2022-2023學年高中數學導數專題講義

導數專題講座內容匯總

目錄

導數專題一、單調性問題...........................................................2

導數專題二、極值問題............................................................40

導數專題三、最值問題............................................................55

導數專題四、零點問題............................................................80

導數專題五、恒成立問題和存在性問題............................................123

導數專題六、漸近線和間斷點問題.................................................175

導數專題七、特殊值法判定超越函數的零點問題.....................................195

導數專題八、避免分類討論的參變分離和變換主元....................錯誤!未定義書簽。

導數專題九、公切線解決導數中零點問題............................錯誤!未定義書簽。

導數專題十、極值點偏移問題.......................................錯誤！未定義書簽。

導數專題十一、構造函數解決導數問題..............................錯誤！未定義書簽。

導數專題一、單調性問題

【知識結構】

【知識點】

一、導函數代數意義：利用導函數的正負來判斷原函數單調性；

二、分類討論求函數單調性：含參函數的單調性問題的求解，難點是如何對參數進行分類討

論，討論的關鍵在于導函數的零點和定義域的位置關系.

三、分類討論的思路步驟：

第一步、求函數的定義域、求導，并求導函數零點；

第二步、以導函數的零點存在性進行討論；當導函數存在多個零點的時，討論他們的大小關

系及與區(qū)間的位置關系（分類討論）；

第三步、畫出導函數的同號函數的草圖，從而判斷其導函數的符號（畫導圖、標正負、截定

義域）；

第四步、（列表）根據第五步的草圖列出了'（X）,"X）隨X變化的情況表，并寫出函數的

單調區(qū)間；

第五步、綜合上述討論的情形，完整地寫出函數的單調區(qū)間，寫出極值點，極值與區(qū)間端點

函數值比較得到函數的最值.

四、分類討論主要討論參數的不同取值求出單調性，主要討論點：

1.最高次項系數是否為0；

2.導函數是否有極值點；

3.兩根的大小關系；

4.根與定義域端點討論等。

五、求解函數單調性問題的思路：

(1)已知函數在區(qū)間上單調遞增或單調遞減，轉化為廣(x)NO或廣(x)40恒成立;

(2)已知區(qū)間上不單調，轉化為導函數在區(qū)間上存在變號零點，通常利用分離變量法求解

參變量的范圍；

(3)已知函數在區(qū)間上存在單調遞增或單調遞減區(qū)間，轉化為導函數在區(qū)間上大于零或小

于零有解.

六、原函數單調性轉化為導函數給區(qū)間正負問題的處理方法

(1)參變分離；

(2)導函數的根與區(qū)間端點直接比較；

(3)導函數主要部分為一元二次時，轉化為二次函數根的分布問題.這里討論的以一元二次

為主。

七、求解函數單調性問題方法提煉：

(1)將函數“X)單調增(減)轉化為導函數r(x)“<)o恒成立；

(2)f,(x)=g(x)/i(x),由g(x)>o(或g(x)<0)可將r(x)“()O恒成立轉化為

/z(x)>(<)0(或〃(x)W(?)O)恒成立；

(3)由“分離參數法”或“分類討論”，解得參數取值范圍。

【考點分類】

考點一、分類討論求解函數單調性;

【例1T】(2015-2016朝陽一模理18)已知函數/(x)=x+alnx,aeR.

(I)求函數/(x)的單調區(qū)間；

(II)當x?l,2］時，都有/(x)>0成立，求。的取值范圍；

(III)試問過點P(l，3)可作多少條直線與曲線y=/(x)相切？并說明理由.

【答案】(I)函數/(x)的定義域為{x|x>0}./'(x)=1+3=匕0.

(1)當?！贰r，尸(幻>0恒成立，函數/(x)在(0,+8)上單調遞增；

(2)當。<0時，令/'(x)=0,得x=-a.

當0<x<-a時，/'(x)<0,函數/(x)為減函數；

當x>—a時，f'(x)>0,函數/(x)為增函數.

