高中數(shù)學-【課堂實錄】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域教學設計學情分析教材分析課后反思

§3.3.1二元一次不等式（組）與平面區(qū)域（一）教學設計【教學目標】1．知識與技能：了解二元一次不等式（組）產生的實際背景，會用平面區(qū)域表示二元一次不等式組的解集；2．過程與方法：初步經歷從實際情境中抽象出二元一次不等式組的過程，提高數(shù)學建模的能力，體驗類比、歸納等推理方式探究新知識，強化數(shù)形結合的意識；3．情感態(tài)度與價值觀：體會數(shù)學源于生活、用于生活的特點，激發(fā)學生的探索欲望，采用問題引導的探究模式，讓學生體驗思考并解決問題的愉快?！窘虒W重點】二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域?！窘虒W難點】二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的探究過程?！窘虒W過程】一、實例導入：1．從實際問題中抽象出二元一次不等式（組）的數(shù)學模型。一家銀行的信貸部計劃年初投入（不多于）2500萬元用于企業(yè)和個人貸款，希望這貸款可帶來（至少）3萬元的收益，其中從企業(yè)貸款中獲益12%，從個人貸款中獲益10%.那么，信貸部應如何分配資金呢？設企業(yè)貸款為x萬元，個人貸款為y萬元由已知得2．從中引出概念：二元一次不等式和二元一次不等式組及解集。（1）二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。（3）二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式（組）的有序實數(shù)對（x,y）構成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集。設計意圖：從實際問題中抽象出了二元一次不等式（組），讓學生體驗數(shù)學來源于生活，又用于生活的特點，激發(fā)學生的探索欲望。由文字語言轉化到符號語言，建立起二元一次不等式的概念，使學生經歷、體驗從實際問題中得到二元一次不等式（組）這一數(shù)學模型的抽象過程，從而引出今天要研究的對象。二、探究發(fā)現(xiàn)：問題1：二元一次不等式（組）的解集可以用什么圖形表示？二元一次不等式（組）的解集是由有序實數(shù)對組成的集合，而有序實數(shù)對是與平面直角坐標系內的點是一一對應的，所以二元一次不等式（組）的解集可以用平面直角坐標系內的一個區(qū)域來表示。問題2：二元一次不等式x-y<6的解集表示怎樣的平面區(qū)域？在平面直角坐標系內，x-y-6=0表示一條直線。滿足不等式的點一定在直線外。聯(lián)系舊知，先畫出直線，再取幾個滿足不等式的特殊點并在圖中標出位置，然后通過觀察、大膽猜想出：不等式表示的是直線一側的平面區(qū)域，最后給出嚴謹?shù)淖C明得出新知。思維引導明了清晰。引導學生發(fā)現(xiàn)結論：在平面直角坐標系中，二元一次不等式x-y<6表示直線x-y=6左上方的平面區(qū)域；二元一次不等式x-y>6表示直線x-y=6右下方的區(qū)域；直線x-y=6叫做這兩個區(qū)域的邊界，因為直線上的點不滿足不等式，所以邊界應畫成虛線。由特殊例子推廣到一般情況，可得結論：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側所有點組成的平面區(qū)域（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）。問題3：怎樣快速判斷二元一次不等式表示直線哪一側平面區(qū)域？特殊點檢驗形成新知：一般地，在平面直角坐標系中，二元一次不等式Ax+By+C≥(>)0表示直線Ax+By+C=0某一側所有點組成的平面區(qū)域，把直線畫成實(虛)線，以表示區(qū)域(不)包括邊界。通常在直線一側取某個特殊點（x0,y0），由Ax0+By0+C的符號判斷不等式表示的是直線哪一側的平面區(qū)域。設計意圖：本部分是本課的重點內容，做好以下幾點：一、設好問題的梯度，逐步引領學生探索問題，充分調動學生思維，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力；二、利用好課件對所有點進行分析，提升學生對二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的理解；三、留足夠的時間給學生思考，讓知識內化，深入理解。