第四章彎曲內(nèi)力改

第四章彎曲內(nèi)力改材料力學(xué)第一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)§4.1彎曲的概念和實(shí)例彎曲內(nèi)力/彎曲的概念和實(shí)例第二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)q彎曲：桿件受到垂直于桿軸線的外力即橫向力或受到位于桿軸平面內(nèi)的外力偶作用時，桿的軸線由直線彎成曲線。軸線以彎曲為主要變形的桿件稱之為梁。彎曲內(nèi)力/彎曲的概念和實(shí)例一.彎曲的概念第三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)工程中常見的梁，其橫截面均有對稱軸，例如：彎曲內(nèi)力/彎曲的概念和實(shí)例矩形梁圓截面梁工形梁T形梁第四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)軸線縱向?qū)ΨQ面FqM梁彎曲后的軸線梁所受外力和彎曲后的軸線都在縱向?qū)ΨQ面上。通過梁軸線和截面對稱軸的平面。彎曲內(nèi)力/彎曲的概念和實(shí)例縱向?qū)ΨQ面：平面對稱彎曲：概念圖解橫截面對稱軸第五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)二.彎曲實(shí)例杠鈴橫杠第六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)起重機(jī)橫梁第七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)§4.2受彎桿件的簡化彎曲內(nèi)力/受彎桿件的簡化第八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)

梁的支承條件與載荷情況一般都比較復(fù)雜，為了便于分析計算，應(yīng)對受彎桿件進(jìn)行必要的簡化，抽象出計算簡圖。1.構(gòu)件本身的簡化2.載荷的簡化3.支座的簡化一.受彎桿件的簡化第九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)1.構(gòu)件本身的簡化通常取梁的軸線代替梁。第十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)2.載荷的簡化通常將載荷簡化為集中載荷和均布載荷。F1F2橋面板作用在鋼梁的力第十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)均布載荷（設(shè)載荷為F，長度為L）：q=F/Lq為單位長度內(nèi)的載荷，稱為載荷集度。第十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)3.支座的簡化（1）固定鉸支座兩個約束，一個自由度（2）可動鉸支座一個約束，兩個自由度第十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)（3）固定端XAYAMAA三個約束，無自由度第十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)彎曲內(nèi)力/受彎桿件的簡化二.靜定梁的基本形式靜定梁：支座反力可由靜力平衡方程完全求出。靜定梁分類：簡支梁外伸梁懸臂梁第十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)（a）簡支梁（c）懸臂梁（b）外伸梁彎曲內(nèi)力/受彎桿件的簡化第十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩§4.3剪力和彎矩第十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)一.彎曲內(nèi)力的含義

設(shè)有一簡支梁AB，受集中力F作用。現(xiàn)分析距A端為x處的橫截面m-m上的內(nèi)力。xALBFabmm第十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)x1.根據(jù)平衡條件求支座反力2.求m-m截面上的內(nèi)力AxmmM剪力——使截面不產(chǎn)生移動彎矩M——使截面不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動oALBFabmm第十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)AxmmMo注：彎曲時橫截面上的內(nèi)力既包括剪力又包括彎矩。第二十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩

