第一型曲面積分計(jì)算

第五節(jié)

第一型曲面積分的計(jì)算一、第一型曲面積分的概念二、曲面的面積三、第一型曲面積分的計(jì)算一、第一型曲面積分的概念若曲面S

是光滑的,

它的面密度為連實(shí)例續(xù)函數(shù)r(

x,

y,

z),

求它的質(zhì)量.所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處都有切平面,且當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移動(dòng)時(shí),切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng).n并作和

f

(xi

,hi

,zi

)

DSi

,

如果當(dāng)各小塊曲面i

=1的直徑的最大值l

fi

0時(shí),這和式的極限存在,則稱此極限為函數(shù)f

(x,y,z)在曲面S上對(duì)面積的曲面積分或第一型曲面積分.1.定義設(shè)曲面S是光滑的,函數(shù)f

(x,y,z)在S上有界,把S分成n小塊DSi

（DSi

同時(shí)也表示第i

小塊曲面的面積）,設(shè)點(diǎn)(xi

,hi

,zi

)為DSi

上任意取定的點(diǎn),作乘積f

(xi

,hi

,zi

)DSi

,記為

f

(

x,

y,

z)dS

.SSn即

f

(x,y,z)dS

=lim

f

(xi

,hi

,zi

)DSilfi

0

i

=1其中f

(x,y,z)叫被積函數(shù)，S叫積分曲面.2.對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)若S可分為分片光滑的曲面S1及S2

,則

f

(

x,

y,

z)dS

=

f

(

x,

y,

z)dS

+

f

(

x,

y,

z)dS

.S

S1

S

2二、曲面的面積設(shè)有界曲面S的方程為z=z(x,y),為了能求出它的面積，把曲面S分成n個(gè)小曲面DSi

(DSi同時(shí)也表示第i小塊曲面

的面積）,它們?cè)趚oy面上的投影區(qū)域分別為Dsi，在每

個(gè)DSi任取一點(diǎn)Mi(xi

,hi

,zi),作曲面在點(diǎn)Mi的切平面IIi

,并在IIi上取一小塊DIIi

，使得DIIi

與DSi在xoy面上的投影都是Dsi，這樣當(dāng)Dsi的直徑很小時(shí)，DIIi

的面積近似等于DSi的面積，因此有n

nlfi

0i=1

i=1S

=

DSi

=

limDIIi計(jì)算DIIi由于切平面DIIi

的法向量就是曲面在點(diǎn)Mi處的法向量，取法向量與z軸的夾角為銳角g.則從而，DIIi

與它在xoy面上的投影Dsi有如下關(guān)系1icos

g

=>

01+

z2

(x

,h

)

+

z2

(x

,h

)x

i

i

y

i

iiiiicos

gDsDII

==

1+

z2

(x

,h

)

+

z2

(x

,h

)Dsx

i

i

y

i

ilim于是nniilfi

0i=1i=1S

=

DS

=limnixyi=1DII

=1+

z2

(x

,h

)

+

z2

(x

,h

)Dsx

i

i

y

i

i=1+

z2

(x,

y)

+

z2

(x,

y)dsx

ylfi

0DxyDxyf

[

x,

y,

z(

x,

y)] 1

+

z￠2

+

z￠2

dxdy;x

y三、第一型曲面積分的計(jì)算按照曲面的不同情況分為以下三種：1.

若曲面S

:

z

=

z(

x,

y)則

f

(x,y,z)dS

=Sf

[

x,

y(

x,

z),

z] 1

+

y￠2

+

y￠2

dxdz;x

z

f

(

x,

y,

z)dS

=S則y

zDyzf

[

x(

y,

z),

y,

z]

1

+

x￠2

+

x￠2

dydz.

f

(

x,

y,

z)dS

=SDxz3.

