第十三章動(dòng)靜法

第十三章動(dòng)靜法第一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五第三篇?jiǎng)恿W(xué)水土學(xué)院理論力學(xué)課程組電子教程第二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五第十三章達(dá)朗伯原理達(dá)朗伯原理剛體慣性力系的簡化第三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五

引言

前面介紹的動(dòng)力學(xué)普遍定理，為解決質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題提供了一種普遍的方法。達(dá)朗伯原理為解決非自由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題提供了另一種普遍的方法。這種方法的特點(diǎn)是：用靜力學(xué)研究平衡問題的方法來研究動(dòng)力學(xué)的不平衡問題，因此這種方法又叫動(dòng)靜法。由于靜力學(xué)研究平衡問題的方法比較簡單，也容易掌握，因此動(dòng)靜法在工程中被廣泛使用。第四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.1達(dá)朗伯原理

設(shè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)M，沿圖示軌跡運(yùn)動(dòng)，在某瞬時(shí)作用于質(zhì)點(diǎn)M上的主動(dòng)力為，約束反力為，其加速度為。

根據(jù)動(dòng)力學(xué)基本方程有將上式改寫成令于是，假想是一個(gè)力，稱之為質(zhì)點(diǎn)的慣性力。的大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其加速度大小的乘積，方向與其加速度的方向相反。第五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.1達(dá)朗伯原理

一、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理則有即：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束反力和假想加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力構(gòu)成形式上的平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理。第六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.1達(dá)朗伯原理例1

球磨機(jī)的滾筒以勻角速度繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，內(nèi)裝鋼球和需要粉碎的物料，鋼球被筒壁帶到一定高度脫離筒壁，然后沿拋物線軌跡自由落下，從而擊碎物料，如圖。設(shè)滾筒內(nèi)壁半徑為，試求鋼球的脫離角。

解：以某一尚未脫離筒壁的鋼球?yàn)檠芯繉?duì)象，受力如圖。

鋼球未脫離筒壁前，作圓周運(yùn)動(dòng)，其加速度為慣性力的大小為

假想地加上慣性力，由達(dá)朗伯原理第七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.1達(dá)朗伯原理解得：

這就是鋼球在任一位置時(shí)所受的法向反力，顯然當(dāng)鋼球脫離筒壁時(shí)，，由此可求出其脫離角為第八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.1達(dá)朗伯原理

二、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理

設(shè)非自由質(zhì)點(diǎn)系由個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，其中第個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，其加速度為，作用在此質(zhì)點(diǎn)上的外力的合力為，內(nèi)力的合力為。在該質(zhì)點(diǎn)上假想地加上慣性力，則由質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理，有

對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來講，有n個(gè)這樣的力系，將這些力系疊加，將構(gòu)成一個(gè)任意力系，此任意力系亦為平衡力系。由靜力學(xué)知，任意力系的平衡條件是力系的主矢和對(duì)任意點(diǎn)O的主矩分別等于零，即第九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.1達(dá)朗伯原理

因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，并且彼此等值反向，因此有和；而剩下的外力系又可分為作用在質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力系和外約束反力系。設(shè)、分別為作用在第個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力的合力和外約束反力的合力，于是的得即：在質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)系上的所有主動(dòng)力系，約束反力系和假想地加在質(zhì)點(diǎn)系上的慣性力系構(gòu)成形式上的平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理。第十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.1達(dá)朗伯原理

例2

重P，長l的等截面均質(zhì)細(xì)桿AB，其A端鉸接于鉛直軸AC上，并以勻角速度ω繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖。求角速度ω與角θ的關(guān)系。

解：以桿AB為研究對(duì)象，受力如圖。

桿AB勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，桿上距A點(diǎn)的微元段的加速度的大小為

微元段的質(zhì)量。在該微元段虛加慣性力，的大小為第十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.1達(dá)朗伯原理

于是整個(gè)桿的慣性力的合力的大小為

設(shè)力的作用點(diǎn)到點(diǎn)A的距離為d，由合力矩定理，有即

假想地加上慣性力，由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理第十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.1達(dá)朗伯原理代入的數(shù)值，有故有或第十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

下面用靜力學(xué)力系簡化理論研究剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)慣性力系的簡化結(jié)果。

首先研究慣性力系的主矢。設(shè)剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)Mi的質(zhì)量為mi，加速度為，剛體的質(zhì)量為M，質(zhì)心的加速度為，則慣性力系的主矢為由質(zhì)心的矢徑表達(dá)式知，將其兩邊對(duì)時(shí)間求兩階導(dǎo)數(shù)，有于是有此式表明：無論剛體作什么運(yùn)動(dòng)，慣性力系的主矢都等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度的方向相反。第十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

對(duì)于慣性力系的主矩，一般來說，除與剛體運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)外，還與簡化中心的位置有關(guān)。下面就剛體平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)討論慣性力系的簡化結(jié)果。

一、剛體作平動(dòng)

如圖所示，將慣性力系向剛體的質(zhì)心C簡化，慣性力系的主矩為式中，是質(zhì)心C的矢徑，由于C為簡化中心，顯然，于是有綜上可得結(jié)論：平動(dòng)剛體的慣性力系，可以簡化為一個(gè)通過質(zhì)心的合力，合力的大小等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加速度的方向相反。第十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示，具有質(zhì)量對(duì)稱面且繞垂直于質(zhì)量對(duì)稱面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體。其上任一點(diǎn)的慣性力的分量的大小為方向如圖所示。該慣性力系對(duì)轉(zhuǎn)軸O的主矩為由于通過O點(diǎn)，則有，所以故第十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

