集合本章整合

數(shù)學(xué)必修①

·人教B版營口市高級中學(xué)吳丹妮第一章集合整合提升知識網(wǎng)絡(luò)2.集合間的基本關(guān)系或關(guān)系文字語言符號語言圖形語言性質(zhì)集合間的基本關(guān)系相等集合A與集合B中的所有元素都相同A＝B—子集A中任意一個元素均為B中的元素A?B含n個元素的集合有2n個子集(續(xù)表)關(guān)系文字語言符號語言圖形語言性質(zhì)集合間的基本關(guān)系真子集A中任意一個元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素不是A中的元素______含n個元素的集合有(2n－1)個真子集空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集AB3.集合的基本運算?UA＝{x|x∈U，且x項目集合的并集集合的交集集合的補集圖形語言符號語言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}A}4.集合的運算性質(zhì)并集的性質(zhì)A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A交集的性質(zhì)A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B補集的性質(zhì)A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)專題突破[解析]

∵A＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，B＝{y|y＝x＋2，x∈R}＝{y|y∈R}．∴A∩B＝{y|y≥0}．專題一?集合問題中幾個注意的地方『規(guī)律方法』進(jìn)行集合間的運算時，弄清集合中的元素是什么？是進(jìn)行集合運算的前提．同時，我們要注意區(qū)分點集與數(shù)集．(2)當(dāng)a≠0，若A中有一個元素，即方程ax2－2x＋1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，此時A＝{1}，滿足題意；若A中無元素，即方程ax2－2x＋1＝0無實數(shù)根，則Δ＝4－4a<0，解得a>1，此時A＝?，滿足題意．故所求實數(shù)a的取值范圍是{a|a＝0，或a≥1}．[分析]由M∪N＝M，得N?M，則N中的元素也在集合M中，則令M中的兩個元素分別與t2－t＋1相等求解.[解析]

∵M(jìn)∪N＝M，∴N?M，即t2－t＋1∈M，(1)若t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，解得t＝0或t＝1，當(dāng)t＝1時，M中的兩元素相同，不符合集合中元素的互異性，舍去．∴t＝0.(2)若t2－t＋1＝t，即t2－2t＋1＝0，解得t＝1，由(1)知不符合題意，舍去．綜上所述，t的取值集合為{0}．[解析]

由集合A⊙B的新定義x∈A，y∈B得，x＝0，y＝2或x＝0，y＝3或x＝1，y＝2或x＝1，y＝3，故z＝0,6,12，則A⊙B＝{0,6,12}，則集合A⊙B的所有元素之和為18，故應(yīng)選D．專題二?集合中的創(chuàng)新題型D

[解析]

假設(shè)存在集合C滿足條件，因為C≠?，且C?{0,2,4,6,7}，C?{3,4,5,7,10}，∴C＝{4}或{7}或{4,7}．『規(guī)律方法』存在性問題，先假設(shè)存在，問題轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵就在于集合A與B的逆向轉(zhuǎn)換，從兩個方面去尋找集合C，逆向操作：A中元素減2得0,2,4,6,7，則C中元素必在其中；B中元素加2得3,4,5,7,10，則C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7或4、7.6.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合．通過對圖形的認(rèn)識，數(shù)、形的轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)思維的靈活性、形象性，使問題化難為易，化抽象為具體．通過“形”往往可以解決用“數(shù)”很難解決的問題．集合中常用的方法是數(shù)軸法和維恩圖法．(1)數(shù)軸法對初學(xué)者來說，在進(jìn)行集合的交集、并集、補集運算時，往往由于運算能力差或考慮不全面而極易出錯．此時，數(shù)軸分析法是個好幫手，它能將復(fù)雜問題直觀化．在具體應(yīng)用時，要注意端點是實心還是空心，以免增解或漏解．專題三?數(shù)學(xué)思想方法在集合中的應(yīng)用[解析]

由題意得A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x<m＋2}．(1)在數(shù)軸上畫出集合A和B，若A∩B＝?，則實數(shù)m＋2落在－1的左邊或與－1重合，所以m＋2≤－1，即m≤－3.(2)維恩圖法維恩圖是集合語言中的圖形語言，它易引起清晰的視覺形象，能直觀地表達(dá)概念．問題的本質(zhì)以及相互之間的關(guān)系．加強(qiáng)這方面的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，對鞏固數(shù)學(xué)知識，夯實基礎(chǔ)，提高能力具有重要意義．[解析]

根據(jù)條件畫出韋恩圖，由補集的定義及集合間的關(guān)系可迅速作出選擇．C

7．分類整合思想分類整合思想是數(shù)學(xué)思想中比較重要的一種思想，利用分類整合思想解決問題，已成為高考考查學(xué)生知識和能力的熱點問題．首先，分類整合問題一般都覆蓋較多知識點，有利于對知識面的考查；其次，解分類整合問題需要有一定的分析能力，一定的分類思想和技巧，有利于對能力的考查，運用分類整合思想解決問題的關(guān)鍵是分類標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到“不重不漏”．[分析]

M、N都是以一元二次方程的根為元素組成的集合，一個集合的子集一定有?.『規(guī)律方法』分類整合思想是一種重要的思想方法，即通過化整為零、各個擊破的方法，使問題變得條理清晰、層次分明、易于解決．8．轉(zhuǎn)化與化歸思想在解決一些集合問題時，當(dāng)一種集合的表達(dá)形式不好入手時，常將其轉(zhuǎn)化為另一種形式，使問題明朗化，如“A是B的子集”、“A∩B＝A”、“A∪B＝B”、“A?B”等都是同一含義．另外，集合中數(shù)學(xué)語言的常見形式主要有三種，即文字語言、符號語言、圖形語言，它們可以相互轉(zhuǎn)化，通過合理的轉(zhuǎn)化，往往能簡捷迅速地得到解題思路．D

[分析]由集合相等可得兩集合中的元素對應(yīng)相等，列出方程組即可，求解后注意集合中元素的互異性．9．方程思想有些集合問題，條件很多，未知量也多，這時可以考慮通過列出方程或方程組來解決問題，既直觀又快捷．10．補集思想對于比較復(fù)雜，難于從正面入手的數(shù)學(xué)問題，在解題時，調(diào)整思路，從問題的反面入手，探求已知和未知的關(guān)系時，這時能化難為易，從而將問題解決，這就是補集思想，補集思想具有轉(zhuǎn)換研究對象的功能，是轉(zhuǎn)化思想的又一體現(xiàn)．集合中的補集運算常與方程、不等式等聯(lián)系起來，特別是否定性的條件，如a?A，可轉(zhuǎn)化為a∈?RA，有時求解將會十分方便，省去一些復(fù)雜的討論．[分析]

A∩B≠?的對立面為A∩B＝?，故可先求出A∩B＝?時a的取值范圍，再用補集思想求A∩B≠?時a的取值范圍．『規(guī)律方法』已知全集U，要求子集A，若直接求A較困難或較麻煩時，則可考慮先求出A的補集?UA，再利用A＝?U(?UA)求出集合A．這就是數(shù)學(xué)中的補集思想．本課小結(jié)

1、集合問