綜上所述，當時，函數/(x)的單調遞增區(qū)間為(0,+8).

當。<0時，函數/(x)的單調遞減區(qū)間為(0,—a),單調遞增區(qū)間為(-a,+8).

(II)由(I)可知，(1)當一aWl時，即aN—1時，函數/(x)在區(qū)間［1,2］上為增函數，

所以在區(qū)間［1,2］上，=/(I)=1,顯然函數/(x)在區(qū)間［1,2］上恒大于零；

(2)當1<一。<2時，即一2<“<一1時，函數/(x)在［1,一。)上為減函數，在(-a,2］上

為增函數，所以/(x)min=/(-a)=-。+aln(-a).

依題意有/(x)min=-a+aln(-a)〉0,解得a>—e,所以一2<a<-l.

(3)當一時，即。4一2時，/(%)在區(qū)間［1,2］上為減函數，

所以/(x)mm=/(2)=2+aln2.

八22

依題意有/(尢)min=2+〃ln2>。，解得。>—-~~—,所以一——<a<-2.

In2In2

2

綜上所述，當。/力時，函數/(x)在區(qū)間［1,2］上恒大于零.

(III)設切點為(XoMo+aln4),則切線斜率左=1+巴,

切線方程為y—=+.

%

因為切線過點P(l,3),貝113-(玉)+。m/)=(1+色)(1一%).

%

即a(InXQH----])—2=0............①

%

令g(x)=a(lnx+1-l)—2(x>0),貝！1g'(x)=a(，--。.

XXXX

(1)當。<0時，在區(qū)間(0,1)上，g'(x)>o,g(x)單調遞增；

在區(qū)間(1,+8)上，g'(x)<o,g(x)單調遞減，

所以函數g(x)的最大值為g(l)=—2<0.

故方程g(x)=0無解，即不存在/滿足①式.

因此當a<0時，切線的條數為0.

(2)當a>()時，在區(qū)間(0,1)上，g'(x)<0,g(x)單調遞減，

在區(qū)間(1,一)上，g'(x)>0,g(x)單調遞增，

所以函數g(x)的最小值為g⑴=—2<0.

1+-2-1---I--

取Xi=e">e,則g(%)=a(l+—+e"-1)-2=aea>0.

a

故g(X)在(1,+。。)上存在唯一零點.

]21.2.2.2c

-1—]21+—I+-14?-2

?。?=e"<一，則g(%2)=a(-l——+ea-1)-2=ae"-2a-4=o|e"—2(1+—)].

eaa

2

設t=1+—(/>1),u(t)=ez-2r,則u(t)=er-2.

a

當t>]時，/(，)=e'_2〉e_2>0恒成立.

所以“(f)在(1,+8)單調遞增，〃。)>〃(1)=0-2>0恒成立.所以g(w)>0.

故g(x)在(0,1)上存在唯一零點.

因此當。>0時，過點戶(1,3)存在兩條切線.

(3)當。=0時，/(x)=x,顯然不存在過點。(1,3)的切線.

綜上所述，當。>0時，過點P(1,3)存在兩條切線；

當時，不存在過點。(1,3)的切線.

1r-1

【例1-2](2015-2016海淀一模理18)已知函數f(x)=lnx+——1,g(x)=--.

xInx

(I)求函數/(x)的最小值；

(II)求函數g(x)的單調區(qū)間；

(in)求證：直線y=x不是曲線丁=8(大)的切線.

【答案】(I)函數的定義域為(0,+8),

當無變化時，f\x),/(x)的變化情況如下表:

X(0,1)1(1,+8)

/,?——0+

/(X)遞減極小值遞增

函數于(x)在(0,位)上的極小值為/(a)=In1+；—1=0,

所以/(x)的最小值為0

(H)解：函數g(x)的定義域為(0,1)。,+8),

Inx-(x-l)—Inxd----1

X=%

In2xIn2xIn2x

由(I)得，/U)>0,所以g'(x)NO

所以g(x)的單調增區(qū)間是(0,1),(1,+8),無單調減區(qū)間.

cm)證明：假設直線丁=%是曲線g(x)的切線.