現(xiàn)在討論以下三種特殊情況：

2、當(dāng)剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，，若轉(zhuǎn)軸不過質(zhì)心，慣性力系簡化為一慣性力，且，同時(shí)力的作用線通過轉(zhuǎn)軸O。

1、當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心C時(shí)，，，。此時(shí)慣性力系簡化為一慣性力偶。

3、當(dāng)剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)且轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心C時(shí)，，，慣性力系自成平衡力系。綜上可得結(jié)論：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性力系，可以簡化為通過轉(zhuǎn)軸O的一個(gè)慣性力和一個(gè)慣性力偶。力的大小等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加速度的方向相反；力偶的矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角加速度大小的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反。第十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

三、剛體作平面運(yùn)動(dòng)如圖所示，設(shè)剛體作平面運(yùn)動(dòng)，取質(zhì)心C為基點(diǎn)，這時(shí)可將剛體平面運(yùn)動(dòng)分解為隨同質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。將隨同質(zhì)心平動(dòng)部分的慣性力系向質(zhì)心C簡化，得將繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)部分的慣性力系向質(zhì)心C簡化，注意到轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，得將以上兩式合并，即為剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，慣性力系向質(zhì)心C簡化的結(jié)果第十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化在用達(dá)朗伯原理求解剛體動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，應(yīng)首先分析剛體的運(yùn)動(dòng)形式，正確虛加慣性力和慣性力偶，然后再列平衡方程求解。綜上可得結(jié)論：平面運(yùn)動(dòng)剛體的慣性力系，可以簡化為通過質(zhì)心C的一個(gè)慣性力和一個(gè)慣性力偶。力的大小等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加速度的方向相反；力偶的矩等于剛體對(duì)過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角加速度大小的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反。第十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

例3

如圖所示，均質(zhì)桿AB的質(zhì)量，長，A點(diǎn)以鉸鏈連接于小車上。不計(jì)摩擦，當(dāng)小車以加速度向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，求D處和鉸A處的約束反力。解：以桿為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。

桿作平動(dòng)，慣性力的大小為。

假想地加上慣性力，則由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理于是得第二十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

代入數(shù)據(jù)，解之得：第二十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

例4

均質(zhì)懸臂梁AB長l，重W，B端與重G、半徑為r的均質(zhì)圓輪鉸接。在圓輪上作用一矩為M的力偶，借助于細(xì)繩提升重為P的重物C。試求固定端A的約束反力。

解：先以輪和重物為研究對(duì)象，受力如圖。

輪的慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡化，則

物體C的慣性力的大小為方向如圖所示。

假想地加上慣性力，則由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理第二十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

將，代入，解之得

再以整體為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。

假想地加上慣性力，則由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理第二十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

將，及代入，解得第二十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

例5

質(zhì)量為m

，長為l的均質(zhì)直桿AB的一端A焊接于半徑為r的圓盤邊緣上，如圖。今圓盤以角加速度α

繞其中心O轉(zhuǎn)動(dòng)。求圓盤開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，AB桿上焊接點(diǎn)A處的約束反力。

解：以桿為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。

桿AB作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在開始轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)，質(zhì)心的加速度為第二十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

慣性力偶的矩為方向如圖所示。假想地加上慣性力和慣性力偶，則由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理

將慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡化，慣性力的大小為第二十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

由幾何關(guān)系將已知數(shù)值代入以上三式，解之得第二十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

例6

重P、半徑為r的均質(zhì)圓輪沿傾角為θ的斜面向下滾動(dòng)。求圓輪不滑動(dòng)的最小摩擦系數(shù)及輪心C的加速度。

解：以圓輪為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。

圓輪作平面運(yùn)動(dòng)，輪心作直線運(yùn)動(dòng)，則

將慣性力系向質(zhì)心簡化，慣性力和慣性力偶矩的大小為方向如圖所示。第二十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

假想地加上慣性力和慣性力偶，則由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理得解之得

由于圓輪沒有滑動(dòng)，則，即由此得所以，圓輪不滑動(dòng)時(shí)，最小摩擦系數(shù)第二十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

例7＊

均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長為2l，一端放在光滑地面上，并用兩軟繩支持，如圖所示。求當(dāng)BD繩切斷的瞬時(shí)，B點(diǎn)的加速度AE繩的拉力及地面的反力。

解：以AB桿為研究對(duì)象，在BD繩切斷的瞬時(shí)，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。

桿AB作平面運(yùn)動(dòng)，如圖，以B點(diǎn)為基點(diǎn)，則C點(diǎn)的加速度為其中

將慣性力系向質(zhì)心C簡化，得一慣性力，其中， 和一慣性力偶，其力偶的矩：第三十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

方向如圖所示。假想地加上慣性力和慣性力偶，則由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理即（2）即（1）即（3）第三十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

以B為基點(diǎn)，則A點(diǎn)的加速度為其中

將上式投影到本ξ

軸上得即（4）聯(lián)立求解（1）---（4）式，得第三十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期五13.2剛體慣性力系的簡化

例8＊

如圖所示，均質(zhì)桿AB長為l，重為Q，上端B靠在半徑為R的光滑圓弧上（R=l

），下端A以鉸鏈和均質(zhì)圓輪中心A相連，圓輪重P，半徑為r，放在粗糙的地面上，由靜止開始滾動(dòng)而不滑動(dòng)。若運(yùn)動(dòng)開始瞬時(shí)桿與水平線所成夾角θ

=45o，求此瞬時(shí)A點(diǎn)的加速度。

解：設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初瞬時(shí)，圓輪中心的加速度為，角加速度為

；AB桿的角加速度為α

，質(zhì)心C的加速度為、。如圖。

輪和桿均作平面運(yùn)動(dòng)，將慣性力系分別向質(zhì)心簡化，則慣性力和慣性