高中數(shù)學(xué)第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用4.1.2函數(shù)的極值講義北師大版選修

導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性f′(x)>0單調(diào)遞

f′(x)<0單調(diào)遞

f′(x)＝0常函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性有如下關(guān)系：答案增減函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞

f′(x)≥0單調(diào)遞

f′(x)≤0常函數(shù)f′(x)＝0(2)在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系：答案增減思考在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增是f′(x)>0的什么條件？答案必要不充分條件．知識(shí)點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟：(1)確定定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的極值(1)極大值：在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都不大于x0點(diǎn)的函數(shù)值，稱(chēng)點(diǎn)x0為函數(shù)y＝f(x)的

，其函數(shù)值

為函數(shù)的極大值.(2)極小值：在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都

x0點(diǎn)的函數(shù)值，稱(chēng)點(diǎn)

為函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值.(3)

統(tǒng)稱(chēng)為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為

.答案極大值點(diǎn)思考極大值一定大于極小值嗎？答案不一定.f(x0)不小于x0極大值與極小值極值點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系如果x0是函數(shù)的極值點(diǎn)，那么

.反之不成立。即

是“是函數(shù)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件。知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)y＝f(x)的極值的判斷方法解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)：(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是

.(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是

.極大值極小值例1求函數(shù)的極值。合作學(xué)習(xí)解：f(x)′=x2－4=(x+2)(x－2)令=0，解得x1=2，x2=－2下面分兩種情況討論：當(dāng)f(x)′>0，即x>2,或<-2時(shí)；當(dāng)f(x)′<0，即-2<x<2時(shí)。當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：-2(-2,2)2+0－0+單調(diào)遞增↗單調(diào)遞減↘單調(diào)遞增↗∴當(dāng)x=－2時(shí)，有極大值，并且極大值為=

當(dāng)x=2時(shí)，有極小值,并且極小值為=－。

函數(shù)的圖像如圖所示求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列成表格.（檢測(cè)f′(x)在方程根左右兩側(cè)的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值）.(4)根據(jù)表格寫(xiě)出結(jié)論反思與感悟

解析答案令f′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)與f