,1,

InH-----1

設切點為(5,%),則g'(X0)=l,即——「2-=1

In/

x—1,—1

又先=■;—n，%=/，則■;—=/.

Inx()Inx0

所以1|1%=5二=1一口",得g'(Xo)=O,與g'(x())=l矛盾

%x0

所以假設不成立，直線丁=%不是曲線且。)的切線

【練1T】(2015-2016西城一模理18)已知函數/(x)=xe、-ae*T,且/'⑴=e.

(I)求a的值及/(x)的單調區(qū)間；

(II)若關于x的方程/(x)=丘2—2*>2)存在兩個不相等的正實數根證明:

|x,-x2|>In—.

【答案】(I)對/(x)求導,得答(x)=(l+x)e*—ae，T,

所以/'(l)=2e—a=e,解得”=e.

故/(x)=xe、-e*,f\x)=xex.

令ra)=o,得x=o.

當X變化時，/(X)與/(X)的變化情況如下表所示：

Xy,o)0(0收)

f'(x)—0+

f(x)/

所以函數/(x)的單調減區(qū)間為(-8,0),單調增區(qū)間為(0,+8).

(H)解:方程/(幻=履2-2,即為(x-l)ev-?2+2=0,

設函數g(x)=(x-l)e'-小+2.

求導，得g'(x)=xe*-2Ax=x(e*-2Q.

由g'(x)=O,解得x=0,或x=ln(2k).

所以當xe(O,+?)變化時，g，(x)與g(x)的變化情況如下表所示:

X(0,ln(2幻)ln(2外(ln(2A:),+co)

g'(x)—0+

g(x)X/

所以函數g(x)在(0/n(2k))單調遞減，在(ln(2Z),")上單調遞增.

由一>2,得ln(2Q>ln4>l.

又因為g(D=-上+2<0,

所以g(ln(2Q)<0.

不妨設再(其中不，多為〃制=履2-2的兩個正實數根)，

因為函數g(x)在(01n2Z)單調遞減，且g(0)=l>0,g(l)=-A:+2<0,

所以0<西<1.

同理根據函數g(x)在(In2在y)上單調遞增,且g(ln(2盼)<0,

可得々>ln(2^)>In4,

4

所以I%-%,|=芻-x,>ln4-l=ln-,

e

4

EP|x,-x|>ln-.

2e

【練1-2］(2011-2012石景山一模文18)已知函數f(x)=x2+2aInx.

(I)若函數/(x)的圖象在(2,f(2))處的切線斜率為1,求實數。的值；

(II)求函數/(x)的單調區(qū)間；

2

(III)若函數g(x)=-+/(x)在［1,2］上是減函數，求實數。的取值范圍.

.?.、，,，、c2a2x~+2a,

【答案】(I)f(x)=2x+—=........1分

XX

由已知/'(2)=1,解得。=—3.........3分

(II)函數/(X)的定義域為(0,+8).

(1)當時，/'(x)>0,/(X)的單調遞增區(qū)間為(0,+8)；……5分

2(x+-j—a)(x—J—a)

(2)當a<()時/'(x)=L~~---~~~~~

x

當X變化時，/'(x),/(x)的變化情況如下：

(0,V-?)

Xyj-a(C?,+oo)

f\x)-0+

/(X)

\極小值z

由上表可知，函數/(x)的單調遞減區(qū)間是(0,。)；

單調遞增區(qū)間是(G,+8).........8分

(II)由g(x)=2+x2+2alnx得g'(x)=--%+2x+—,.......9分

XXX

由已知函數g(x)為［1,2］上的單調減函數，

則g'(x)W0在［1,2］上恒成立，

即一一1+2x+—K0在［1,2］上恒成立.

xx

1

即一一/9在",2］上恒成立.........11分

x

令/z(x)=L—f，在［1,2］上"(*)=-4■-2x=—(3+2X)<0,

XXX

7

所以h(x)在口,2］為減函數.h(x)m［n=%(2)=—5，

7

所以。W一—.........14分

2

【練1-3］(2015-2016朝陽期末文19)已知函數/(x)=(2Z-l)lnx+K+2x,keR.

