2018屆人教A版 解析幾何 單元測試

第九章解析幾何

直直線的傾斜角、斜率與直線的方程

直線的傾斜角與

122

斜率

1.（2015廣西玉林、貴港4月模擬，文10,直線的傾斜角與斜率，選擇題）設(shè)F為拋物線y2=5x的

焦點產(chǎn)是拋物線上x軸上方的一點，若/PF/=3,則直線PF的斜率為（）

A.3<3B.vloC.y35D.2v10

解析:F為拋物線/=5x的焦點0,0）,

設(shè)P點坐標為（x,y）,y>0.

根據(jù)拋物線定義可知x+=3,解得x=，代入拋物線方程求得y=手.

Js

直線PF的斜率為告，=<35.

答案:C

2.（2015廣西柳州一模，文12,直線的傾斜角與斜率，選擇題）過點（\吃0）引直線/與曲線片、i.-x2

相交于A,B兩點,0為坐標原點，當△ABO的面積取得最大值時，直線/的斜率等于（）

A.—B.~C.±—D.-I

333V、

解析:由y=11-x2/^x2-^y2=l（y^O）.

所以曲線廠口-廣表示單位圓在x軸上方的部分（含與X軸的交點），

設(shè)直線/的斜率為k,要保證直線/與曲線有兩個交點，且直線不與x軸重合，

則直線/的方程為y-O=k（x-、②，即kx-y-寸2k=0.

則原點。到/的距離”二至，/被半圓截得的半弦長為

_i-2＜；-1：；-6?4I~；

—''一,~?7??-Z?

、（k+1廣、la.+l）卜?+1

2

令7^—=t，則5A^BO=*-4t+6t?2=+,當t=f

即」一=2時,5△八80有最大值為.

M+14

此時由日=當解得k=E

43

答案:B

15.（2015江西重點中學協(xié)作體二模，文15,直線的傾斜角與斜率，填空題）設(shè)直線x-2y+l=0的傾

斜角為a,則cos2a+sin2a的值為.

解析：:,直線x-2y+l=0的傾斜角為a,?：tana=.

.2.-cos*a+2sinacosa

..cosa+sin2a=---------；—

smia+cos-a

_1-H2tana_1+巳」_S

-tan^+l=gj^；=I'

答案：

15.（2015江西上饒一模，文15,直線的傾斜角與斜率，填空題）過雙曲線三-三1（。>06>0）右焦

點的直線m,其方向向量u=（b,°）,若原點到直線m的距離等于右焦點到該雙曲線的一條漸近線

距離的2倍,則直線m的斜率為.

解析:雙曲線？-77=1的右焦點F（c,0）,

b

一條漸近線方程為y=x,

則F到漸近線的距離為d=bc'-b,

y!a^+b~

直線m:y=（x-c）,

原點到直線m的距離為一=a,

、％2+&-

由題意可得a=2b,則直線m的斜率為=2.

答案：2

9.（2015甘肅嘉峪關(guān)一中三模，文9,直線的傾斜角與斜率，選擇題）過點的直線/與圓

x2+/=l有公共點,則直線/的傾斜角的取值范圍是（）

A（。目B；喝C.[0用叫0周

解析油題意可得點在圓x2+y2=l的外部，故要求的直線的斜率一定存在，設(shè)為k,則直

線方程為y+l=k(x+\；3),即kx-y+v3/c-l=0.

根據(jù)直線和圓有交點、圓心到直線的距離小于或等于半徑可得上”至1W1,

、/-1

即3k2-2、,縱+172+1,解得OWkWVJ,

故直線/的傾斜角的取值范圍是［o：子.

答案:D

10.(2015甘肅蘭州一中三模，文10,直線的傾斜角與斜率，選擇題)P是雙曲線右支(在第

一象限內(nèi))上的任意一點AA分別是左右頂點,。是坐標原點，直線PA、PO,PAz的斜率分別為

ki,k3k3,則斜率之積hk2k3的取值范圍是()

A.(O,1)B.0()C.(O,i)D,0［)

解析:設(shè)點P(x,y)(x>0,y>0),

由題意知A(?2,0)A(2,0),直線叫,PO,%的斜率分別為k、,k水3,

故k1k2k3=三.￡.七=三==

x+2xx-2x.x--4)x4y-

1y1,11

4x428

答案:B

5.(2015吉林長春實臉中學三模，文5,直線的傾斜角與斜率，選擇題)直線xsina+y+2=0的傾斜角

的取值范圍是

A.［O,n)B.［0用

q得D［。用仆)

解析:直線xsina+y+2=0的斜率為k=-sina,

.：傾斜角的取值范圍是［o,3U［加)

答案:B

直線的

123

方程

1.(2015廣西柳州一模，文21,直線的方程，解答題)已知橢圓E+二=1的一個焦點為尸(2,0),且離

心率為11.

