第六節(jié)空間直角坐標(biāo)系

第六節(jié)空間直角坐標(biāo)系第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五空間中點(diǎn)的坐標(biāo)

如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出長方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五分析

解答本題可根據(jù)長方體的特征，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，然后對特殊點(diǎn)，可直接寫出坐標(biāo)，對于非特殊點(diǎn)，可找出它在xOy平面上的射影以確定其橫、縱坐標(biāo)，再找出它在z軸上的射影以確定其豎坐標(biāo)．第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五解

如圖所示，以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．∵長方體的棱長AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，顯然D(0,0,0)，A在x軸上，∴A(3,0,0)；C在y軸上，∴C(0,5,0)；D1在z軸上，∴D1(0,0,4)；B在xOy平面內(nèi)，∴B(3,5,0)；A1在xOz平面內(nèi)，∴A1(3,0,4)；C1在yOz平面內(nèi)，∴C1(0,5,4)．由B1在xOy平面內(nèi)的射影為B(3,5,0)，∴B1的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為5.∵B1在z軸上的射影為D1(0,0,4)，∴B1的豎坐標(biāo)為4，∴B1的坐標(biāo)為(3,5,4)．第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五規(guī)律總結(jié)

(1)建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)遵循以下原則：①讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)；②充分利用幾何圖形的對稱性．(2)求某點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，一般先找這一點(diǎn)在某一坐標(biāo)平面的射影，確定其兩個(gè)坐標(biāo)，再找出它在另一軸上的射影(或者通過它到這個(gè)平面的距離加上正負(fù)號)，確定第三個(gè)坐標(biāo)．第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五變式訓(xùn)練1右圖為一個(gè)正方體截下的一角P－ABC，|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，建立如圖坐標(biāo)系，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為________．【解析】

【答案】

第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五空間點(diǎn)的對稱問題

求點(diǎn)A(1,2，－1)關(guān)于x軸及坐標(biāo)平面xOy的對稱點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，以及B、C兩點(diǎn)間的距離．第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五分析

通過點(diǎn)A向x軸及平面xOy作垂線，然后再寫坐標(biāo)．第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五解

過A作AN⊥x軸于N，并延長到點(diǎn)B，使NB＝AN，則A與B關(guān)于x軸對稱且B(1，－2,1)．過A作AM⊥xOy交平面于M，并延長到C，使CM＝AM，則A與C關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對稱且C(1,2,1)．∴A(1,2，－1)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B(1，－2,1)，A(1,2，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點(diǎn)為C(1,2,1)，第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

規(guī)律總結(jié)

(1)關(guān)于哪條軸對稱，則哪個(gè)坐標(biāo)不變；另兩個(gè)坐標(biāo)變?yōu)樵瓉碜鴺?biāo)的相反數(shù)；(2)關(guān)于原點(diǎn)對稱，三個(gè)坐標(biāo)都變?yōu)樵鴺?biāo)的相反數(shù)．第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五變式訓(xùn)練２

在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(4,5,6)，則點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)在坐標(biāo)平面xOz上的射影的坐標(biāo)為(

)A．(4,0,6)B．(－4,5，－6)C．(－4,0，－6)D．(－4,5,0)第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五【答案】

C【解析】

點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)應(yīng)該是x、z坐標(biāo)與原坐標(biāo)互為相反數(shù)，y坐標(biāo)不變，點(diǎn)在平面xOz上的射影應(yīng)該是x、z坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)變?yōu)?.第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五空間兩點(diǎn)間的距離公式的簡單應(yīng)用(12分)如圖所示，已知點(diǎn)A(1,1,0)，對于z軸正半軸上任意一點(diǎn)P，在y軸上是否存在一點(diǎn)B，使得PA⊥AB恒成立？若存在，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五分析

假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)．依據(jù)PA⊥AB，得到PA2＋AB2＝PB2；再由兩點(diǎn)間距離公式，得關(guān)于待求量的方程；解方程，若有解，則存在，若無解，則不存在．第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五解

設(shè)P(0,0，c)，B(0，b,0)，對于z軸正半軸上任意一點(diǎn)P，假設(shè)在y軸上存在一點(diǎn)B，使得PA⊥AB恒成立，則|PA|2＋|AB|2＝|PB|2，……3分∴[(0－1)2＋(0－1)2＋(c－0)2]＋[(1－0)2＋(1－b)2＋(0－0)2]＝(0－0)2＋(0－b)2＋(c－0)2，………6分即3＋(b－1)2＝b2，…………………8分解得b＝2，…………10分∴存在這樣的點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,2,0)時(shí)，PA⊥AB恒成立…………………12分第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五規(guī)律總結(jié)