以問題串的形式充分發(fā)揮學生的自主性和作為教學主體的主動性,培養(yǎng)學生自己解決問題的能力。三、新知應用：例1．畫出不等式x+4y<4表示的平面區(qū)域。解：先畫直線x+4y-4=0，因為直線上的點不滿足不等式所以要畫成虛線.(教師板演，展示規(guī)范作圖步驟)取原點（0,0），代入代數(shù)式x+4y-4所得符號小于零，滿足不等式，所以原點在不等式表示的平面區(qū)域內，如陰影部分所示。教師規(guī)矩地板演，給學生以示范的作用。對于直線x+4y-4=0同一側的所有點(x,y)，把它的坐標（x,y)代入代數(shù)式x+4y-4，所得到數(shù)值的符號都相同。引導學生發(fā)現(xiàn)所以只需在此直線外任取一特殊點代入代數(shù)式x+4y-4，從它的正負即可判斷要找的平面區(qū)域是含該點的區(qū)域還是不含該點的區(qū)域。變式1、（1）y<-3x+12;(2)x<2y找兩個學生板書，教師點評、展示正確答案。完成例1后，緊跟變式讓學生動手操作，然后思考總結畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的一般方法和注意事項：(1)直線定界，注意虛實；(2)特殊點定域，當C≠0時，取原點作測試點，當C=0時，取（1,0）或（0,1）作測試點。例2．用平面區(qū)域表示不等式組的解集。解：不等式表示直線右下方的區(qū)域，表示直線右上方的區(qū)域，取兩區(qū)域重疊的部分，如圖的陰影部分就表示原不等式組的解集。變式2（回扣引例）試用本節(jié)所學知識解決本節(jié)開篇貸款分配問題所列的不等式組表示的平面區(qū)域。完成變式2后引導學生總結二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的公共部分.創(chuàng)意欄目：說“錯”有獎—總結說出自己前面做題中出現(xiàn)的錯誤。通過小組討論，互相交流，自查自省，達到共同提升的目的設計意圖：通過例題+變式+小結的形式，進一步理解和鞏固所學的判斷方法，掌握畫出二元一次不等式（組）表示的區(qū)域的判斷方法。由二元一次不等式到不等式組的設計，由淺入深，由易到難，便于學生的接受。四、課時小結：本節(jié)課我們學到了什么知識？探索過程中用了哪些數(shù)學方法？1．結論：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側所有點組成的平面區(qū)域。2．畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的一般方法和注意事項：（1）直線定界，注意虛實；（2）特殊點定域，當C≠0時，取原點作測試點，當C=0時，?。?,0）或（0,1）作測試點。3．二元一次不等式（組）的解集表示的平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的公共部分。設計意圖：由學生小結得出知識點，培養(yǎng)學生反思及歸納能力；教師引導學生領悟思想方法，讓學生養(yǎng)成良好的思維習慣。五、作業(yè)布置作業(yè)分基礎、能力兩部分，以滿足不同層次學生的需求【板書設計】學生板演1（1）課題例一文字部分例一圖結：線定界，點定域學生板演1（2）【學情分析】本節(jié)課是在學生學習了一元二次不等式及解法的基礎上學習的另一種不等關系的模型。本班作為的普通班，學生的數(shù)學基礎薄弱，差異較大，故采用循序漸進，螺旋上升的方式，分兩課時來學習本節(jié)內容。本節(jié)課作為起始課，是后面線性規(guī)劃的基礎，學生的認知困難我認為有以下兩個方面：（1）學生對二元一次不等式（組）初次接觸，很難想到平面區(qū)域這種幾何表示。（2）對于具體的二元一次不等式，學生很難設計出探究層次所以設計務必得貼近學生、符合學生。本節(jié)通過實例一步步引出用出用平面區(qū)域表示二元一次不等式(組)的方法,在這個過程中,最重要的是數(shù)形結合思想和“解析法”的滲透,這是學生不太熟悉的,因此,采取啟發(fā)、探究結合的教學方法,學生采用小組協(xié)作的學習方法。通過本節(jié)內容的學習，既可以培養(yǎng)學生的自主探索能力和抽象思維能力，又使學生熟練掌握數(shù)形轉化思想，寓新于舊，整節(jié)課以問題串的形式、層層深入，激發(fā)學生探究數(shù)學、應用數(shù)學的潛能，并為他們自主研究后面涉及到的線性規(guī)劃作鋪墊，這充分體現(xiàn)了“和諧高效，思維對話”的精髓。