3

⑴求橢圓方程；

⑵斜率為k的直線/過點F,且與橢圓交于AfB兩點,為直線x=3上的一點，若AABP為等邊三

角形，求直線/的方程.

72W

解乂1)二橢圓二+二=1的一個焦點為F(2,0),且離心率為*.

Q-b-3

.公2，：=*2=叱,解得小6,限2.

?：橢圓方程為2—F—=1.

62

(2)直線/的方程為y=k(x-2).

y=k(x-2)：

聯(lián)立方程組二？消去y并整理,

二+J=1

62'

得(B/MM-IZ/X+IZ/GO.

設(shè)4X171),8(X2,力).

,,121

故3R■，XiX2=-'—.

/3^-1

:

則/AB/=『1+k/xrx2/

=1(1+k2)[(Xi+X)2-^XX\

、2Z2

3fc2+l

設(shè)AB的中點為M(xOfyQ).

h4D62二2k

可傳x=-^—,%二-丁—?

Q3M+13k-+l

直線MP的斜率為■，又Xp=3,

所以IMPI='1+上，IXo-xpl

\k

1之13(=；+1)

(33+I)?

當4ABp為正三角舫時JMPI==IABI,

I

?113［八1)_<3

S?：31+1)―2?3^+1'

解得k=±l.

.:直線/的方程為x-y-2=O,或x+y-2=O.

20.(2015吉林三模，文20,直線的方程，解答題)已知橢圓C:=+2=：l(a>b>0)的左、右焦點分別

a-b~

為Fi(-1,O),F(1,O),過&的直線/與橢圓C相交于A,B兩點，且AABF2的周長為4、；2

⑴求橢圓C的方程；

⑵過點(4,0)作與直線/平行的直線m,且直線m與拋物線/=4x交于P,Q兩點，若A,P在x軸上

方，直線PA與直線QB相交于x軸上一點M,求直線/的方程.

解:⑴依題意,4(7=4、？,。2萬=1.

所以a=、吃b=l.

故橢圓C的方程為三+y2=i.

⑵設(shè)A(XLyj3(X2,y2),P(X3,y3),Q(X4M),PQ與X軸的交點記為點N,

直線/的方程為x=ty-l,直線m的方程為x=ty+4.

依題意得也=2=也，

PNMNQN

則21=21,可得工=與令工=^=A(A<0),

方必>2兄力

x=ty-L

由、二消去X,得仔+2)尸?2廿1=0,

(v+y2=i：

(%+y2=-^―,

則，一-「一’把yi=Ay2代入整理，得

回”=.工？

竺，-曠.①

A5+2

2

由廠.=7+4,消去(得y-4ty-16=0,

(產(chǎn)=4x?

則『+"二『把生=加代入,整理得上豆=-*.②

^'3)4=-16,，.

由①②消去兒得受解得t=0或t=±遂.

故直線/的方程為x=-l或x-、2y+l=0或x+yTy+l=O.

15.(2015江西上饒重點中學二模，文15,直線的方程，填空題)過點P(3,-l)引直線，使點

42,-3),8(4,5倒它的距離相等,則這條直線的方程為.

解析:由題意，所求直線有兩條，其中一條是經(jīng)過點P且與AB平行的直線;另一條是經(jīng)過P與AB

中點C的直線.

:2(2,-3),8(4,5),

.'.AB的斜率k=H=4

4-2

可得經(jīng)過點P且與AB平行的直線方程為y+l=4(x-3),

化簡得4x-y-13=0.

VAB中點為C(3,l),

.：經(jīng)過P.C的直線方程為x=3.

綜上，所求直線的方程為4x-y-13=0或x=3.

答案：4x-y-13=0或x=3

7.(2015甘肅嘉峪關(guān)一中三模，文7,直線的方程，選擇題)若P(2,l)為圓佯1曰+/=25的弦A8的中

點,則直線48的方程為()

A,x+y-1=0B.2x-y-5=0

C.2x+y=0D.x+y-3=0

解析:圓(x-1尸+犬=25的圓心為(1,0),直線A8的斜率等于卷=；,由點斜式得到直線AB的方程為

2^1

y?l=-(x?2),即x+y-3=0.