X

(I)當k=1時，求曲線y=f(幻在點(1J⑴)處的切線方程；

(II)當％=e時，試判斷函數f(x)是否存在零點，并說明理由;

(III)求函數f(x)的單調區(qū)間.

【答案】函數/(x)的定義域：xe(0,+oo).

:(幻=汩/+22x12+(2k-\)x-k(x+Z)(2x-1)

xxx2

(I)當k=1時，f(x)=Inx+—+2x.

X

(x+l)(2x-l)

f\x)

x2

有/(l)=lnl+l+2=3,即切點(1,3),

(1+D(2-1)

k=f(D==2.

I2

所以曲線y=/Q)在點(1J⑴)處切線方程是丁一3=2。-1),

即y=2x+L

(II)若％=0,/(x)=(2e-l)lnx+—+2x.

x

,(x+e)(2x-l)

/w=------弓—?

x

令/(%)=。，得X[=~e(舍)，]2=；

]_1、

X(耳,+8)

畤2

/'0)——0+

f(x)極小值/

111

則/(x)min=/(Q)=(2e—1)1陛+1e+2?5=2(1—ln2)e+ln2+l>0.

2

所以函數/(x)不存在零點.

(III)f'{x}=狂+6？1).

X

當一/WO,即我之0時,

1_1

X畤（萬,+00）

2

/'（X）—0+

/（X）極小值/

當一%>g,即左<—g時，/（x）的單調增區(qū)間是（0,g）,（—乂+oo）；

(0,1)

X—k（一々,+8）

2

/（X）+0——0+

/(%)/極大值極小值/

當0<—%<,，即一！〈左<0時,

22

（-%,1）1

X(0,-/r)-k(5,+oo)

2

f'M+0—0+

f(x)/極大值極小值/

當_左=工，即％=__1時,

22

(0,31

X(/,+8)

2

f'M++

fM//

綜上上20時，f（X）的單調增區(qū)間是W，+00）；減區(qū)間是（0,1）.

當一;<A<0時，/（%）的單調增區(qū)間是（0,—6，（；,+oo）；減區(qū)間是（一女,；）?

當％=一；時，/（x）的單調增區(qū)間是（0,+8）;

當時，/（x）的單調增區(qū)間是（0,；）,（一人,+8）；減區(qū)間是§,—%）.

【練1-4］（2015-2016豐臺期末文20）設函數/（x）=V+以2+4v的圖象與直線

y=-3x+8相切于點P(2,2).

(I)求函數/(x)的解析式：

(II)求函數/(X)的單調區(qū)間；

]YY^_|_]j

32

(III)設函數g(x)=-x----x+inx--(m>1),對于Ve[0,4],3x2e[0,4],

使得/■($)=g(X2),求實數機的取值范圍.

【答案】(I)..?函數/。)=*3+62+法的圖象與直線},=—3%+8相切于點尸(2,2),

廣⑵=-3,/⑵=2.

Vf'(x)=3x2+2ax+b,

‘8+4a+2匕=2

3x2?+2ax2+匕=-3

解得《a——6

h=9

f{x}=x3-6x2+9x.

(II)/'(X)=3X2-12X+9=3(X-1)(X-3),

令/'(x)>0,得x<l或x>3；

令/'(x)<0,得l<x<3.

???/(X)的單調遞增區(qū)間為(-8』)，(3,+8)；單調遞減區(qū)間為(1,3).…8分

(III)記/(x)在[0,4]上的值域為A,g(x)在[0,4]上的值域為8,

...對于VX|e[0,4],3x2e[0,4],使得/(2)=gO2)，

A^B.

由(H)得：/(x)在[0,1]上單調遞增，在(1,3)上單調遞減，在[3,4]上單調遞增，

/(0)=0,/⑴=4,〃3)=(),/(4)=4,

A=[0,4].

