2012年全國大學生數(shù)學建模競賽A題“特等獎”譯文

2012年美國大學生數(shù)學建模競賽A題題目翻譯：一棵樹的葉子。一棵樹的葉子有多重？怎么能估計樹的葉子（或者樹的任何其它部分）的實際重量？怎樣對葉子進行分類？建立一個數(shù)學模型來對葉子進行描述和分類。

摘要我們構建了四個模型來研究葉的分類，葉子形狀和葉片分布之間的關系，葉子的形狀和樹的輪廓的關聯(lián)，以及一棵樹的樹葉總質量。模型1處理葉的分類。我們主要側重于最顯著的葉片的特征，即，形狀。我們創(chuàng)建七個幾何參數(shù)以量化葉的形狀。然后，我們選擇了六種常見的類型的葉子構造一個數(shù)據(jù)庫。通過計算的樣品的與這些典型葉子的偏差指數(shù)，我們可以將葉子進行分類。為了說明這個分類過程中，我們使用了楓葉作為測試。模型2研究葉的形狀和葉片分布之間的關系首先，我們將一棵樹化為理想模型，然后介紹太陽高度的概念。通過考慮葉片長度和節(jié)間在不同太陽高度下的關系，分析重疊的片葉陰影，我們發(fā)現(xiàn)樹葉的形狀和分布隨著太陽高度進行優(yōu)化以最大化接受陽光照射。我們將該模型應用到三類試驗樹木。模型3討論樹的輪廓和葉的形狀之間可能存在關聯(lián)?；谌~脈和樹的分支結構的相似性，我們認為，葉子的形狀在二維上相似于一個樹的輪廓。采用模型1的方法，我們設置了幾個參數(shù)來反映每棵樹的大概形狀，并通過它們的葉子將其進行比較。在統(tǒng)計工具的幫助下，我們展示了一個樹的輪廓與其葉子形狀之間的粗略的關聯(lián)。模型4通那過給定的樹的大小特征，估計了一棵樹葉子的總質量。并引入固碳率和樹齡來建立葉的總質量和樹的大小之間的聯(lián)系。由于單位質量的一個葉以一個恒等的速率固碳，固碳率與樹齡之間是一個二次關系，并且樹的年齡關系經(jīng)歷邏輯斯蒂增長。介紹：我們解決四個主要子問題：?分類的葉子，?葉分布和葉片形狀之間的關系，?樹的輪廓和葉的形狀的關系，和?一棵樹葉片總質量的計算。

要解決的第一個問題，我們選擇一組參數(shù)來量化葉片的形狀特征和使用葉的形狀作為我們的分類過程的主要標準。對于第二個問題，由于葉子的形狀影響著葉之間的重疊，我們將一片葉子直接投射到它下面的一片葉子的陰影重疊區(qū)域作為葉片分布和葉片形狀之間的一個聯(lián)系，我們假設葉片分布總是趨于盡量減少重疊的區(qū)域。至于第三個問題，我們對樹的輪廓設置參數(shù)并且將其與葉的形狀的參數(shù)來作比較來判斷是否他們之間是否有聯(lián)系。

圖3圖4。

圖3圖4。的年齡有明顯的關系，而樹的年齡影響一個樹的固碳率，從而影響葉子的總質量。模型假設?樹木都是單獨（“開放生長”）的樹木，如通常種植在街道兩旁，院子里以及公園里的樹木。我們的計算并不適用于密集種植的樹木，典型的如再造林項目那樣大批的樹木緊密地種植在一起。