答案：D

甌點與直線、兩條直線的位置關(guān)系

兩條直線的平行

與垂直

6.（2015甘肅嘉峪關(guān)一中三模，文6,兩條直線的平行與垂直，選擇題）已知*0,直線

ax+（b+2）y+4=0與直線ax+（b-2）y-3=0互相垂直，則ab的最大值等于（）

D.V'I

解析:若b=2,兩直線方程分別為y=-x-l和x=，此時兩直線相交但不垂直.

若b=-2,兩直線方程分別為x=-和y=x-,此時兩直線相交但不垂直.

所以當bw±2時,兩直線方程分別為y=-T~—x--二和y=--=x+--,

b+2b+2b-26-2

此時兩直線的斜率分別為洋—,

因為a2+b2=4^2ab,

所以abW2,即ab的最大值等于2,當且僅當a=b=、；2時取等號.

答案:B

4.（2015黑龍江綏化一模，文4,兩條直線的平行與垂直，選擇題）設(shè)a,b,c分別是AABC中NA,/

B,ZC所對邊的邊長，則直線sinAx-ay-c=0與bx+sinB-y+sinC=0的位置關(guān)系是（）

A.平行B.重合

C.垂直D.相交但不垂直

解析:a,b,c分別是AABC中/A,NB,NC所對邊的邊長，

則直線sinA-x-ay-c=0的斜率為史二

Q

bx+sin8?y+sinC=0的斜率為二^

asinB2RsinA

，兩條直線垂直.

答案:C

叵圓的方程

14.（2015江西上饒二模，文14,求圓的方程，填空題似拋物線,=20x的焦點為圓心，且與雙曲線

的兩條漸近線都相切的圓的方程為

169---------------------

解析:拋物線y2=20x的焦點坐標為(5,0),雙曲線二一三=1的兩條漸近線方程為3x土4y=0.

169

由題意,r=，3,則所求圓的方程為(x-5)2+y2=9.

5

答案依5尸+尸=9

20.(2015甘肅蘭州一中三模，文20,求圓的方程，解答題)已知OC過點P(l,l),且與

G)/W:(x+2產(chǎn)+僅+2產(chǎn)=/(「>0)關(guān)于直線x+y+2-O對稱.

⑴求。C的方程.

(2)過點P作兩條相異直線分別與OC相交于A,B,且直線PA和直線PB的傾斜角互補,。為坐標

原點，試判斷直線OP和AB是否平行?請說明理由.

(乎+￡+2=0.g_0

⑴解:設(shè)圓心C(a,b),則,22解得+

1出=1，1&=°：

則圓C的方程為x2+y2,2,將點P的坐標代入得，=2,

故圓C的方程為X2+/=2.

(2)解：由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)

PA'.y-l=k(x-l),PB:y-l=-k(x-l),^LkrO,

由卜-1=可六1)，得(i+k2*-2k(k-l)x+k2-2k-l=0,

(%2+=2

Sy

:?點P的橫坐標x=l一定是該方程的解,故可得XAX2當，

1+k

同理所上卓，

，kAB=^Li=

=2-￡)=1=%,

XS-XA

.：直線A8和OP一定平行.

20.(2015黑龍江哈爾濱六中四模，文20,求圓的方程，解答題)過拋物線(7義=4)/對稱軸上任一點

POm)(m>0)作直線/與拋物線交于A,B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點.

⑴當直線/方程為x-2y+12=0時，過A,B兩點的圓M與拋物線在點A處有共同的切線，求圓M

的方里

⑵設(shè)?=A甌證明:而，(QA-AQB).

⑴解:由卜0'+12=。,得點A,8的坐標分別是(6,9),(-4,4),

(獷=4y,

則AB的中點為(I.),斜率為卜=三=1

故AB的垂直平分線方程為4x+2y-17=0.

由x2=4y得y=x2,y，=x,所以拋物線在點A處的切線斜率為3.

設(shè)圓M的方程為(x-a『+(y一02=/,

h-9i

則a-631

,4a+26-17=0,

解得a=-力與/=字.

所以圓M的方程為(無+：)+(y~~r*=-7-.

⑵證明:設(shè)48方程為y=kx+m,A,B兩點的坐標分別是的.),,2,力),

代入拋物線方程/二例,得x2.4kx?4m=0,Xi+X2=-4k,XiX2=?4m.