在空間直角坐標(biāo)系中，利用距離可以證明垂直問題．此外，用距離還可以解決空間三點(diǎn)共線問題和求簡單的點(diǎn)的軌跡．其核心就是利用兩點(diǎn)間的距離公式，建立等量關(guān)系或方程．第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

變式訓(xùn)練３已知三點(diǎn)A(－1,1,2)，B(1,2，－1)，C(a,0,3)，是否存在實(shí)數(shù)a，使A、B、C共線？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五【解析】∵|BC|>|AB|，∴若A，B，C三點(diǎn)共線，有|BC|＝|AC|＋|AB|或|AC|＝|BC|＋|AB|，若|BC|＝|AC|＋|AB|，整理得5a2＋18a＋19＝0，此方程無解；若|AC|＝|BC|＋|AB|，整理得5a2＋18a＋19＝0，此方程無解．∴不存在實(shí)數(shù)a，使A、B、C共線．

第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五1．空間直角坐標(biāo)系(右手直角坐標(biāo)系)(1)右手直角坐標(biāo)系的建立規(guī)則：x軸、y軸、z軸互相垂直，分別指向右手的拇指、食指、中指．(2)已知點(diǎn)的坐標(biāo)P(x，y，z)作點(diǎn)的方法與步驟：沿x軸正方向(x>0時(shí))或負(fù)方向(x<0時(shí))移動(dòng)|x|個(gè)單位，再沿y軸正方向(y>0時(shí))或負(fù)方向(y<0時(shí))移動(dòng)|y|個(gè)單位，最后沿z軸正方向(z>0時(shí))或負(fù)方向(z<0時(shí))移動(dòng)|z|個(gè)單位，即可作出點(diǎn)．(3)已知點(diǎn)的位置求坐標(biāo)的方法：過點(diǎn)P作三個(gè)平面分別與x軸、y軸、z軸垂直于A，B，C，點(diǎn)A，B，C在x軸、y軸、z軸的坐標(biāo)分別是a，b，c，則(a，b，c)就是點(diǎn)P的坐標(biāo)．第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五2．一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)表示在x，y，z軸上的點(diǎn)分別可以表示為(a,0,0)，(0，b,0)，(0,0，c)．在坐標(biāo)平面xOy，xOz，yOz內(nèi)的點(diǎn)分別可以表示為(a，b,0)，(a,0，c)，(0，b，c)．第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五3．關(guān)于坐標(biāo)軸和坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系點(diǎn)P(a，b，c)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，－b，－c)；點(diǎn)P(a，b，c)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(－a，b，－c)；點(diǎn)P(a，b，c)關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(－a，－b，c)；點(diǎn)P(a，b，c)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點(diǎn)為(a，b，－c)；點(diǎn)P(a，b，c)關(guān)于坐標(biāo)平面xOz的對稱點(diǎn)為(a，－b，c)；點(diǎn)P(a，b，c)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)為(－a，b，c)；點(diǎn)P(a，b，c)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)(－a，－b，－c)．第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五4．中點(diǎn)坐標(biāo)公式已知空間兩點(diǎn)P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為.5．利用空間兩點(diǎn)間的距離公式，可以解決的幾類問題(1)判斷兩條相交直線是否垂直．(2)判斷空間三點(diǎn)是否共線．(3)得到一些簡單的空間軌跡方程．第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五已知點(diǎn)A(－3，－1,1)，點(diǎn)B(－2,2,3)，在x、y、z軸上分別取點(diǎn)L、M、N，使它們與A、B兩點(diǎn)等距離．第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五錯(cuò)解

設(shè)L點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y，z)，由題意得LA＝LB.由兩點(diǎn)間的距離公式得：(x＋3)2＋(y＋1)2＋(z－1)2＝(x＋2)2＋(y－2)2＋(z－3)2，即x＋3y＋2z－3＝0，有無數(shù)解，故L有無數(shù)個(gè)位置，同理M、N也有無數(shù)個(gè)位置．第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五錯(cuò)解分析

對于坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征不明確，沒有充分利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特征．事實(shí)上，設(shè)x軸上的點(diǎn)L的坐標(biāo)為(x,0,0)，由題意可得關(guān)于x的一元方程，從而解得x的值．類似可求得點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五正解

設(shè)L、M、N的坐標(biāo)分別為(x,0,0)、(0，y,0)、(0,0，z)．由題意，得：(x＋3)2＋1＋1