為使同一位置處兩側(cè)截面上內(nèi)力分量必須具有相同的正負(fù)號，根據(jù)梁的變形來規(guī)定內(nèi)力的符號。思考：

如截取m-m截面右段梁，則內(nèi)力方向有何改變？第二十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)剪力FS符號規(guī)定：規(guī)定產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動效果的剪力為正，反之為負(fù)。概括為“左上右下，剪力為正”。彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩第二十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)使梁彎曲呈下凸的彎矩為正，反之則為負(fù)。概括為“左順時針右逆時針，彎矩為正”。壓拉彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩彎矩M符號規(guī)定：第二十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)二.彎曲內(nèi)力的計算練習(xí)qAB4aaaC練習(xí)一：簡支梁受力如圖，試求C截面（跨中截面）上的內(nèi)力。第二十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)1.根據(jù)平衡條件求支座反力qAB4aaaC第二十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)2.求C截面（跨中截面）上的內(nèi)力qAaC彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩第二十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)qBaC如以右側(cè)梁作為研究對象，則：彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩第二十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩總結(jié)：截面法求內(nèi)力的注意事項(xiàng)1.切一刀：2.取一段：3.加內(nèi)力：4.列平衡：按指定截面和指定要求切；取簡單的一段；內(nèi)力必須為正方向；平衡方程中的正負(fù)號。第二十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF練習(xí)二：一外伸梁受力如圖所示，試求（1）C截面上的內(nèi)力；（2）B左和B右截面上的內(nèi)力；（3）分析B左和B右截面上內(nèi)力的相互關(guān)系。第二十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF1.根據(jù)平衡條件求支座反力彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩第三十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)2、求指定橫截面上的剪力和彎矩AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩FSC(↓)+q×1(↓)－FAY(↑)=0FSC=1KNM(逆)+q×1×0.5(逆)+Mo(逆)-FAY×2

(順)=0M=－3KNm（2）求C截面上的內(nèi)力第三十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)（3）求B左截面上的內(nèi)力AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩FSB左=－3KNM=－5KNm第三十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)（4）求B右截面上的內(nèi)力AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩FSB右=4KNM=－5KNm第三十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩（5）B左右截面內(nèi)力的關(guān)系第三十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩結(jié)論在集中力作用處的截面兩側(cè)，剪力有突變，而彎矩沒有變化。第三十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)ABqFCa2a練習(xí)三：一外伸梁受力如圖，分析D左截面和D右截面上內(nèi)力的相互關(guān)系。a/2M0D第三十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)在集中力偶作用處的截面兩側(cè)，彎矩有突變，而剪力沒有變化。結(jié)論第三十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)彎曲內(nèi)力/剪力和彎矩完成課本118頁例4.1第三十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)§4.4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖第三十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖一.剪力方程和彎矩方程

在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面的位置而變化。（如圖）AB1m1m1m3mq=2KN/mP=2KNEDF第四十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)

因此，剪力和彎矩均可表示為截面位置x的函數(shù)，即

稱為剪力方程和彎矩方程。FS=FS(x)M=M(x)彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖第四十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖思考：一般情況下梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面的位置而變化，在解題的時候，如何對梁進(jìn)行分段？利用控制截面分段控制截面指外力規(guī)律發(fā)生變化的截面，例如集中力、集中力偶的作用點(diǎn)、分布載荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)對應(yīng)的橫截面。以控制截面為分界線，將梁進(jìn)行分段，各段單獨(dú)列剪力方程和彎矩方程。第四十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)AB1m1m1m3mq=2KN/mP=2KNEDF練習(xí)：利用控制截面法將梁進(jìn)行分段彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖5個控制截面，將梁分為４段．第四十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)xx二.剪力圖和彎矩圖彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖用圖示的方法表示剪力和彎矩沿軸線的變化情況。剪力圖：彎矩圖：第四十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)繪制剪力圖和彎矩圖的注意事項(xiàng)：1.橫坐標(biāo)要與桿件長度相對應(yīng)；2.縱坐標(biāo)要標(biāo)明數(shù)值大小及正負(fù);3.縱坐標(biāo)大小要成比例；4.是一條連續(xù)的圖線，不能間斷；5.在圖上要畫出陰影線.第四十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)練習(xí)一：懸臂梁受力如圖所示，列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖，并求出梁的FSmax和Mmax及其所在截面位置。Pm=PaACBaa第四十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)Pm=PaACBaa1.列出梁的剪力方程和彎矩方程彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

