第四章微分方程模型

第四章微分方程模型第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五動態(tài)模型

描述對象特征隨時間(空間)的演變過程

分析對象特征的變化規(guī)律

預報對象特征的未來性態(tài)

研究控制對象特征的手段

根據函數(shù)及其變化率之間的關系確定函數(shù)微分方程建模

根據建模目的和問題分析作出簡化假設

按照內在規(guī)律或用類比法建立微分方程第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五4.1人口預測和控制

年齡分布對于人口預測的重要性

只考慮自然出生與死亡，不計遷移人口發(fā)展方程第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五人口發(fā)展方程一階偏微分方程第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五人口發(fā)展方程~已知函數(shù)（人口調查）~生育率（控制人口手段）0tr第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五生育率的分解~總和生育率h~生育模式0第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五人口發(fā)展方程和生育率~總和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密

正反饋系統(tǒng)

滯后作用很大第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時刻出生的人，死亡率按(r,t)計算的平均存活時間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制N(t)不過大控制(t)不過高第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五4.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關建模思路和方法為用數(shù)學模型討論社會領域的實際問題提供了可借鑒的示例第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預測戰(zhàn)役結局的模型第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五一般模型

每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力

每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比

甲乙雙方的增援率為u(t),v(t)f,g

取決于戰(zhàn)爭類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設模型第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五正規(guī)戰(zhàn)爭模型

甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設沒有增援f(x,y)=ay,a~乙方每個士兵的殺傷率a=rypy,ry~射擊率，

py~命中率第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五0正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關系平方律模型乙方勝第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)

甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設沒有增援f(x,y)=cxy,c~乙方每個士兵的殺傷率c=rypyry~射擊率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活動面積sry~乙方射擊有效面積第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五0游擊戰(zhàn)爭模型線性律模型第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五0混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊乙方必須10倍于甲方的兵力設x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五傳染病模型問題

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預報傳染病高潮到來的時刻

預防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

已感染人數(shù)(病人)i(t)

每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總人數(shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個感染期內每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設1）總人數(shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個方程第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內作相軌線的圖形，進行分析第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調降至01/~閾值P3P4P2S0第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/的估計

降低s0提高r0

提高閾值1/

降低(=/),群體免疫第二十六頁，共二十七頁，編