由N=/l兩得A=￡,又點Q(O,-m),從而而=(0,2m),

Q.-WQB=(Xi-Ax2,yi~Ay2^(^--A)m),

所以QP,(Qrl-AQ5)=2m[yi』y2+(lJ)m]

=2m(”X2卜宇j，

4x2

所以而J_(1力I而).___________________

與圓有關(guān)的軌跡

129

問題

6.(2015山西朔州懷仁一中一模，文6,與圓有關(guān)的軌跡問題，選擇題)若APAB是圓

C(x-2存(六2產(chǎn)=4的內(nèi)接三角形，且%=P8,/APB=120°,則線段A8的中點的軌跡方程為()

A.(x-2)2+(y-2)2=lB.(x-2產(chǎn)+(y-2產(chǎn)=2

C.(x-2)2+(y-2)2=3D.x2+y2=l

解析:設(shè)線段AB的中點為。，則

由題意,*PB,NAPB=120°,.：Z4CS=120°.

:以=2,.：8=1,

.：線段A8的中點的軌跡是以C為圓心,1為半徑的圓，

故線段AB的中點的軌跡方程是(x-2產(chǎn)+(y⑵2=1.

答案:A

與圓有關(guān)的最值

130

問題

14.(2015江西上饒三模,文14,與圓有關(guān)的最值問題，填空題)設(shè)GR,若直線/:mx+ny-l=0與x

軸相交于點A,與y軸相交于點8,且/與圓八/=4相交所得弦的長為2,0為坐標原點，則mn

的最大值為.

解析:由圓八/=4的方程，得到圓心坐標為(0,0),半徑r=2,

:‘直線/與圓X2+/=4相交所得弦CD=2,

.：圓心到直線/的距離如=V3.

.：圓心到直線l:mx+ny-l=0的距離d=——：一：=丫區(qū)整理得m2+n2=.

v'm-

令直線/解析式中y=0,解得x=Z,

m

.W。),即OAJ.

令x=0,解得y=-,.,.B0.口,即08=工.

n\,?/n

:力？+"2》2/切0/,當且僅當/m/=/n/時取等號，

又XAOB為直角三角形，

?"-SMBC=OAOB=—^—>——廣3,當且僅當/0?/=/。/2=時取等號，故mn的最大值為.

2rmnmE-二-r一nK--

答案：

15.(2015山西太原山大附中高三月考，文15,與圓有關(guān)的最值問題，填空題)圓x2+y2+2x-4y+l=0

關(guān)于直線2ax-by+2=0(a,bWR)對稱，則ab的取值范圍是.

解析:把圓的方程化為標準方程，得(x+1產(chǎn)+(六2產(chǎn)=4,

.：圓心坐標為(-1,2),半徑r=2,

根據(jù)題意,可知圓心在已知直線2ax-by+2=0上，

把圓心坐標代入直線方程，得-2a-2b+2=0,

即b=l-a期設(shè)m=ab=a(l-a)=-a2+a=-{

.：當。=時,m有最大值，最大值為，即ab的最大值為.

故ab的取值范圍是匚

答案小月

10.(2015江西三縣部分高中一模，文10,與圓有關(guān)的最值問題，選擇題)已知430),8(0,4),M是

圓Cf+y?一4x=0上一個動點，則△/VMB的面積的最小值為()

A.4B.5C.10D.15

解析:由x2-4x+y2=o,得(x-2尸+/=4,

，圓的圓心(2,0),半徑為2,

過圓心作AB所在直線的垂線,交圓于此時AAB/W的面積最小.

AO

直線AB的方程為4x-3y+12=0,MB/=5,

，圓心到直線A8的距離為立三一4.

.：4MAB的面積的最小值為X5X(4-2)=5.

答案:B

由直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置

關(guān)系

11.(2015黑龍江大慶一模，文11,直線與圓的位置關(guān)系，選擇題)直線y=kx+3與圓(x-3尸+伊2尸=4

相交于M.N兩點，若/M/V/22、弓則k的取值范圍是（）

A.]-]。[B.：-X:-JU[O,+-）

D

J3同-[-^°l

解析:圓心的坐標為（3,2）,且圓與x軸相切.

y\

4〉

01

當/MN/=2\"時,弦心距最大為1,

由點到直線距離公式得至咨W1,

（i+k：

解得ke[-\o'.故選A.

答案:A

5.（2015貴州貴陽一模，文5,直線與圓的位置關(guān)系，選擇題）對任意實數(shù)k,直線y=kx+l與圓

22

x+y=4的位置關(guān)系一定是（）

A.相離B.相切

C.相交且不過圓心D.相交且過圓心

解析:對任意的實數(shù)k,直線y=kx+l恒過點（0,1）,且斜率存在.

