2001年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目

2001年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目

2001高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目（請先閱讀“對論文格式的統(tǒng)一要求”）C題基金使用計(jì)劃某校基金會有一筆數(shù)額為M元的基金，打算將其存入銀行或購買國庫券。當(dāng)前銀行存款及各期國庫券的利率見下表。假設(shè)國庫券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時間不定。取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策。?；饡?jì)劃在n年內(nèi)每年用部分本息獎勵優(yōu)秀師生，要求每年的獎金額大致相同，且在n年末仍保留原基金數(shù)額。?；饡Ｍ@得最佳的基金使用計(jì)劃，以提高每年的獎金額。請你幫助校基金會在如下情況下設(shè)計(jì)基金使用方案，并對M=5000萬元，n=10年給出具體結(jié)果：1．只存款不購國庫券；2．可存款也可購國庫券。3．學(xué)校在基金到位后的第3年要舉行百年校慶，基金會希望這一年的獎金比其它年度多

摘要：運(yùn)用基金M分成n份（M1，M2，…，Mn），M1存一年，M2存2年，…，Mn存n年．這樣，對前面的（n－1）年，第i年終時M1到期，將Mi及其利息均取出來作為當(dāng)年的獎金發(fā)放；而第n年，則用除去M元所剩下的錢作為第n年的獎金發(fā)放的基本思想，解決了基金的最佳使用方案問題．關(guān)鍵詞：超限歸納法；排除定理；倉恩定理

1問題重述某?；饡幸还P數(shù)額為M元的基金，欲將其存入銀行或購買國庫券．當(dāng)前銀行存款及各期國庫券的利率見表1．假設(shè)國庫券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時間不定．取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策．表1存款年利率表

校基金會計(jì)在n年內(nèi)每年用部分本息獎勵優(yōu)秀師生，要求每年的獎金額大致相同，且在n年末仍保留原基金數(shù)額．校基金會希望獲得最佳的基金使用計(jì)劃，以提高每年的獎金額．需幫助?；饡谌缦虑闆r下設(shè)計(jì)基金使用方案，并對M＝5000萬元，n＝10年給出具體結(jié)果：①只存款不購國庫券；②可存款也可購國庫券．③學(xué)校在基金到位后的第3年要舉行百年校慶，基金會希望這一年的獎金比其它年度多20％．2模型的分析、假設(shè)與建立2.1模型假設(shè)①每年發(fā)放的獎金額相同；②取款按現(xiàn)行銀行政策；③不考慮通貨膨脹及國家政策對利息結(jié)算的影響；④基金在年初到位，學(xué)校當(dāng)年獎金在下一年年初發(fā)放；⑤國庫券若提前支取，則按滿年限的同期銀行利率結(jié)算，且需交納一定數(shù)額的手續(xù)費(fèi)；⑥到期國庫券回收資金不能用于購買當(dāng)年發(fā)行的國庫券．2.2符號約定

K——發(fā)放的獎金數(shù)；ri——存i年的年利率，（i＝1／2，1，2，3，5）；Mi——支付第i年獎金，第1年開始所存的數(shù)額（i＝1，2，…，10）；U——半年活期的年利率；2.3模型的建立和求解2.3.1情況一：只存款不購國庫券（1）分析令：支付各年獎金和本金存款方案———Mij（i＝1，…，10，i；j屬于N）．將各方案ijM看成元素，構(gòu)成集合A則ijM屬于A1,210;I=所以A按I取值分10行根據(jù)倉恩定理：分行集中，任何一單行有上界，則必包含一個極大元素。又因?yàn)锳中每行可以看成一個子集，根據(jù)排隊(duì)定理：一個集一定可以依一個次序排除所以A中必有上界M萬元基金存入銀行后，每年又拿出相同數(shù)額的本息獎勵優(yōu)秀師生，因?yàn)樽詈笫Ｓ嗟慕痤~等于原來的本金，所以用這種發(fā)放的獎金總數(shù)可以看作是n年中各種利息的總和．將基金M分成n份（M1，M2，…，Mn），M1存1年，M2存2年，…，Mn存n年，對前面的（n－1）年，第i年的次年年初Mi到期，將Mi及其利息均取出來作為當(dāng)年的獎金發(fā)放；而第10年，則用除去M元后所剩下的錢作為第n年的獎金發(fā)放．一般的模型：11:maxnnobjectMRMR++（這就是利息表達(dá)式）.st1nMMM+=11MRK=22nnMRKMRMK==+關(guān)鍵在于如何計(jì)算每一個Ri．基金在年初到位，而學(xué)校當(dāng)年的獎學(xué)金一般在次年年初發(fā)放．因

