數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)

章末復(fù)習(xí)第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)知識梳理1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的

和

.若

，則a＋bi為實數(shù)，若

，則a＋bi為虛數(shù)，若

，則a＋bi為純虛數(shù).(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?

(a，b，c，d∈R).(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?

(a，b，c，d∈R).實部虛部b＝0b≠0a＝0且b≠0a＝c且b＝da＝c且b＋d＝0(4)復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面.在復(fù)平面內(nèi)

叫做實軸，

叫做虛軸.實軸上的點都表示

；除原點外，虛軸上的點都表示

；各象限內(nèi)的點都表示非純虛數(shù).(5)復(fù)數(shù)的模x軸y軸實數(shù)純虛數(shù)|z||a＋bi|2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R).3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝

；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝

；③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝

；(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3，有z1＋z2＝

，(z1＋z2)＋z3＝

.z2＋z1z1＋(z2＋z3)4.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)Rz(4)共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點關(guān)于

對稱.它本身實數(shù)實軸1.復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.(

)2.原點是實軸與虛軸的交點.(

)3.方程x2＋x＋1＝0沒有解.(

)[思考辨析判斷正誤]××√題型探究類型一復(fù)數(shù)的概念解

由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，得a＝－5或a＝3，∴當(dāng)a＝－5或a＝3時，z為實數(shù).(2)z是虛數(shù)；解

由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，∴當(dāng)a≠－5且a≠3且a≠±2時，z是虛數(shù).(3)z是0.解

由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，且a2－4≠0，得a＝3時，z＝0.引申探究

本例中條件不變，若z為純虛數(shù)，是否存在這樣的實數(shù)a，若存在，求出a，若不存在，說明理由.解

由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，得a無解，∴不存在實數(shù)a，使z為純虛數(shù).跟蹤訓(xùn)練1

復(fù)數(shù)z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，當(dāng)x為何實數(shù)時z為虛數(shù).解

因為一個復(fù)數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部不為0，類型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算＝i＋(－i)1006＋0＝－1＋i.類型三復(fù)數(shù)問題實數(shù)化思想解設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z－z1|＝|z－z2|，即|a－2＋bi|＝|a＋(b－2)i|，∴z＝2＋2i或z＝－2－2i.類型四復(fù)數(shù)的幾何意義例4

設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，求|z－(3＋4i)|的最值.解由復(fù)數(shù)的幾何意義知，|z|＝1表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，因而|z－(3＋4i)|的幾何意義是求此圓上的點到點C(3,4)的距離的最大值與最小值.|z－(3＋4i)|min＝|BC|＝|OC|－1＝4.若|z－1|＝2，則|z－3i－1|的最小值為________.1解析因為|z－1|＝2，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在以(1,0)為圓心，2為半徑的圓上.|z－3i－1|表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點到點(1,3)的距離，因此，距離的最小值為1.達(dá)標(biāo)檢測所以2＋a＝0，即a＝－2.√1234A.－1 B.1 C.i D.01234√3.已知2＋ai，b＋i(a，b∈R)是實系數(shù)一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，則p，q的值為A.p＝－4，q＝5 B.p＝4，q＝5C.p＝4，q＝－5 D.p＝－4，q＝－5√1234解析由條件知2＋ai，b＋i是共軛復(fù)數(shù)，則a＝－1，b＝2，即實系數(shù)一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩個根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.1234根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，1.對復(fù)數(shù)的概念的考查是考查復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)，要求準(zhǔn)確理解虛數(shù)單位、復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、實部、虛部、復(fù)數(shù)的模等概念.2.對復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的考查可能性較大，要加以重視，其中復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項式的乘法運(yùn)算類似；對于