【效果分析】課堂效果首先考慮檢測全體學生是否都達到了“課標”的基本要求，“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”在不等式、直線方程后學習，它既是這兩部分內容的延伸和交匯，又是圖解法解決線性規(guī)劃的基礎；同時，在探求問題的過程中可以培養(yǎng)學生數(shù)形結合、等價轉化等數(shù)學思想方法。

本課從教材實際情境引入，通過對實際情境分析，從現(xiàn)實生活中抽象出所要研究的數(shù)學模型，引出二元一次不等式（組）的相關概念，讓學生體驗數(shù)學問題是客觀存在，來源于生活又服務于生活。1.在探究中，注重探究過程。通過師生互動，教師步步追問，讓所有問題成為一個整體的問題串，使得學生的思維具有整體性、系統(tǒng)性。特別是在教師的引導追問下，學生主動探究，小組合作，通過猜想、驗證，從特殊到一般，歸納得出結論。之后，通過例題、練習進行運用、理解，鞏固。最后師生共同反思小結，對所學內容進行概括，并對探究過程中的數(shù)學方法進行研究，對課堂知識進行了升華。這樣的教學設計既體現(xiàn)了本課數(shù)學內容的生成過程，又與學生的認知過程相吻合，充分體現(xiàn)了課改的基本理念。2.在探究中，注重探究方法的運用。從實際生活中建立數(shù)學模型，然后從學生熟知的一元一次不等式組所表示的解集出發(fā)，引發(fā)二元一次不等式的類比探究。同時從方程組的思想到不等式組的思想，單個突破，尋求二元一次不等式解集所表示的平面區(qū)域。在直角坐標系中，直線將平面分為三部分，其中分類討論以不等式的解為坐標的點與直線的位置關系。在證明過程中利用轉化的思想，學生得出特殊結論，再轉化為一般性結論，達到完成探究目的。3.在探究中，注重探究手段。通過PPT的演示，讓學生更加直觀，使信息技術成為學生實驗、探究、操作的工具，引導學生通過技術，發(fā)現(xiàn)數(shù)學、建立數(shù)學。教師能把傳統(tǒng)教學中的“板書、板演、對答、展示等”行之有效的教學方法與現(xiàn)代信息技術等有機結合，發(fā)揮兩者的最佳效益，又避免兩者的不足。課堂教學實踐表明，課堂教學效果是好的。

【教材分析】1．教材的地位和作用

《二元一次不等式（組）與平面區(qū)域》是人教A版必修5第三章不等式的一節(jié)內容。本節(jié)內容是本章重點研究的第二種數(shù)學模型；是學好線性規(guī)劃問題的基礎；也是培養(yǎng)學生推理能力和滲透數(shù)形結合思想的重要素材。本節(jié)教材的編寫注重從實際背景中抽象出二元一次不等式（組）這一數(shù)學模型，使學生感受到數(shù)學源于生活，激發(fā)學生的探究欲望，發(fā)展學生的觀察、歸納、概括能力。

2.內容剖析教科書在第3.3.1節(jié)探求二元一次不等式所表示的平面區(qū)域時，先后以思考猜想和探究的方式提出問題，從研究具體不等式的解集所表示的平面區(qū)域入手，討論直線的某一側點的坐標與不等式的關系，由此推廣到一般的二元一次不等式表示的平面區(qū)域，并得到了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的交集的結論。3.教學目標設計1）初步體會從實際情景中抽象出二元一次方程組，進而變?yōu)槎淮尾坏仁浇M的過程，了解二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的概念，并能畫出二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域。2）綜合運用以舊引新、數(shù)形結合、類比、特殊到一般等多種方式探究二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域，為下一節(jié)課解決實際問題積累方法與經驗。3）通過學生自主探究，培養(yǎng)獨立思考能力，學會合作意識；體會數(shù)形結合思想，類比、由特殊到一般的分析方法，提高學生解決復雜問題的能力。4.教學重點二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域。5.教學難點二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域的推導。6.課時安排，根據(jù)本節(jié)課的內容和大綱的要求?！鞍才艃烧n時，第一課時側重概念的引入和簡單的應用；第二課時側重實際應用。本節(jié)內容為第一課時。