/、1m+1l/i、

Vg(x)=—x3----x2+iwc-—(m＞1),

g'(x)=x2~(m+l')x+m=(x-1)(尤-m).

①當1＜加＜4時，g(x)在［0,1］上單調遞增，在［1,/可上單調遞減，在,4］上單調遞增,

/.g(x)的最小值為g(0)或g(m),g(x)的最大值為g(l)或g(4).

Vg(0)="1＜0,且

???g⑴1或g(4)24,

/.g(l)=gm-gz4或g(4)=-4加+1324,

9

即加29或mW.

4

又??.1＜加＜4,

9

1<<

-4-

②當一24時,g(x)在［0,1］上單調遞增，［1,4］上單調遞減，

二g(x)的最小值為g(0)或g(4),g(x)的最大值為g(l).

Vg(0)=-l<0,且

g(D>4,

/.—m-->4,即加29.

22

9

綜上所述：1<加工一或加之9.

4

【練1-5］(2015-2016朝陽二模文20)已知函數/(x)=辦-,一(a+l)lnx,awR.

X

(I)求函數/(X)的單調區(qū)間;

(II)當“21時，若/(x)>l在區(qū)間P,e］上恒成立，求。的取值范圍.

e

【答案】(I)函數/(X)的定義域為{x|x〉0},/博尸以一一(：：l)x+l=gg(xT)

(1)當a?0時，av-l<0,

令/'(x)>0,解得0<x<l,則函數/(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1)

令/'(x)<0,解得x>l,函數/(x)單調遞減區(qū)間為(1,+8).

所以函數/(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1),單調遞減區(qū)間為(1,+8).

(2)當0<。<1時，->1,

a

令/'(x)>0,解得0<x<l或x>L,則函數/(%)的單調遞增區(qū)間為(0,1)；

a

令/'(x)<0,解得l<x<,，函數/(x)單調遞減區(qū)間為

aa

所以函數y(x)的單調遞增區(qū)間為(o,i),(-,+oo),單調遞減區(qū)間為

aa

(3)當a=l時，20恒成立,

x

所以函數/(%)的單調遞增區(qū)間為(0,+8).

(4)當。>1時，

a

令r(x)>0,解得0<x<工或x>l,則函數/(x)的單調遞增區(qū)間為(0,L),(L+oo)；

aa

令/'(x)<0,解得』<x<l,則函數/(x)的單調遞減區(qū)間為(,J).

aa

所以函數/(X)的單調遞增區(qū)間為(0,L),(1,+8),單調遞減區(qū)間為(L,l)(II)依題意，

aa

在區(qū)間P,e］上

e

,以2_(Q+I)X+I(ax-l)(x-l)

fW=--------；-------=-------；-----,a>\.

xx

令/'(x)=。得，1=1或%=’.

a

若aNe,則由/'(x)>0得，l<x《e,函數f(x)在(l,e)上單調遞增.

由/'(x)<0得，函數/(X)在(」,D上單調遞減.

ee

所以/(X)min=/(D=〃—l>l，滿足條件；

若lva<e,則由/'(x)>0得，或i<x〈e；

ea

由/'(x)<0得，-<x<l.

a

函數/(x)在(l,e),d,)上單調遞增，在(1,1)上單調遞減.

eaa

/(X)而n=min"(3"⑴｝，

e

1e2

依題意./)>1,即一>二T，所以2<a<e；

,/(1)>1a>2

若a=l,則/'(xRO.

所以/(x)在區(qū)間［Le］上單調遞增，/(x)min=/(-)>1.不滿足條件；

ee

綜上，a>2.

