2022-2023學(xué)年陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．相等的線段在直觀圖中仍然相等B．相等的角在直觀圖中不一定相等C．平行的線段在直觀圖中仍然平行D．互相垂直的線段在直觀圖中不一定互相垂直【答案】A【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的作圖規(guī)則結(jié)合反例，判斷各選項(xiàng).【詳解】如圖：四邊形為正方形，由斜二測(cè)畫法可得其直觀圖如下：對(duì)于A，因?yàn)椋?，故相等的線段在直觀圖中仍然相等這種說法錯(cuò)誤，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，而故相等的角在直觀圖中不一定相等這種說法正確，B正確；對(duì)于C，由斜二測(cè)畫法性質(zhì)可得平行的線段在直觀圖中仍然平行，C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋淮怪?，所以互相垂直的線段在直觀圖中不一定互相垂直這種說法正確，D正確.故選：A.2．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則求復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再求其共軛復(fù)數(shù)即共軛復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，由此判斷該點(diǎn)的象限.【詳解】由，則，對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限．故選：B．3．如圖所示，長方體中，給出以下判斷，其中正確的是（

）A．直線與相交B．直線與是異面直線C．直線與有公共點(diǎn)D．【答案】D【分析】利用異面直線的定義可以判斷出A、C，利用平行四邊形的性質(zhì)可判斷出B、D.【詳解】對(duì)于A，面，面，且B不在AC上，根據(jù)異面直線的定義得，直線與是異面直線，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，四邊形為平行四邊形，，即直線與平行直線，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，面，面，，根據(jù)異面直線的定義得，直線與是異面直線，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，四邊形為平行四邊形，，故D選項(xiàng)正確；故選：D.4．以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若向量，則點(diǎn)與點(diǎn)不重合C．方向?yàn)闁|偏南的向量與北偏西的向量是共線向量D．若與是平行向量，則【答案】D【分析】利用向量共線的基本定理可判定A、C、D選項(xiàng)，利用向量相等的性質(zhì)可以判斷B選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，則，故A說法正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若向量，則兩向量的起點(diǎn)都是A，點(diǎn)與點(diǎn)不重合，故B說法正確；對(duì)于C選項(xiàng)，方向?yàn)闁|偏南的向量與北偏西的向量可知，兩個(gè)向量方向相反，是共線向量，故C說法正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若與是平行向量，則，兩向量的模長不一定相等，故D說法錯(cuò)誤；故選：D.5．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.6．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角．【詳解】因?yàn)?，所?0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．【點(diǎn)睛】對(duì)向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為．7．下列說法正確的是（

）A．多面體至少有個(gè)面B．有個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形【答案】D【分析】由多面體、棱臺(tái)、棱柱等幾何體的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對(duì)于A，多面體至少有個(gè)面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，有個(gè)面平行，其余各面都是梯形，但各側(cè)棱的延長線不能交于一點(diǎn)，則該幾何體不是棱臺(tái)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，各側(cè)面都是正方形的四棱柱，可以是底面為菱形的直棱柱，不一定是正方體，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由棱柱定義知，棱柱的各側(cè)棱平行且相等，故側(cè)面是平行四邊形，故選項(xiàng)D正確.故選：D．8．已知，以下說法中正確的是（

）A．的最小正周期為；B．在上單調(diào)遞增；C．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；D．的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到．【答案】B【分析】化簡函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及函數(shù)圖像變換法則即可判斷各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò)．【詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期為，A不正確；令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，B正確；因?yàn)?，，所以，C不正確；由于，將其向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，即函數(shù)的圖象，D不正確．故選：B．二、多選題9．已知向量，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示可判斷A；根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示可判斷B；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷C；根據(jù)向量模的計(jì)算可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，故與不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，，，所以，故D錯(cuò)誤，故選：ABD.10．已知點(diǎn)，直線，平面，下列命題中正確的是（）A．若直線與無公共點(diǎn)，則；B．若，，，則過點(diǎn)的平面有無數(shù)個(gè)；C．若直線，則可能是異面直線；D．若，則過直線的平面有且只有一個(gè).【答案】BCD【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系，判斷AC，根據(jù)平面基本事實(shí)判斷BD.【詳解】對(duì)于A，若直線與無公共點(diǎn)，直線與可能異面，故這種說法錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，則過點(diǎn)的平面有無數(shù)個(gè)這種說法正確；對(duì)于C，若直線，，則可能是異面直線這種說法正確；對(duì)于D，若，則過直線的平面有且只有一個(gè)這種說法正確.故選：BCD11．對(duì)于，有如下判斷，其中正確的判斷是（

