但仍然不等于第九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四例1:在z0=0的鄰域上把(sinz)/z展開解:函數(shù)(sinz)/z在原點沒有定義,z0=0是奇點引用sinz在原點的鄰域上的展開式:同時為了避開奇點,從復平面挖去奇點,在挖去奇點的復數(shù)平面上用z遍除sinz的展開式,就得到(sinz)/z的展開式如果我們定義一個函數(shù)f(z)如下:第十頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四則f(z)在整個開平面上是解析的,由上我們可得到f(z)在z0=0的鄰域上的展開式:同時也是解析函數(shù)f(z)的泰勒級數(shù)!例2:解:在的環(huán)域上將函數(shù)f(z)=1/(z2-1)展開為洛朗級數(shù)在展開式中出現(xiàn)無限多負冪次項,但z=0本身不是函數(shù)的奇點奇點為z=士1第十一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四例3:在z0=1的鄰域上把f(z)=1/(z2-1)展開為洛朗級數(shù)解:先把f(z)分解為分項公式第二項只有一個奇點z=-1,因此可在z0=1的鄰域|z-1|<2上可以展為泰勒級數(shù)如下:由此我們可得展開式里邊出現(xiàn)了-1次項第十二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四例4:解:我們知道ex在原點鄰域上的展開式為把z全換成1/z,可得到以下結(jié)果:即這里出現(xiàn)無限多負冪項.在z0=0的鄰域上把展開為洛朗級數(shù)第十三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四例5:解:在z0=0的鄰域上把展開為洛朗級數(shù)由前邊的結(jié)論我們可得絕對收斂級數(shù)以上兩個絕對收斂級數(shù)可以逐項相乘,乘積中既有無限多正冪項又有無限多負冪項,為了得到乘積中某個正冪zm(1)(2)應取(2)中所有各項分別用(1)中的l=n+m項去乘,為得到某個負冪項z-h應取(1)中所有項而分別用(2)中的n=l+h項去乘,由此可以得到以下結(jié)果:第十四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四將-h記為m,l記為n,則有利用貝塞爾函數(shù)可以把上式寫成中括號里邊是m階貝塞爾函數(shù)Jm(x)第十五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四第十六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四第十七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四第十八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四12第十九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期四應當指出,根據(jù)定理公式直接求一個函數(shù)的洛朗級數(shù)是很困難的必須計算無窮多個積分才能得到,而不能像泰勒級