【練1-6］(2015-2016房山二模文19)已知函數/(x)=x+二

(I)求函數“X)的單調區(qū)間；

(II)若直線丁=丘與曲線y=/(x)沒有公共點，求實數%的取值范圍。

【答案】(I)〃x)=x+e，定義域為H

e

1

/'(x)=l-Jr=^-7--,令/'(x)=O,得x=O

X(-00,0)0(O,4w)

—

/W0+

f(x)極小值T

所以/(X)的增區(qū)間為(O,+8),減區(qū)間為(YO,0)。

(II)因為直線y=與曲線y=/(x)沒有公共點，

所以方程〃力="無實根，即彳+《=丘無實根，等價于伙-l)x-e'-l=O無實根

設g(x)=(%T)x，e*-l,即〉=g(x)無零點。

g'(x)=(左一1)?ev+(左一1)x?ex-e*?(攵-1)?(x+1)

當4=1時,g'(x)=O,g(x)=-l,顯然無零點，符合題意；

當攵＞1時，令g(x)=O,得x=T

X(-00,-1)-1(-1,+co)

g'(x)—0+

g(x)極小值

8(-1)“而=一("1)1-1＜°，顯然不符合題意;

當左＜1時，令g'(x)=O,得x=-l

X(-00,-1)-1(-l,+°o)

g’(x)+0—

g(x)極大值

由g(—1ax=一(％—1)人一1＜°，得k＞l-e,所以1一6＜女＜1時，符合題意

綜上所述：1一6＜攵＜1

【練1-7](2015-2016朝陽一模文19)已知函數/(x)=--?ev(Z:GR).

k-x

(I)若k=l,求曲線y=/(x)在點(O,7(0))處的切線方程；

(II)求函數/(x)的單調區(qū)間；

(IH)設ZK0,若函數/(x)在區(qū)間(上,2行)上存在極值點，求上的取值范圍.

【答案】(I)若％=1,函數/(X)的定義域為卜上。1},/'a尸.

則曲線y=f(x)在點(0,/(()))處切線的斜率為尸(0)=3.

而7(0尸1,則曲線y=/(x)在點(0,7(0))處切線的方程為y=3x+l

函數/(X)的定義域為卜,工女｝,/'數)=kJ.)

(II)

\K-X)

(1)當月>0時，由XHh且此時，攵2+2%>1,可得-7左2+2左<左<，左2+2左

令/"'*)<0,解得<<-J^+2等或x>正+2k,函數/(x)為減函數;

令/''(x)>0,解得一J%?+2k<x<&2+2Z,但尤力左，

所以當一」公+2攵<%<攵,左<x<J"+2攵時,函數/(幻也為增函數.

所以函數/(%)的單調減區(qū)間為(-8,~^lk2+2k),(,/+2匕48),

單調增區(qū)間為(一，x+2%,儲，(k,y/k2+2k).

(2)當后=0時，函數/(x)的單調減區(qū)間為(-8,0),(0,+oo).

當％=—2時，函數/(x)的單調減區(qū)間為(-8,-2),(-2,+00).

當一2(化<0時，由2女+女2<。，所以函數/(x)的單調減區(qū)間為(-8,左)，鼠,+00).

即當一2?kW0時，函數/(%)的單調減區(qū)間為Joo,A),(￡+8).

(3)當％<—2時，此時-JL+2Z>，.

令/''(x)<0,解得X<-JF+2Z或x>jF+2左,但尤。左，所以當刀<人，

k<x<->Jk2+2k,%>42+21時,函數/(x)為減函數；

令/'(x)>0,解得一Jr+2><x<jF+2Z,函數/(x)為增函數.

所以函數/(x)的單調減區(qū)間為(-8,Q,(k71cl+2k),(正+21收),

函數/(x)的單調增區(qū)間為7k?+2Z,J叱+2Q........9分

(III)(1)當一2WAW0時，由(II)間可知，函數/(x)在(、/§,2J5)上為減函數，

所以不存在極值點；

(2)當左<—2時，由(II)可知，/(x)在(-J左2+2A,Je+2%)上為增函數,

在(，,+2攵,田)上為減函數.

若函數/(x)在區(qū)間(百,2a)上存在極值點，則由<〃2+2左<20,

解得T<A<—3或1<左<2,

所以T<4<—3.

綜上所述，當T<%<—3時，函數/(x)在區(qū)間(6,20)上存在極值點.