不同截面上的內(nèi)力是不同的，因此，先利用控制截面法將梁進(jìn)行分段．第四十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)求AB段的剪力和彎矩：Pm=PaACBaax(1)切一刀(2)取一段(3)加內(nèi)力(4)列平衡m=Pa第四十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)求BC段的剪力和彎矩：Pm=PaACBaa(1)切一刀(2)取一段(3)加內(nèi)力(4)列平衡xxm=PaP第四十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)2.作梁的剪力圖和彎矩圖-PPa彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖Pm=PaACBaaAB段：BC段：第五十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)3.求FSmax和Mmax

（在AB段的各橫截面上）（在BC段的各橫截面上）Pm=PaACBaa-PPa第五十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)

注意：1.在列梁的剪力方程和彎矩方程時，參數(shù)x可以從坐標(biāo)原點(diǎn)算起，也可從另外的點(diǎn)算起，僅需要寫清楚方程的適用范圍（x的區(qū)間）即可。2.剪力、彎矩方程的適用范圍，在集中力（包括支座反力）作用處，F(xiàn)S(x)應(yīng)為開區(qū)間，因在該處剪力圖有突變；而在集中力偶作用處，M(x)應(yīng)為開區(qū)間，因在該處彎矩圖有突變。3.若所得方程為x的二次或二次以上方程時，則在作圖時除計算控制截面的值外，應(yīng)注意曲線的凹凸向及其極值。彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖第五十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)練習(xí)二：外伸簡支梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖。ABqF=qaCa2a第五十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)ABqF=qaCa2a1.根據(jù)平衡條件求支座反力彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖第五十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)2.分段列剪力方程和彎矩方程CA段:彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖ABqF=qaCa2ax第五十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)AB段:x彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖ABqF=qaCa2a第五十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)ABqF=qaCa2a3.作剪力圖-qaCA段:AB段:第五十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)ABqF=qaCa2a4.作彎矩圖-qaCA段:AB段:AB段的彎矩為二次函數(shù)，必須求極值，方法如下：第五十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)彎矩為二次函數(shù)時,在剪力為零的位置,彎矩出現(xiàn)極值。結(jié)論彎矩的凹凸性由均布載荷的方向決定。第五十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖相似題目課本119頁例4.2、例4.3、例4.4第六十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)AB橫梁、立柱與剛節(jié)點(diǎn)。立柱剛節(jié)點(diǎn)橫梁特點(diǎn)：1.平面剛架簡介彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖組成：受力以后，剛節(jié)點(diǎn)處夾角保持不變。剛節(jié)點(diǎn)能承受力與力矩。平面剛架內(nèi)力圖（專題講座）第六十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)2.根據(jù)剛架的外力特征，判斷其變形形式剛架在F1的作用下：剛架在F1和F2共同作用下：AC桿產(chǎn)生彎曲變形；BC桿產(chǎn)生彎曲和拉壓的組合變形。同上。第六十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)3.根據(jù)剛架的變形形式，判斷其內(nèi)力組成剛架的變形：拉壓和彎曲剛架的內(nèi)力：軸力、剪力和彎矩回顧：軸力、剪力和彎矩的符號規(guī)定思考：軸力、剪力和彎矩的正負(fù)號與觀察者的位置是否有關(guān)？第六十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)*內(nèi)力分量的正負(fù)號與觀察者位置的關(guān)系：軸力：第六十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)剪力：第六十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)彎矩：第六十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)結(jié)論