:'（O,：!）在圓x2+y2=4內(nèi)，

.：對任意的實數(shù)k,直線y=kx+l與圓x2+/=4的位置關(guān)系一定是相交但直線不過圓心.

答案:C

6.（2015江西南昌零模，文6,直線與圓的位置關(guān)系，選擇題）已知M（x0,yo）是圓*2+/=02外任意一

點,則直線xox+%y=a2與該圓的位置關(guān)系是（）

A.相切B相交

C.相離D.由點（Xo,y。）的位置決定

解析：：'點M（x（）,yo）是圓x，y2=a2g>0）外一點，

?:就+）廬/

2

圓心0到直線xox+yoy=a的距離為d=±m(xù)〈a（半徑），故直線和圓相交.

、國+城

答案:B

22

7.（2015江西宜春高安四校一模，文7,直線與圓的位置關(guān)系，選擇題）直線x+y+v2=0截圓x+y=4

所得劣弧所對圓心角為（）

A.-B.-C.—D.辿

6336

解析:設(shè)劣弧所對圓心角的一半為a,

因為圓到直線的距離為</=等1,半徑是2,

所以cosa=0.5,a=三故劣弧所對圓心角為n.

3

答案:c

3.(2015甘肅蘭州一中模擬，文3,直線與圓的位置關(guān)系，選擇題)如果直線ax+by=4與圓C:x2+y2=4

有兩個不同的交點,那么點(a,b)和圓C的位置關(guān)系是()

A.在圓外B.在圓上C.在圓內(nèi)D.不能確定

解析：：'直線ax+by=4與圓C:x2+y2=4有兩個不同的交點，

圓心(0,0)到直線ax+by-4=0的距離d=4<2.

、％2+廠

.：。2+/>4.故點(a,b)在圓C的外部.

答案:A

16.(2015甘肅嘉峪關(guān)一中三模，文16,直線與圓的位置關(guān)系，填空題)已知直線x+y+m=0與圓

x2+y2=2交于不同的兩點A,B,0是坐標原點,/①1+礪/》/君/，那么實數(shù)m的取值范圍

是.

解析：：'直線x+y+m=0與圓x2+y2=2交于相異兩點A,8,

.：。點到直線x+y+m=0的距離dV\：2

又+詬/》/樂/，由平行四邊形可知，夾角為鈍角的鄰邊所對的對角線比夾角為銳角

的鄰邊所對的對角線短，.:而先北的夾南為銳角.

:,直線x+y+m=0的斜率為-1,即直線與x的負半軸的夾角為45度，.：當而必北的夾角為

直角時，直線與圓交于(-\20),(0,-\⑵，此時原點與直線的距離為1,故d>l.

綜合可知lWd<\2

過原點作一直線與x+y+m=0垂直，即y=x,兩直線交點為(則如于/血/.

綜上,-2<m或Wm<2.

答案：(-2,-、②“、②2)

6.(2015甘肅蘭州一中三模，文6,直線與圓的位置關(guān)系，選擇題)直線ax+by-a=0與圓

x2+y2+2x-4=0的位置關(guān)系是()

A.相離B.相切

C.相交D.與a,b的取值有關(guān)

解析:直線即a(x-l)+by=0,過定點P(l,0),而點P在圓(x+1產(chǎn)+y?=5內(nèi),故直線與圓的位置關(guān)系是相

交.

答案:C

11.(2015黑龍江哈爾濱九中三模，文11,直線與圓的位置關(guān)系，選擇題)直線/i：y=x,/2：y=x+2與

OC:x2+y2-2mx-2ny=0的四個交點把。C分成的四條弧長相等，則m=()

A.0或1B.0或-1C.-lD.1

解析：：?直線/1〃/2,且/1,/2把。C分成的四條弧長相等，畫出圖形，如圖所示.

又OC可化為(x-m產(chǎn)+(六/?)2=療+。2,

當m=0,n=l時,圓心為(0,1),半徑r=l,

此時/i,4與。C的四個交點(0,0),(1,1),(0,2),(-1,1),把OC分成的四條弧長相等.

當m=-l,n=O時，圓心為(-1,0),半徑r=l,

此時/i,/2與。C的四個交點(0,0),(-1,1),(-2,0),卜1,-1),把OC分成的四條弧長也相等.

答案:B

6.(2015黑龍江哈爾濱三中四模，文6,直線與圓的位置關(guān)系，選擇題)直線/:8x-6y-3=0被圓

0:x2+y2-2x+a=0所截得弦的長度為、區(qū)則實數(shù)a的值是()

A.-lB.OC.lD.1--

解析:圓O'.x2+y2-2x+a=0,

即(x-l)2+y2+a=l-a,

圓心(1,0),半徑為'1-a

又弦心距公上絲==三

V64+362

?:士+彳-；=求得Q=o.