QX

【練1-8](2015-2016東城期末理19)已知函數/(無)=——a(x-lnx).

x

(I)當。=1時，試求/(X)在(1,7(1))處的切線方程；

(IJ)當時，試求/(X)的單調區(qū)間；

(III)若/(幻在(0,1)內有極值，試求。的取值范圍.

【答案】(I)當a=l時，//(x)=-(V1)~l+-，⑴=0,/(D=e-1.

XX

方程為y=e-l.

(II)f()=e'd)_a(iJex(x-l)-ax(x-l)

X"X廠

(eA-ar)(x-l)

-X2°

當am()時，對于Vxe(0,+oo),e*—ar>0恒成立，

所以/,(x)>0=x>I；/(x)<0=0<x<10.

所以單調增區(qū)間為(1,+8),單調減區(qū)間為(0,1).

(Ill)若/(X)在(0,1)內有極值，則/(%)在xe(0,l)內有解.

,.(e'—ax)(x-1)八*ce"

令/(x)=------；------=0=>e-ax=0=a=—.

xx

設g(x)=JXG(0,1),

X

所以g'(x)=e('T),當xe(0,l)時，g'(x)<0恒成立，

x

所以g(x)單調遞減.

又因為g6=e,又當Xf()時，g(x)f+oo,

即g(x)在xe(0,1)上的值域為(e,+oo),

所以當a>e時，/(x)=Qz智把二D=o有解.

設H(x)=e*-ax,貝H'(x)-e'-a<0xe(0,1),

所以”(x)在xe((),l)單調遞減.

因為〃(0)=l>0,”(l)=e-a<0,

所以”(x)=e'-如在xw(0,1)有唯一解/.

所以有：

X((),/)X()(尤0，1)

"(X)+0—

/1(X)—0+

/(X)遞減極小值遞增

所以當a>e時，/(x)在(0,1)內有極值且唯一.

當a〈e時，當xe(0,l)時，f(x)?0恒成立，/(x)單調遞增，不成立.

綜上，。的取值范圍為(e,+8).

a—2

【練1-9](2015-2016大興期末理18)已知函數/(幻=以+----+2-2。(。>0).

X

(I)當。=1時，求函數/(X)在點(2,7(2))處的切線方程；

(II)求函數/(x)的單調區(qū)間；

(III)若/(x)221nx在[1,+8)上恒成立，求a的取值范圍.

【答案】⑴當1=1時，/(%)=%--,r(x)=i+-4

Xx~

/(2)=|3,u(2)=：5

所以，函數f(x)在點(2J(2))處的切線方程為>一33=15。-2)

即：5x-4y-4=0

(II)函數的定義域為：{x|xw0}

\a—2ax1+(2—a)

f(x)=a--?-=---1-----(a>0)

當0<aW2時，/'(x)NO恒成立，所以，在(-8,0)和(0,+o。)上單調遞增

當a>2時，令f'(x)=O,即：ax1+2-tz=0

/(x)>0,x>x2^tx<x];f(x)<Otx,<x<Og￡O<x<x2,

所以,/⑴單調遞增區(qū)間為(TO,和(JF'M),單調減區(qū)間為

(-J—a-20)和(O,JT).

a

n—2

(III)因為/(x)221nx在[1,+oo)上恒成立，有or+----+2-2。-21nxN0(a>0)

x

在[1,+8)上恒成立。

(1—2

所以，令g(x)=avH-----+2—2。-21nx,

x

ri./、22ux"-2,x—tz+2(x_])[tzx+(a—2)]

貝g(x)=a--2---=-----2----=------2------

XXx~x~

令g'(x)=O,則%=l,x,=一巴避

a

若-佇2=1,即a=l時，g(x)20,函數g(x)在[l,+oo)上單調遞增，又g⑴=0

a

所以，f(x)N2In工在口,長。)上恒成立；

若一幺即avl時，當代(0,1),(—巴」,內)時，g*)>O,g(x)單調遞增；

aa

當X€(l,-竺2)時，g'(X)<0,g(X)單調遞減

a

(1—2

所以，g*)在口,+8)上的最小值為g(-----),

a

n—2

因為g⑴=0,所以g(-----)<0不合題意.

a

-幺二<1,即。>1時，當xe(O,-幺二),(1,+oo)時，g.(x)>O,g(x)單調遞增，

aa

當xw(-幺二』)時，g(x)<O,g(x)單調遞減，

a

所以，g(x)在U，+8)上的最小值為g(l)

又因為g⑴=0,所以/(%)之21nx恒成立

綜上知，a的取值范圍是［1,+8).