?葉片的形狀并不反映樹的特殊用途，例如抵抗極度多風，寒冷，炎熱，潮濕或干燥的環(huán)境，或生產(chǎn)果實。

?葉分布的類型（葉片長度和節(jié)間距離關系）反映樹對陽光的自然傾向。?樹的輪廓，我們認為是地面以上的部分，包括樹干，樹枝和樹葉。

?一片葉子的所有部分可以平置并且的葉脈的厚度和突起可以忽略不計。

?葉子是樹在光合作用和呼吸作用中唯一起作用的部分，所以一顆樹的固碳率是每一片葉子封存率的總和。

?一顆樹或一片葉的固碳量是一顆樹的二氧化碳凈含量，就是呼吸作用釋放的二氧化碳光合作用吸收二氧化碳之間的差值。

?樹木都是健康，成熟和穩(wěn)定的狀態(tài)。相同的樹木品種有相同的特性。

模型1：葉分類決定性的參數(shù)進行分類的形狀的葉，我們設置七個參數(shù)，并建立一個用于比較的數(shù)據(jù)庫。

矩形度我們把樹葉的葉面積與將其邊界圍住的最小矩形面積的比定義為它的矩形性（圖1）

圖1。圖2在圖1-4的葉子的照片來自Knight等。

長寬比

長寬比是指將葉片包含在內(nèi)的最小長方形的長與寬之比（圖2）。

圓度為了評估葉片的圓度，我們考慮葉片的外接圓和內(nèi)切圓是否成比例。（圖3）。

外形系數(shù)外形，一個重要的形狀描述參數(shù)，計算公式為

其中，A為葉面積，而P是其周長。

邊緣矩形面積指數(shù)雖然兩片葉子的長寬比以及成矩形的程度可能是相似，但它們的輪廓或者說準確形狀卻可能極為不同。為了將葉片不同的輪廓納入考量，我們加入其邊緣的凸點來將它化為多邊形邊界。這個多邊形區(qū)域的面積與葉片面積的比就是邊緣矩形面積指數(shù)。這個比例是越接近1，說明葉片的輪廓越光滑。（圖3）。

邊緣矩形周長指數(shù)同樣，我們加入了另一個參數(shù)，邊界多邊形的周長，既是前面我們將凸點納入考慮時作的多邊形。我們定義的邊界多邊形周長的與葉的邊緣的周長比為邊緣矩形周長指數(shù)。這個比率越小，葉片輪廓就越不規(guī)則且參差不齊。（圖3）。

比例指標由于在沿著樹的垂直方向上，了解樹的不同部位的葉片分布也是至關重要的，我們把最小的邊界矩形在相同高度分成四個水平方向塊，接著計算在特定區(qū)域的葉片面積與總葉面積的比例，將它稱作這一區(qū)域的比例指標（圖4）。因此，PI是一個長度為4的矢量。

葉片的常見類型我們制定了6種在北美最常見的葉型的數(shù)據(jù)庫（圖6），使用上面所討論的七個參數(shù)。表2給出了每種葉形的參數(shù)值，從Knight給的的葉子的照片種測量得出。

對照給定一個具體的葉子，通過計算這片葉子每種參數(shù)與相應種類的標準參數(shù)的平方偏差，我們得出它七大特征并將其與我們的數(shù)據(jù)庫進行比較。我們意識到，一些參數(shù)在某種程度上比其余的更為重要。因此，為了力爭使我們的模型更準確及可靠，

都是方差，除了

我們引入一個方差加權指數(shù)都是方差，除了

其中每個

我們通過層次分析法決定權重，通過兩兩比較建立了一個7×7的互反矩陣

每個單元格中的數(shù)字的含義在表2中說明。該數(shù)字本身是基于我們自己的主觀決

D解釋要求i和j的值相等要求i的值比j得值高一點要求i的值D解釋要求i和j的值相等要求i的值比j得值高一點要求i的值比j得值高很多要求i的值比j得值高非常多要求i的值比j得值高非常非常多在相鄰評價值之間的中間值要求i的值比j得值低矩比0.0480應接近于0，我們得到CI=0.009。（其中RI是CI的平均值隨機矩陣）應該是小于0.01，形長寬圓數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)0.1583度0.0480形狀系面積指周長指比例指0.20480.08550.08550.3701

表2的乘法表。10

數(shù)值強度135792，4，6，8倒數(shù)

然后將矩陣輸入到一個計算每個因子的權重wi的Matlab程序，結果如表3中給出。表三AHP-派生的權重。因素度權重

我們測試此例層次分析的一致偏向性。為了獲得良好的一致性：

?矩陣的最大特征值應該與參數(shù)的個數(shù)n相近，在這里是7，我們得到值λmax=7.05。?連續(xù)性指數(shù)?一致性比率我們得到CR=0.006。