此，選擇存活期或不可能使得到的利息最大．要盡可能提高獎金額，應(yīng)選擇存定期．在定期的選擇上，應(yīng)把盡可能多的錢存到定期長的儲種上去；同時由于儲種有限（只有半年、1、2、3、5年定期），這就需要對某些儲種進(jìn)行組合優(yōu)化．即應(yīng)盡可能地利用年份多的儲種（如能用3年的決不用2年定期），對于M1，為了支付第一年的獎金，顯然是存1年期拿到本金和利息最高，余者顯然亦如此．對于特定年份的定期存款采用現(xiàn)有的儲蓄種類的組合（如4年定期采用3年定期和1年定期組合等），要使所得的利息最大，對于該結(jié)論的說明如下所述．存4年定期時的有2種方案：

(N為任意存款），顯然，3年定期和一年定期組合最優(yōu)．同理，通過計(jì)算各種組合，Mi得最大利息的存儲方案如表2（Q1、Q2、Q3、Q5分別表示定期存的年數(shù)）．表2存儲方案

（1）從表中可以得出以下結(jié)論：①這是一個以5年為周期的方案組合，從第6年開始相當(dāng)于對應(yīng)的年份再加上一個5年定期，所得的存儲方案最為合理．②采用超限歸納法的推論，可將模型論推廣到n年，則可得到如下的結(jié)論．對于一個以m年為周期的方案組合，可以從第m＋1年開始，在相應(yīng)的年份上再加上一個m年定期，此時所得的方案最為合理．（2）每1個Mi經(jīng)過i年后得到的本金和利息，可用于支付獎金，下面可用反證法加以證明．證明：假設(shè)有另外一種方案使K1＞K，則顯然存在某個n年期的存款到期后所得的總額R，可滿足R－K1＞0（因?yàn)樵谖覀兊挠?jì)算方式下，R＝K，即剛好用完）．則需要將R－K1轉(zhuǎn)存入下一個存

款．而按照前面我們得出的結(jié)論，要使所得的利息最大，則應(yīng)盡可能地利用年份多的儲種．可推斷，由此所得的利息要比一開始就將R－K1存一個更長時間的定期要少．與假設(shè)相矛盾．所以上述方式使得每年獲得的獎金額度最大．（3）求解：根據(jù)以上的討論，可以建立以下的方程組：()111221(1)(1)nnnMMMMrKMrKMr+=+=+=+其中ri是i年期的存儲的一個增長系數(shù)由MATLAB編程的線性優(yōu)化函數(shù)LP（LinearProgram－ming），可得K＝109．8000（萬元）這樣，我們就可以通過把分成這10份，前9份剛好付當(dāng)年的獎金，第10份剛好滿足獎金和原有的基金，并得到了最優(yōu)化的解（見表3）．2.3.2情況二：可存款也可購國庫券我們對情形二外加了一個購買國庫券的方式．同樣把M分成M1，M2，…，Mn；存n年；且n年終將本金和利息一起取出來作為獎金發(fā)放，在外加購買國庫券后，對Mn達(dá)到最大本金和利息有更多的組合及考慮因素．因?yàn)閲鴰烊l(fā)行時間任意，且銀行結(jié)算與發(fā)放獎金均在年終，因此得到購券基金并不能馬上購券，需先存銀行，國庫券到期也不能馬上作為獎金發(fā)掉，也需存銀行．