考點二、已知函數單調求參數范圍；

【例2-1](2015-2016石景山期末文20)已知函數

(I)若/(X)在無=1處取得極小值，求的值；

(II)若/(X)在區(qū)間(2,內)為增函數，求M的取值范圍；

(III)在(II)的條件下，函數/z(x)=/(x)—g(x)有三個零點，求加的取值范圍.

【答案】(I)/'(*)=f一(加+1?

由/(無)在x=l處取得極大值，得r(l)=l—(加+1)=0,

所以機=0(經檢驗適合題意)

(II)/'(幻=無2—(m+1)%，因為/(%)在區(qū)間(2,+8)為增函數，所以

/一(m+l)x=x(x-m-l)20在區(qū)間(2,+oo)恒成立，

所以—m一1)20恒成立，即加工工一1恒成立，

由于1>2,得加<1.

所以加的取值范圍是加41.

|M7+1I

(III)h(x)=f(x)-g(x)=-x3———x2+iwc--,

故h'(x)=x2-(m+l)x+m=(x—1)(九一加)=0,得光=加或x=1

當m=1時，〃'(x)=(x—1)2>0，版X)在R上是增函數，顯然不合題意.

當機<1時，于⑸于'(X)隨X的變化情況如下表：

X(-oo,m)m0,1)1(1,+00)

h(x)+0-0+

極大值

13121

h'(x)/——m'+—m——極小值----/

6232

1311

-----ITlH----2--->0n

623

要使/(x)-g(x)有三個零點，故需

竺。<0

2

(〃一1)(病―<0，解得加<“

即V

m<l

所以加的取值范圍是加<1-也.

兀2

【例2-2](2015-2016朝陽期中文19)已知函數/(x)=alnx+萬一(a+l)x,aeR.

(I)若函數f(x)在區(qū)間(L3)上單調遞減，求Q的取值范圍；

(II)當4=-1時，證明

【答案】(I)函數的定義域為(0,+8).

因為/，(幻，+1〃+1)「2一("+1)》+“=(1)。-。)

XXX

又因為函數/(x)在(1,3)單調減，所以不等式(x—l)(x—。)<0在(1,3)上成立.

設g(x)=(x—l)(x—a),則g(3)K0,即9—3(a+l)+aK0即可，解得a23.

所以。的取值范圍是［3,+8).

X2

(II)當a=-1時，f(x)=-lnx+—,

1(x+l)(x—1)

f'M—+x=---=---:--

XXX

令r*)=o,得％=i或%=—1(舍).

當x變化時，y(x),/'(x)變化情況如下表:

X(0,1)1(1次)

f\x)——0+

/(X)極小值T

所以X=1時，函數/(X)的最小值為/(l)=g.

/(%)>-

所以2成立.

【練2-1］(2015-2016海淀期中文18)已知函數/(x)=+工2+以+1.

(I)若曲線y=/(x)在點(0,1)處切線的斜率為-3,求函數/(x)的單調區(qū)間;

(II)若函數/(x)在區(qū)間［—2,0上單調遞增，求°的取值范圍.

【答案】(I)因為/(0)=1,所以曲線y=/(x)經過點(0,1),

又/'(%)=爐+2尤+a,

所以1(O)=a=-3,

所以/'(x)=x2+2x-3.

當x變化時，/'(X),/(x)的變化情況如下表

XS,-3)-3(-3,1)1(L+oo)

f\x)4-0—0+

/(X)T極大值極小值