軸力和剪力的符號與觀察者的位置無關(guān)，而彎矩的符號與觀察者的位置有關(guān)。第六十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)4.剛架內(nèi)力圖的規(guī)定軸力FN圖和剪力FS圖由于軸力和剪力的符號與觀察者的位置無關(guān)，因此軸力和剪力的符號規(guī)定仍然適用于立柱；剛架立柱橫截面上的軸力和剪力畫在立柱的里側(cè)和外側(cè)均可，但必須標(biāo)出正負(fù)號。第六十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖彎矩圖壓拉由于彎矩的符號與觀察者的位置有關(guān)，所以立柱的彎矩不再規(guī)定為下凸為正，而是要求彎矩的數(shù)值標(biāo)注在受壓一側(cè)（即凹入的一側(cè)）。第六十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)彎曲內(nèi)力/剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖練習(xí)：求做剛架的剪力圖和彎矩圖第七十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)1.分段列剪力方程和彎矩方程首先將橫梁和立柱分為兩大段，再根據(jù)具體的受力情況分別將橫梁和立柱分段。第七十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)AC段（橫梁）：注：如題目沒要求列方程，則可以不標(biāo)注x的范圍。第七十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)BC段（立柱）：加內(nèi)力時注意：3.立柱截面上除了剪力和彎矩外還有軸力；2.立柱的彎矩不再規(guī)定為下凸為正。1.立柱的剪力符號規(guī)定仍然為順時針為正；第七十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)BC段（立柱）：第七十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)2.根據(jù)剪力方程做剪力圖AC段（橫梁）：BC段（立柱）：+—第七十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)3.根據(jù)彎矩方程做彎矩圖AC段（橫梁）：BC段（立柱）：第七十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)§4.5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系彎曲內(nèi)力/載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系第七十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)彎曲內(nèi)力/載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系了解載荷集度、剪力、彎矩之間相互關(guān)系的目的：1.剪力圖和彎矩圖的檢驗(yàn);2.在不列方程的情況下，根據(jù)關(guān)系直接繪制剪力圖和彎矩圖.第七十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)在梁的某一段內(nèi)若無載荷作用，即q(x)=0，則剪力與x軸無關(guān)，剪力圖是平行于x軸的直線，彎矩是x的一次函數(shù)，為斜直線。2.在梁的某一段內(nèi)若作用均布載荷，即q(x)=常數(shù)，則剪力是x軸的一次函數(shù)，為斜直線；彎矩為x軸的二次函數(shù)，為拋物線。3.在梁的某一截面上，若剪力為0，則在這一截面上，彎矩有一極值。集中力作用處剪力有突變，彎矩圖有尖角；集中力偶作用處，剪力無變化，彎矩圖有突變。4.兩截面上的剪力之差，等于兩截面間載荷圖的面積；兩截面上的彎矩之差，等于兩截面間剪力圖的面積。載荷集度、剪力圖和彎矩圖的關(guān)系第七十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)無荷載集中力FC集中力偶MC水平直線一般斜直線或在C處有尖角一段梁上的外力情況剪力圖的特征彎矩圖的特征在C處有突變F在C處有突變M在C處無變化根據(jù)載荷集度、剪力和彎矩的變化規(guī)律填空：向下傾斜的直線上凸的二次拋物線q<0向下的均布荷載第八十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)彎曲內(nèi)力/載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系練習(xí)一：外伸梁受力如圖所示，試作梁的剪力圖、彎矩圖。AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m要求：不列剪力方程和彎矩方程，利用載荷集度、剪力和彎矩的關(guān)系繪圖。第八十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)1.根據(jù)平衡條件求支座反力AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m彎曲內(nèi)力/載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系第八十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m載荷CADBAD斜直線斜直線水平線水平線斜直線拋物線q=常數(shù)彎曲內(nèi)力/載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系2.判斷各段的形狀第八十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m-3KN4.2KN-3.8KN彎曲內(nèi)力/載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系3.作剪力圖第八十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m(-)-3KN4.2KN-3.8KN(+)(-)-3KN.mEx-2.2KN.m3.8KN.m彎曲內(nèi)力/載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系4.作彎矩圖第八十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)AB2m2m4mF=2KNCDq=2KN/m練習(xí)二：外伸梁受力如圖所示，試作梁的剪力圖、彎矩圖。2.利用載荷集度、剪力和彎矩的關(guān)系繪圖。1.利用剪力方程和彎矩方程繪圖；要求：第八十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)利用剪力方程和彎矩方程繪圖剪力圖和彎矩圖要求一第八十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)AB2m2m4mF=2KNCDq=2KN/m1.根據(jù)平衡條件求支座反力第八十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期五材料力學(xué)AB2m2m4mF=2KN