因經(jīng)購買一次國庫券，必定耽誤一年的時間使它不能存整年定期，

而只能存活期和半年的定期，由于半年定期的利率明顯高于活期，又不影響對獎金的發(fā)放，所以這一年一定存1個半年定期和半年的活期。由于國庫券發(fā)行時間不定，一年中任何一天發(fā)行都是可能，這就涉及到數(shù)學(xué)期望的問題?？梢园岩荒甑姆譃?60天，如果國庫券發(fā)行在上半年的第n天，則n天到期后的本金和利息為（0.792%×n>180),這筆錢要分半年定期和活期是最優(yōu)化的.先不考慮定期半年的本利率,那么(180-n)天的活期的本金和利息是[0.792%×(180-n)/360+1]m那么這筆錢有半年里的本金和利息為[0.792%×(180-n)/360+1]×

u=0.00396由上節(jié)(2)已證了Mi經(jīng)過i年的本金和利率,剛好放獎金時最優(yōu),現(xiàn)在討論Mi在i年中存銀行或購買國庫券,或兩者都有,以不同組合的所得到的利息的高低來取最優(yōu)的組合.我們對每年Mi的組合都進(jìn)行分析(見表4),對于M1,M2不能考慮國庫券,兩年內(nèi)尚不可支取用于支付獎金.對于M3根據(jù)情形可得出要使所得的利息最大,則應(yīng)盡可能地利用年份多的儲種這樣一個結(jié)論.

從表4可知,最優(yōu)的方案如表達(dá)所示.

根據(jù)以上的討論,可以建立以下的方程組:

ro/2)(1+u)=k與上題同法,用線優(yōu)化函數(shù)(lp)就解得:k=127.5(萬元)

按照表6所述的對Mi各組達(dá)到最優(yōu)化分配，并保證了所發(fā)放的獎

金k達(dá)到最優(yōu)值．2.3.3學(xué)?；鸬轿缓蟮牡谌甑莫劷鸨绕渌甓榷?0％要使得基金到位后第3年的獎金比其他年度多20％，問題3與問題1和問題2的情形類同．可分為只存銀行與既存銀行又買國庫券兩種情形．將情形一的（3）式改成

其余保持不變．得最優(yōu)解，K＝107．53（萬元）其本金收益計(jì)算于見表7．

將情形二的（3）式改成M3×（1＋r3）＝1．2×K；其余保持不變．得最優(yōu)解：K＝124．8（萬元）其本金收益見表8．

3模型的分析和改進(jìn)情形一，我們利用超限歸納法及其推論，對結(jié)論2給出了一個完整的說明，從而對下述定理的證明及推廣也起了很大的作用，該方法使得數(shù)學(xué)模型大為簡化．但情形一中，我們所考慮的是大大簡化了的模型，要考慮各方面因素，不會影響該模型，我們只需對原方程中加入一些參數(shù)，思路不變．例如：不假設(shè)學(xué)校一年發(fā)兩次獎金．對于該題，我們需要考慮存半年期的情況，這也就是與前面最大的不同之處．情形二，前面用有限枚舉法，通過與情況一的比較確定更優(yōu)值，其思想方法簡單易行，但計(jì)算太復(fù)雜．可以利用集論中的倉恩定理對該模型求出一個上限或下限．上限，即國庫券隨時可購，可用情況一的求解方法，直接求解，然后由倉恩定理可得出必定存在極大元素，再對各種可能的情況進(jìn)行分析，計(jì)算，從中選出極大值，這就是我們所要求的最優(yōu)方案．下限，就是考慮到想買買不到的情況．如存9年期的M9，假如第一年國庫券發(fā)行時間是9月份，買了一個5年期的．那就是到第5年的9月份才能取出來，但第5年的國庫券發(fā)行時間可能在9月份之前，也就是只有到下一個才能買到．這就有一個最壞的情況，可以求出問題的一個下限．同時我們也要考慮到求每個Mi的增長率時，不能單獨(dú)考慮．如：對于存9年期的M9如果考慮對M6買一個五年期的國庫券時把發(fā)行時間定在第一個季度，那么對M9先買5年期的國庫券也要

在第一個季度．4結(jié)語這一思想的理論基礎(chǔ)是《序數(shù)》中所用的“排隊(duì)定理”和“倉恩定量”．對第一問，通過計(jì)算我們得到最優(yōu)的將基金的本金（加上去）作為獎金發(fā)放，同時我們用超限歸納法及其推論，可以證明這樣的方案是最優(yōu)的．而且，對于實(shí)際操作，我們給出