若曲面S：x

=x(y,z)則計(jì)算

(

x

+

y

+

z)ds

,

其中S為平面例1Sy

+

z

=

5被柱面x

2

+

y

2

=

25所截得的部分.解積分曲面S：z

=

5

-

y

,投影域：D

=

{(

x,

y)

|

x2

+

y2

￡

25}xy故

(x

+y

+z)dsS=2

(

x

+

y

+

5

-

y)dxdy

=Dxydq02p

50(5

+

r

cos

q)rdr=

22

(5

+

x)dxdyDxy=

125

2p.2dxdy,dS

=

1

+

z￠x

2

+

z￠y

2dxdy=

1

+

0

+

(-1)2dxdy

=例

2

計(jì)算|

xyz

|

dS

,S其中S

為拋物面z

=x2

+y

2

（0

￡

z

￡

1）.解

依對(duì)稱性知：

拋物面z

=

x2

+

y2關(guān)于z軸對(duì)稱，被積函數(shù)|

xyz

|關(guān)于xoz、yoz

坐標(biāo)面對(duì)稱有S=4

成立，(S1為第一卦限部分曲面)S1zyxSS1dS

=

1

+

z￠x

2

+

z￠y

2dxdy=

1

+

(2

x)2

+

(2

y)2dxdy原式=

|

xyz

|

dS

=

4

xyz

dS=

4

xy(

x2

+

y2

) 1

+

(2

x)2

+

(2

y)2

dxdyD￠xy其中D￠xy

=

{(

x,

y)

|

x

2

+

y

2

￡

1,

x

?

0,

y

?

0}利用極坐標(biāo)x

=

r

cos

t

,y

=

r

sin

t

,

102201

+

4r

2

rdrdt

r

cos

t

sin

t

r=

4p21050sin

2tdtr

1

+

4r

2

dr=

2p2令u

=1

+4r

251414=4205

-

1.u(u

-

1)2

du

=

125計(jì)算

xdS

,

其中S是圓柱面

x

2

+

y

2

=

1,S平面z

=x

+2及z

=0所圍成的空間立體的表面.例3解+

+

S

2

S

3

=

S S

1其中S1：z

=0,S3：

x

2

+

y

2

=

1.S2：

z

=

x

+

2,投影域D1：

x

2

+

y

2

￡

1顯然

xdS

=

xdxdy

=0,S1

D11

+

1dxdy

=

0,

xdS

=

xS2

D1討論S3時(shí),

將投影域選在xoz

上.（注意：y

=–1

-x

2

分為左、右兩片）S3S31

S32

xdS

=

xdS

+

xdS（左右兩片投影相同）Dxzx

1

+

y￠2

+

y￠2

dxdzx

z=

2xozDxzx

2=

2

x

1

+

2

dxdz1

-

x1-10=

2x

+2dzdx1

-

x2x=

p,\

xdS

=

0

+

0

+

p

=

p.SSx

2

+y2

+z

2

=a

2的八面體|

x

|

+|

y

|

+|

z

|=a表面.例4

計(jì)算

(

x

2

+

y2

+

z

2

)dS

,

其中S為內(nèi)接于球面解被積函數(shù)f

(x,y,z)=x

2

+y2

+z

2

,關(guān)于坐標(biāo)面、原點(diǎn)均對(duì)稱,積分曲面S也具有對(duì)稱性,故原積分

=

8S

S1,(其中S1表示第一卦限部分曲面)S1：x

+y

+z

=a,

即z

=a

-x

-y3dxdydS

=

1

+

z

2

+

z

2

dxdy

=x

ySS1

(

x

2

+

y2

+

z

2

)dS

=

8

(

x2

+

y2

+

z2

)dS=

8[

x2

+

y2

+

(a

-

x

-

y)2

]

3dxdyDxy=

2 3a4

.四、小結(jié)對(duì)面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計(jì)算.（按照曲面的不同情況分為三種）思考題在對(duì)面積的曲面積分化為二重積分的公式中,試說(shuō)明這個(gè)因子的幾何意義.x

y有因子1

+z2

+z2

,思考題解答11

+

z2

+

z2x

ydS

是曲面元的面積,

cos(n,

z)

=x

y的倒數(shù).故

1

+

z2

+

z2

是曲面法線與

z軸夾角的余弦一、填空題:1、已知曲面

的面積為a

,則

10ds

=

；Dyz2、

f

(

x,

y,

z)ds

=

f

(

x(

y,

z),

y,

z)

dydz

；3、設(shè)

為球面x

2

+

y

2

+

z

2

=

a

2

在xoy

平面的上方部分,則

(

x

2

+y

2

+

z

2

)ds

=

；4、

3zds

=

,其中

為拋物面z

=

2

-

(

x

2

+

y

2

)在xoy面上方的部分；x

2

+

y

25、(

x

2

+y

2

)ds

=

,其中

為錐面z

=及平面z

=1所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面.練習(xí)題二、計(jì)算下列對(duì)面積的