答案:B

16.(2015吉林實驗中學六模，文16,直線與圓的位置關(guān)系，填空題)在平面直角坐標系xOy中，設(shè)

直線y=-x+2與圓x2+y2=r2交于A,B兩點,。為坐標原點，若圓上一點C滿足五=三孤+三赤,

44

則r=__________.

解析:由磐爐，/溫/=/礪/=/文/=r,

設(shè)<。兒[0,n].

.，r

則0』OB=IOAIlOBIcosi?=rcos0.

:正二際+3麗

44

兩邊同時平方可得，玩2=登萬薩+二赤二+^■瓦?赤，

16168

即?=—?+—/^^COSHx二

16168

?：COS1?=-.

2

：cosI?=2COS-1,?e[o：7,

?:cos>0.Zcos=—.

25

設(shè)圓心。到直線x+y-2=0的距離為d,則d=rcos：=桂=即9r二、吃「r-TU.

答案:、；TU

17.(2015黑龍江綏化一模，文17,直線與圓的位置關(guān)系，解答題)已知圓C的圓心C在第一象限,

且在直線3x-y=0上,該圓與x軸相切，且被直線x-y=0截得的弦長為2、7直線kkx-y-2k+5=0與

圓C相交.

⑴求圓C的標準方程；

(2)求出直線/所過的定點;當直線/被圓所截得的弦長最短時,求直線/的方程及最短的弦長.

解:⑴設(shè)圓心為(a,b)(a>0力>0),半徑為r,

則b=3a,則r=3a,圓心至I直線x-y=O的距離?=」'"==

22

S,l+1

:?圓被直線x-y=O截得的弦長為2V7,

?：(、3尸+(⑺2=(34,

即。2=1,解得Q=1,則圓心為(1,3),半徑為3,

則圓C的標準方程％1存(六3產(chǎn)=9.

(2)由kx-y-2k+5=0得y=k(x-2)+5,

則直線/過定點M(2,5).

要使弦長最短，則滿足CMJJ,

則直線/方程為x+2y-12=0,/CM/=V5,則最短的弦長為29-(、野/=2、手4

圓與圓的位置

132

關(guān)系

8.(2015山西太原二模，文8,圓與圓的位置關(guān)系，選擇題)已知點4-1Q),8(1,0),若圓

(x-2尸+y2=/上存在點p,使得/APB=90°,則實數(shù)r的取值范圍為()

A.(l,3)B.[l,3]C.(l,2]D.[2,3]

解析:根據(jù)直徑對的圓周角為90°,結(jié)合題意可得以AB為直徑的圓和圓(x-2產(chǎn)+/=，有交點，

檢驗兩圓相切時不滿足條件，故兩圓相交.

而以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=i,圓心距為2,

所以"解得l<r<3.

答案:A

圓的切線與弦長

133

問題

2.(2015廣西玉林、貴港4月模擬，文16,圓的切線與弦長問題，填空題)已知A為射線x+y=0(x<0)

上的動點,B為x軸正半軸上的動點,若直線AB與圓x2+y2^l相切，則俏B/的最小值

為?

解析:設(shè)切點為(m,c),則切線方程為mx+ny=l,

；A為射線x+y=0(x<0)上的動點,8為x軸正半軸上的動點，

,:〃8/2=(熹謂)+(±)

.".IABI=--—.

m(ti-fn)

i殳m=cosatn=s\na.a€:二：則

12

寺sin2a土華^V2sinl2ct-^1-1,

一(討)，」2牛(冷)

?：/AB/23=2、矛2,

v2-l

即/A8/的最小值為2V2+2.

答案：2、；二+2

3.(2015甘肅張掖4月模擬，文9,圓的切線與弦長問題，選擇題)直線六l=k(x-3)被圓

佯2『+儼2)2=4所截得的最短弦長等于()

A.vlB.2V'3C.2、：2DA,5

解析:圓的方程為圓(x-2『+(y-2)2=4,圓心C(2,2),半徑為2.

直線y-l=k(x-3),所以此直線恒過定點(3,1),

當圓被直線截得的弦最短時，圓心C(2,2)與定點P(3,l)的連線垂直于弦，

弦心距為'(2-3):+(2-1)2=y1l.

故所截得的最短弦長2匕乜、②；=2、吃

答案:C

14.(2015吉林三模，文14,圓的切線與弦長問題，填空題)圓心在原點且與直線x+y-4=0相切的圓

的方程為.