【評測練習】當堂講練：例1畫出不等式x+4y<4表示的平面區(qū)域.變式訓練：分別畫出下列不等式所表示的平面區(qū)域：（1）y>-3x+12;(2)x≥2y.例2.用平面的區(qū)域表示不等式組的解集.變式訓練：試用本節(jié)所學知識解決本節(jié)開篇貸款分配問題所列的不等式組表示的平面區(qū)域基礎練習：不等式表示的區(qū)域在直線的（）A、右上方B、右下方C、左上方D、左下方2、不等式表示的平面區(qū)域是（）3、不等式組表示的平面區(qū)域（）4、一個小型家具廠計劃生產A型和B型兩種型號的桌子。每種類型桌子都要經過打磨、著色、上漆三道工序。A型桌子需要10min打磨，6min著色，6min上漆；B型桌子需要5min打磨，12min著色，9min上漆.如果一個工人每天打磨和上漆分別至多工作450min,著色每天至多工作480min，請你列出滿足生產條件的數(shù)學關系式，并在直角坐標系中畫出相應的平面區(qū)域。三．能力提升：1.畫出不等式(x+2y+1)(x-y+4)<0表示的平面區(qū)域。2.由直線x+y+2=0，x+2y+1=0和2x+y+1=0圍成的三角形區(qū)域(包括邊界）用不等式可表示為3.試編一個應用題，使之可用不等式組來刻畫，并畫出其表示的平面區(qū)域【課后反思

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這節(jié)課學生的探究活動比較多，教師既要全局把握，又要順其自然，經歷探索求二元一次不等式(組）表示平面區(qū)域，并培養(yǎng)學生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、猜想等探究創(chuàng)新能力，發(fā)展邏輯推理能力和有條理的表達能力，從而使他們①能準確表示二元一次不等式的平面區(qū)域；②能正確地找出二元一次不等式組的公共部分。1.本節(jié)課充分發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體性，使教師在課堂上通過與學生之間的思維對話，不斷開發(fā)學生潛能，廣泛地讓學生主動參與。在教學過程中,自始至終讓學生唱主角,使學生變被動學習為主動學習,讓學生成為學習的主人,教師成為學習的領路人。,2.這節(jié)課讓學生從實例出發(fā),思維一步步的很自然的引到今天的重點上。在教學中培養(yǎng)學生從特殊到一般的能力及歸納總結的能力。讓學生通過自主探索，親身經歷了“情境引入”——“提出問題”——“歸納猜想”——“推理探究”——“解決問題”——“反思總結”的思維方式，讓學生在這過程中感受數(shù)學的邏輯和嚴謹，使學生成為的“發(fā)現(xiàn)者”和“推導者”，切身感受到學習的樂趣，身心都得到了發(fā)展.。3.在教學過程中不斷向學生滲透數(shù)學思想方法,讓學生在活動中感受數(shù)學思想方法之美、體會數(shù)學思想方法之重要,部分學生還能自覺得運用這些數(shù)學思想方法去分析、

思考問題。4.在探究過程中有的學生還沒有積極地參與進來,思維還沒有跟上,如何讓學生更有興趣或者所給的問題更能接近學生的最近發(fā)展區(qū),讓所有的學生都能積極的參與進來,是我要努力的。

總體來講，在教授中我深刻的體會到新教材與以往的不同，新教材以學生為本的教學理念始終貫穿本課。采用的將上課的主權交給學生，新穎、有效。而學生的學習積極性有很大的提高，學習效果好。原本枯燥的、抽象的純數(shù)學的東西通過與實際聯(lián)系，利用數(shù)形結合，變的有趣、易懂。不但促使學生掌握了課本上的知識，還促使學生加強了對日常事物的觀察分析的能力。真正使教學提高到培養(yǎng)學生能力的層面上來了。但是這對教師自身素質的要求大大提高。只有自己不斷的學習，充實自己，才能把新教材教好。

【課標分析】課程標準對本節(jié)的具體要求：1.了解從