）A．若，則B．若，則為等腰三角形C．若，，，則符合條件的有1個(gè)D．若，則是銳角三角形【答案】AC【分析】利用三角形內(nèi)角的性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)值可比較，即可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)三角函數(shù)值相等，角之間的關(guān)系，可判斷B選項(xiàng)，利用正弦定理及大邊對(duì)大角的性質(zhì)判斷C選項(xiàng)，利用正弦定理及余弦定理可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，由，得，則，所以；所以A正確.對(duì)于B：由，，，得或，則或，所以為等腰三角形或直角三角形；所以B錯(cuò)誤.對(duì)于C：由正弦定理得：因?yàn)?，所以，于?則符合條件的有一個(gè)；所以C正確.對(duì)于D：由，得，，，A、B無法判.所以D錯(cuò)誤.故選：AC12．已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理求解判斷作答.【詳解】在中，，由余弦定理得：，即，解得或，所以的值可能是1或2.故選：AD三、填空題13．若三個(gè)平面最少可將空間分為部分，最多可將空間分為部分，則的值為_________．【答案】4【分析】考查空間的基本辨析，利用身邊的空間圖形進(jìn)行分析即可.【詳解】當(dāng)三個(gè)平面都平行時(shí)，可將空間分成4部分，為最少；當(dāng)三個(gè)平面兩兩垂直時(shí)，可將空間分為8個(gè)部分，為最多，故，，，故答案為：4.四、雙空題14．若，滿足，，則的最大值為_______，最小值為______．【答案】73【分析】設(shè)，的夾角為，把平方后，由余弦函數(shù)性質(zhì)得最值．【詳解】設(shè)，的夾角為，當(dāng)，的最大值為7，當(dāng)，最小值為3．故答案為：7；3．五、填空題15．已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為，則圓臺(tái)的表面積為_________．【答案】.【分析】由條件列方程求出圓臺(tái)的母線長，結(jié)合側(cè)面積公式求圓臺(tái)的側(cè)面積，由此可求圓臺(tái)的表面積【詳解】圓臺(tái)的上底面圓半徑2，下底面圓半徑4，設(shè)圓臺(tái)的母線長為l，扇環(huán)所在的小圓的半徑為x，由題意可得：，解得，所以圓臺(tái)的側(cè)面積.所以圓臺(tái)的表面積.故答案為：.16．一艘船在處看到一個(gè)燈塔在北偏東方向，向東行駛后，船到達(dá)處，看到燈塔在北偏東方向，這時(shí)船與燈塔的距離為________．【答案】【分析】結(jié)合圖形，利用正弦定理求解即可.【詳解】如圖，根據(jù)題意可知，，，在中，由正弦定理得，即，解得.故答案為：.六、解答題17．當(dāng)實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是下列數(shù)？(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).【答案】(1)或(2)且(3)【分析】（1）令復(fù)數(shù)虛部等于0，即可求得答案；（2）令復(fù)數(shù)的虛部不等于0，即可求得答案；（3）根據(jù)純虛數(shù)的概念，令實(shí)部等于0，虛部不為0，即可求得答案.【詳解】（1）由題意復(fù)數(shù)，當(dāng)，即或時(shí)，所給復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù).（2）當(dāng)，即且時(shí)，所給復(fù)數(shù)是虛數(shù).（3）當(dāng)，即時(shí)，所給復(fù)數(shù)是純虛數(shù).18．（1）請(qǐng)你用文字語言和符號(hào)語言兩種形式敘述余弦定理；（2）請(qǐng)你用向量法證明余弦定理.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）考查余弦定理的證明，利用教材中的證明即可；（2）構(gòu)建三角形，利用向量的性質(zhì)證明即可.【詳解】（1）文字語言：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.

符號(hào)語言：

在△ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，則，，；（2）法一：在△ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，如圖設(shè)那么

，所以，同理得，；法二：已知△ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則，，即

同理可證，19．（1）若，求的值;（2）化簡：.【答案】（1）；（2）【分析】（1）弦化切后代入計(jì)算；（2）由兩角和與差的正弦、余弦公式結(jié)合商數(shù)關(guān)系化簡變形．【詳解】（1）

（2）原式20．已知三個(gè)點(diǎn)A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).(1)求證：AB⊥AD；(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)并求矩形ABCD兩條對(duì)角線所成的銳角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)，.【分析】（1）求出向量的坐標(biāo)，利用兩向量的數(shù)量積為，兩向量垂直即證出兩線垂直.（2）利用向量相等對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)相等求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出兩對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求出向量的夾角.【詳解】（1）證明∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，∴＝(1，1)，＝(－3，3).又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，即AB⊥AD.（2）∵⊥，四邊形ABCD為矩形，∴＝.設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，∴解得∴C點(diǎn)坐標(biāo)為.由于＝(－2，4)，＝(－4，2)，∴·＝8＋8＝16.又||＝2，||＝2，設(shè)與的夾角為θ，則＝＝，所以矩形ABCD的兩條對(duì)角線所成的銳角的余弦值為.21．如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，，，.（1）求角的大小；（2）若，求和.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）通過余弦定理即可解得答案；（2）先通過余弦定理求出AD，進(jìn)而通過正弦定理解得答案.【詳解】（1）在中，因?yàn)椋?，，所?因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，，所?在中，由余弦定理：，得.由正弦定理，解得：.22．已知向量（cosx，cosx），（cosx，sinx）．（1