解析:設(shè)圓的方程為/+，=/,圓心為(0,0),半徑為r,

由直線和圓相切的條件d=r,可得d=°:『2詼=r,即有圓的方程為x2+y2=8.

答案：/+/=8

11.(2015江西紅色六校二模，文11,圓的切線與弦長問題，選擇題)在x軸,y軸上截距相等且與圓

(x+2、②2+(%3、②2=1相切的直線/共有(僚.

A.2B.3C.4D.6

解析:圓的圓心(-2、吃，半徑是1,原點在圓夕卜，與圓(x+2、⑵2+(%3、②2=1相切,且在兩坐標軸

上棧距相等的直線中過原點的直線有兩條;斜率為-1的直線也有兩條.故所求直線共有4條.

答案:C

11.(2015廣西防城港、桂林一模，文11,圓的切線與弦長問題，選擇題)若直線kx+y+4=0上存在

22

點P,過點P作圓x+y-2y=0的切線，切點為Q,若/PQ/=2,則實數(shù)k的取值范圍是()

A.[-2,2]B.[2,+8)

C.(-8,-2]U[2,+8)D.(-°o,-l]U口,+8)

解析:圓C:x2+y2-2y=0的圓心(0,1),半徑是r=l,

由題意,PQ是圓C.x2+y2-2y=O的一條切線,Q是切點,PQ長度最小值為2,

.:圓心到直線的距離PC最小，最小值為\5.

.：由點到直線的距離公式可得，工M\耳

.：kW-2或k22.

答案:C

9.5橢圓

橢圓的定義及標

準方程

1.(2015廣西玉林、貴港4月模擬，文20,橢圓的定義及標準方程，解答題)已知一橢圓中心在坐

標原點，左右焦點在x軸上，若其左焦點F/c,0)(c>0)到圓C:(x-2)2+(y-4)2=l上任意一點距離的最

22

小值為4,且過橢圓右焦點F2(c,0)與上頂點的直線與圓O-.x+y=m.

⑴求橢圓E的方程；

⑵若直線l:y=-x+m與橢圓E交于A,B兩點，當以AB為直徑的圓與y軸相切時，求AFiAB的面積.

解乂1)設(shè)橢圓E為〉'+t=l(o>b>0),

焦點分別為Fi(-c,0),F2(c,0),則橢圓的右焦點到圓上任意一點的距離的最小值為

'(-C-2)2+42-1=4,又c>0,.：c=l.

過橢圓右焦點和上頂點的方程為臺臺1,即bx+y-b=Q.

由直線和圓。相切可得上==二，解得b=lt

\1一

?'?a2=b2+c2=2.

.：橢圓E的方程為三+y2=i.

Jr2-

(2)由~+廠=-可得3x?-4mx+2m2-2=0.

$=?％+m：

則4=(-4刀)2-12(2療-2)>0,即m2<3.

設(shè)A(Xl,yi),8(X2,V2),

n.i4m2m--2

則Xi+X2=—X1X2=-^—,

則AB的中點橫坐標為土式=—.

23

則以48為直徑的圓的半徑為r=lABl

*2,,<*2I

vA

二y/x「X2/二于|(人工+X2)-4X1X￡.

由條件可得mh+=|三斗

整理可得(X1+X2產(chǎn)=8X1X2,即(等)~=8.哈.

解得m=-—^—.

22

此時,/A8/=上+1)(與-Xi2

、

J6m24(2一?2)]2x6

\|2[------~\=~-

點Fi到直線AB的距離為"=匚？，

；.當m=1時,AFiAB的面積為S=lABj-d=4X4('1+-^；=§

當時,△F38的面積為S=TTx—r!=、嗔二一;

2.(2015廣西桂林、防城港聯(lián)合調(diào)研，文15,橢圓的定義及標準方程，填空題)已知橢圓g+匚=1

2516

的左右焦點分別為FltF2,P是橢圓上一點，且滿足〃尸2/=開擊/,那么aPFiF2的面積等

于.

解析橢圓匚+二=1的a=5,b=4,c='a2-b2=3,

2516、

在APg中,/P「2/=/FIF2/=2C=6,

由橢圓的定義可得/PFi/=2a-/PF2/=10-6=4,

貝"△PFFz的面積為x4x62-22=8&.

Y

答案：8在

3.(2015黑龍江大慶二模，文11,橢圓的定義及標準方程，選擇題)已知橢圓C:二+二=l(a>b>0)

a*b~

的左、右焦點分別為F/2,其中Fi(-2、50),P為C上一點，滿足/OP/=/OFj,且/PFJ=4,則橢圓C

的方程為()

解析:設(shè)橢圓的焦距為2c,連接PF%如圖所示.

