湖南省婁底市溪口中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

湖南省婁底市溪口中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下面使用類比推理正確的是

（

）

A．“若a·3=b·3，則a=b”類推出“若a·0=b·0，則a=b”

B．“若（a+b）c=ac+bc”類推出“（a·b）c=ac·bc”

C．“若（a+b）c=ac+bc”類推出“”

D．“”類推出“”參考答案：C2.已知a>l，則使成立的一個(gè)充分不必要條件是（

） A．

B．C．

D．參考答案：A略3.通項(xiàng)公式為的數(shù)列的前項(xiàng)和為,則項(xiàng)數(shù)為

A．7

B．8

C．

9

D．10參考答案：C4.函數(shù)在區(qū)間上的圖像如圖所示，則、的值可能是（

）A．，B．，C．，D．，參考答案：B5.下列說(shuō)法正確的是（）A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為：“若x2＝1，則x≠1”B．已知y＝f（x）是R上的可導(dǎo)函數(shù)，則“f′（x0）＝0”是“x0是函數(shù)y＝f（x）的極值點(diǎn)”的必要不充分條件C．命題“存在x0∈R，使得x＋x0＋1<0”的否定是：“對(duì)任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”D．命題“角α的終邊在第一象限，則α是銳角”的逆否命題為真命題參考答案：B6.在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面積，則邊BC的長(zhǎng)為(

)A． B．3 C． D．7參考答案：A【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【專題】計(jì)算題．【分析】由△ABC的面積，求出AC=1，由余弦定理可得BC=，計(jì)算可得答案．【解答】解：∵=sin60°=，∴AC=1，△ABC中，由余弦定理可得BC==，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的面積公式，余弦定理的應(yīng)用，求出AC=1，是解題的關(guān)鍵．7.已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則實(shí)數(shù)a的取值為（

）A.－3 B.－4 C.4 D.3參考答案：A【分析】由切線的斜率為，得出，于此可計(jì)算出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，，由題意可知，切線的斜率為，則，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用切線與函數(shù)圖象相切，對(duì)于這類問(wèn)題的求解，要抓住以下兩點(diǎn)：（1）切線的斜率等于導(dǎo)數(shù)值；（2）切點(diǎn)為切線和函數(shù)圖象的公共點(diǎn).8.已知集合，，現(xiàn)有下面四個(gè)結(jié)論①A∩B={3}；②；③A∪B={2}∪[3,+∞)；④A的真子集的個(gè)數(shù)為3.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：D9.已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是()A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3參考答案：A略10.在如圖所示的“莖葉圖”表示的數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．23與26 B．31與26 C．24與30 D．26與30參考答案：B【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；莖葉圖．【分析】由莖葉圖寫出所有的數(shù)據(jù)從小到大排起，找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)即為眾數(shù)；找出中間的數(shù)即為中位數(shù)．【解答】解：由莖葉圖得到所有的數(shù)據(jù)從小到大排為：12，14，20，23，25，26，30，31，31，41，42∴眾數(shù)和中位數(shù)分別為31，26故選B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若角α，β滿足－＜α＜β＜，則2α－β的取值范圍是________．參考答案：12.，則含有五個(gè)元素，且其中至少有兩個(gè)偶數(shù)的子集個(gè)數(shù)為_(kāi)____.參考答案：

解析：直接法：分三類，在個(gè)偶數(shù)中分別選個(gè)，個(gè)，個(gè)偶數(shù)，其余選奇數(shù)，

；間接法：13.若曲線與直線始終有交點(diǎn)，則的取值范圍是___________；若有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是________；若有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是_______；參考答案：,；曲線代表半圓14.已知橢圓和圓,若上存在點(diǎn),使得過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,滿足,則橢圓的離心率取值范圍是

參考答案：15.已知拋物線,定點(diǎn)A(12,39),點(diǎn)P是此拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),F是該拋物線的焦點(diǎn),求|PA|+|PF|的最小值

．參考答案：40將x=12代入x2=4y,得y=36<39.所以點(diǎn)A(12,39)在拋物線內(nèi)部,拋物線的焦點(diǎn)為(0,1),準(zhǔn)線l為y=-1.過(guò)P作PB⊥l于點(diǎn)B,則|PA|+|PF|=|PA|+|PB|,由圖可知,當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線時(shí),|PA|+|PB|最小.所以|PA|+|PB|的最小值為|AB|=39+1=40.故|PA|+|PF|的最小值為40.16.一份試卷有10個(gè)題目，分為兩組，每組5題，要求考生選擇6題，且每組至多選擇4題，則考生有

種不同的選答方法．參考答案：200略17.為了了解高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，抽取了某班60名學(xué)生，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出其頻率分布直方圖(如圖所示)，已知從左到右各長(zhǎng)方形高的比為2∶3∶5∶6∶3∶1，則該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?80,100)之間的學(xué)生人數(shù)是

．參考答案：

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略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)數(shù)列滿足，．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．參考答案：(1）當(dāng)時(shí)，

．

對(duì)于，，也適合上式．

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2），

，得，

所以．略19.為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表達(dá)式．（Ⅱ）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）達(dá)到最小，并求最小值．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】應(yīng)用題．【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．我們可得C（0）=8，得k=40，進(jìn)而得到．建造費(fèi)用為C1（x）=6x，則根據(jù)隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f（x），我們不難得到f（x）的表達(dá)式．（II）由（1）中所求的f（x）的表達(dá)式，我們利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性易求出總費(fèi)用f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造費(fèi)用為C1（x）=6x，最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．當(dāng)0＜x＜5時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)5＜x＜10時(shí)，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為．當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬(wàn)元．【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過(guò)析題→建模→解?！€原四個(gè)過(guò)程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問(wèn)題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（?。┗瘑?wèn)題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（?。┦亲顑?yōu)化問(wèn)題中，最常見(jiàn)的思路之一．20.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上．若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)、的距離之和等于4．（1）寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求直線的方程．參考答案：（1）橢圓C的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

…………3分

（2）MN斜率不為0，設(shè)MN方程為．

聯(lián)立橢圓方程：可得

…………4分記M、N縱坐標(biāo)分別為、，則

…………7分設(shè)則，該式在單調(diào)遞減，所以在，即時(shí)取最大值．

…………10分21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的、∈R，都滿足，若=1，.（1）求、、的值；（2）猜測(cè)數(shù)列通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.參考答案：（1）

----------------------3分

（2）由（1）可猜測(cè)：

=n?--------------------------5分下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右式=1??n=1時(shí)，命題成立。假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即：=k?，---------------------7分則n=k+1時(shí)，左邊=

--------------------------------------10分?n=k+1時(shí)，命題成立。

綜上可知：對(duì)任意n∈都有=n?。-----------------11分所以：=。-------------------------------------------12分22.（本小題滿分10分）一盒中裝有各色球12個(gè)，其中5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球、1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率．參考答案：解法1：(1)從12個(gè)球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9種不同取法，任取1球有12種取法．∴任取1球得紅球或黑球的概率為P1＝＝．………5分(2)從12只球中任取一球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法．從而得紅球或黑球或白球的概率為．………..10分解法2：(利用互斥事件求概率)記事件A1＝{任取1球?yàn)榧t球}，A2＝{任取一球?yàn)楹谇騷，A3＝{任取一球?yàn)榘浊騷，A4＝{任取一球?yàn)榫G球}，則P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝．根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝P(A1)