北京2013屆石景山上學(xué)期期末高三數(shù)學(xué)(理科)

2013石景山上期末數(shù)學(xué)理科第6頁(yè)共8頁(yè)石景山區(qū)2012—2013學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷高三數(shù)學(xué)（理）2013.01一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．設(shè)集合，,,則（）A．B．C．D．2.若復(fù)數(shù),,則（）A．B．C．D．3．為平行四邊形的一條對(duì)角線，（）A．B．C．D．4.設(shè)是不同的直線，是不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則⊥D．若，則開始輸出開始輸出y輸入x否是結(jié)束則可輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．36．若從1,2,3,…,9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)

不同的數(shù)，其和為奇數(shù)，則不同的取法共有（）A．60種B．63種C．65種D．66種7．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是（）正（主）視圖側(cè)（左）視圖俯視圖223231A．B．C正（主）視圖側(cè)（左）視圖俯視圖2232318.在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，．給出如下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）．A．B．C．D．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．PABCO?D9．已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為，則；

若點(diǎn)，則的最大值為.PABCO?D10．如右圖，從圓外一點(diǎn)引圓的割線和，過圓心，已知，則圓的半徑等于．11．在等比數(shù)列中，，則公比；．12．在中，若，則邊上的高等于．13．已知定點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．14.給出定義：若(其中為整數(shù))，則叫做離實(shí)數(shù)最近的整數(shù)，記作，即.在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題：①的定義域是，值域是；②點(diǎn)是的圖像的對(duì)稱中心，其中；③函數(shù)的最小正周期為；④函數(shù)在上是增函數(shù)．則上述命題中真命題的序號(hào)是．三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過程．15．（本小題共13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的定義域及最小正周期；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值．ABCDE圖1圖2A1BCDE16．（本小題共14分）如圖1，在Rt中，，．D、E分別是上的點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，ABCDE圖1圖2A1BCDE（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的長(zhǎng)度最小，并求出最小值．，即．…3分（Ⅱ）令則↗最大值↘…6分，所以且，，，

即函數(shù)的圖像在直線的下方．…8分（Ⅲ）令，.

令，，

則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，的最大值為.所以若，則無(wú)零點(diǎn)；若有零點(diǎn)，則．………………10分若，，由（Ⅰ）知有且僅有一個(gè)零點(diǎn).若，單調(diào)遞增，由冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較，知有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（或：直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)）.若，解得，由函數(shù)的單調(diào)性得知在處取最大值，，由冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較知，當(dāng)充分大時(shí)，即在單調(diào)遞減區(qū)間有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；又因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增區(qū)間有且僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).…………13分19．（本小題共14分）（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，解得，故橢圓方程為．………4分（Ⅱ）將代入并整理得，解得．…7分（Ⅲ）設(shè)直線的斜率分別為和，只要證明．

設(shè)，，則．………………9分所以直線的斜率互為相反數(shù)．…14分20．（本小題共13分）（Ⅰ）顯然對(duì)任意正整數(shù)都成立，即是三角形數(shù)列。因?yàn)椋@然有，由得解得.所以當(dāng)時(shí)，是數(shù)列的保三角形函數(shù).………………3分（Ⅱ）由，得，兩式相減得，所以…5分經(jīng)檢驗(yàn)，此通項(xiàng)公式滿足.顯然,因?yàn)?所以是三角形數(shù)列.…8分（Ⅲ）,所以單調(diào)遞減.由題意知，=1\*GB