由F(-2\15,0),得c=2x5,

又由/OP〃。6/=/OF2/知,PF】_LPF2,

在4PFg中,由勾股定理，

得IPFzl=F.FJ-PFj='(4V15)2-4:=8,

由橢圓定義，得/PFJ+/PF2/=2G=4+8=12,從而。=6,得a2=36,

于是b2=a2-c2=36-(2\5)2=16,

所以橢圓的方程為二+二1.

3616

答案:C

?)?)

4.(2015江西贛州一模，文20,橢圓的定義及標準方程，解答題)已知橢圓E點+三l(a>b>0)的焦

距為2.A是E的右頂點,P,Q是E上關(guān)于原點對稱的兩點,且直線PA的斜率與直線QA的斜率

之積為

⑴求E的方程；

(2)過E的右焦點作直線/與E交于/W,/V兩點，直線MA,A/A與直線x=3分別交于C,D兩點，記MCD

與4AMN的面積分別為SiS,且外52="，求直線/的方程.

7

解:⑴根據(jù)題意，設(shè)P(xo,%),Q(-Xo,-y0),

,j

則)g=二(/-施冰外也吐亍^.、二Q

xj-a2Q2,

5

依題意有-、=-,

a-

又c=l,所以a2=4,b2=3,

故橢圓E的方程為二十匚=1.

43

(2)設(shè)直線MN的方程為x=my+1,代入E的方程得(3療+4)產(chǎn)+6/7)匕9=0,

設(shè)M(Xi,yi),N(X2/2),

由韋達定理知力.力二二可?一，力力=')

又直線MA的方程為，=三%2),將x=3代入,

得yc=~+—1,'同理YD=-

XI-2my1-l;

所以/皿%如/二況晨；鼠)+產(chǎn)標中,

g----------

所以s^/CD^-xm2+1,

S=IAFI-/yi-y,

223著L-r??

??cc18?rt3,-~~~:■-T.6Vm-+118

?5「52『即「公+"后7=亍

=即m=±l,

6m」+8

.：直線MN的方程為x=土y+1,即x±y=l.

14.(2015江西紅色六校一模，文14,橢圓的定義及標準方程，填空題)已知橢圓C:二■+匚=1,點M

2516

與C的焦點不重合，若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A,8,線段MN的中點在C上，則

IAN/+IBNI=

解析:如圖,設(shè)線段MN的中點為D,

連接DFLDFZ,則DFLDFZ分別是△AMNABMN的中位線，

則IANI+1BNI=21DFiI+21DFzl=2(1DFJ+1DF21)=2x2a=4x5=20.

答案：20

20.(2015廣西梧州一模，文20,橢圓的定義及標準方程，解答題)已知橢圓C:二+二=l(a>b>O),A,B

a，

分別是橢圓的長軸和短軸的端點,且原點到直線AB的距離為苫、丐b.

5

⑴求橢圓C的離心率；

⑵直線/與圓。1+，2=反相切，并且被橢圓C截得的弦長的最大值為2,求橢圓C的標準方程.

解◎)不妨設(shè)橢圓C的右頂點為A,上頂點為B,

則直線AB的方程為3+3=1,即bx+ay-ab=0,

a0

依題意，原點O到直線48的距離d=^=

=言化簡,得/=*結(jié)合心心g=3

即離心率e=—.

⑵設(shè)直線/與橢圓C交于P(xi/yi),Q(x2zy2).

(i)當直線/的斜率存在時，設(shè)l:y=kx+m,

聯(lián)立乂2+9=尻消去％整理，

^(l-f-k2)x2+2kmx+m2-b2=0.

2222

由于直線/與圓。相切，所以&=(2km產(chǎn)-4(1+公)(療42)=0,得m-b=kb.

y=kx

由X2上/消去力整理,

\"一土二一:

得(l+4k2)x2+8kmx+4m2-相=0,

由韋達定理，得-

1+4^

2222

且ZJ2=(8/cm)-4(l+4k)(4m-4b)>0/

從而/PQl=xk2+1?、I(x-+小『一

，(廿X壽

1

c,4164k2h2-l^m2-b2)

=\K，+1?--------------1~~4

1-T-

結(jié)合m2-/=k2b2,整理,

得圖/會借資

3

Z+^^r+1

yl'(l+4krl+4k~

又設(shè)一二y=t,易知,kxO,