因此，我們決定的決策方式顯示出完全可以接受的一致性并且權重是合理的。

模型試驗我們用圖6楓葉來測試我們的分類模型。在視覺上，它最類似于第四類葉片。

圖6測試樣品楓葉現(xiàn)在我們用這個模型檢驗這一假設。首先，我們處理的葉圖像，計算矩形度，長寬比，圓度，形狀系數(shù)，邊緣矩形面積指數(shù)，邊緣矩形周長指數(shù)，和比例指數(shù)。如表2所示的值。七個參數(shù)的值示于表4。表4

楓葉模型的參數(shù)因矩長寬圓形狀面積周長比例比例比例比例素形度比度系指指指數(shù)指數(shù)指數(shù)指數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)1234測量0.350.900.260.150.620.370.090.460.430.00值5897597319

最后，我們用我們的權重來計算指數(shù)楓葉與前面六類葉子的指數(shù)偏差。我們將結果示于表5中。表5來自六種常見葉類的楓葉的偏差指數(shù)類別123456偏差指數(shù)0.270.120.230.080.240.18

由于楓葉與給定的類別4的指數(shù)之間的偏差最小，模型預測，楓葉分為第4類-這樣的結論與我們最初的假設是一致的。

結論在合理的條件下，從以上的測試可以看出，從我們的模型是穩(wěn)定的。然而，由于我們的數(shù)據(jù)庫只包含六種北美常見的葉形，數(shù)據(jù)庫的多樣性還有改進的余地。

模型2：葉分布和葉形介紹遺傳和環(huán)境因素促進了葉脈和組織的圖案，從而確定了葉片形狀。在這個模型中，我們調(diào)查葉分布如何影響葉子的形狀。理想化葉分布模型我們構建了一個理想化的模型，極大地簡化了復雜情況：一顆樹是由垂直于地表的一個分支構成的，兩片完全相同的樹葉生長在分支的同一側和同一水平高度。在天空中葉子朝上并指向太陽。我們假設樹是生長在緯度L（北半球）的地方。獲得在一年中平均最大的太陽高度，即在春分的下午獲得的太陽高度，將它記作α。圖7說明了春分中午的一棵樹的原始模型。

。，下面的葉子因為陰影部

圖7一棵在春分中午的樹的原始模型。，下面的葉子因為陰影部

重疊面積分析我們的重點是在圖7中的部分陰影葉子。模型的輸出是陰影葉子的比例。根據(jù)角度α在部分陰影葉子上的影響，我們劃分三種不同情況。

太陽高度接近90這種情況通常發(fā)生在熱帶地區(qū)，其葉片的形狀是典型的高地闊，樹冠通常只包含一個葉層。這個可以在圖7中解釋：當α接近90

分太大而沒有足夠的陽光來進行光合作用，不能最大程度的吸收能量來成為闊葉形狀。太陽高度接近0這種情況通常發(fā)生在寒帶，其葉子是典型的針葉狀，樹冠包含了稠密生長的

葉層。在圖7中：當α接近0。，下面葉子的陰影部分將趨近于零，是一個更集中

L。另外，我們確定葉片面積為A，以確保持續(xù)的暴露在陽光下的面積。當面AA1A1是最小的重疊面積。

h，我們0

L。另外，我們確定葉片面積為A，以確保持續(xù)的暴露在陽光下的面積。當面AA1A1是最小的重疊面積。

h，我們0太陽高度在正常范圍內(nèi)這種情況是典型的在地球上的溫帶，在這里陽光以傾斜的方式照射在葉子上。它也是我們理想化的模型中是最合適的一種情況。在此，我們控制的另一個關鍵因素是連接兩葉片之間的距離h。我們假設樹的葉分布試圖減少葉片之間的重疊區(qū)域，所以我們的模型是研究重疊面積和葉的形狀之間的數(shù)量上的關系。為了簡化模型，我們用菱形來模擬葉片，它的長軸長度為，短軸長度為

長L短積固定，現(xiàn)在我們只需要改變長軸的長度來改變?nèi)~片的形狀（見圖8）。

圖8.面積相同，但長軸的長度不同的兩葉

此外，由于我們固定葉片的面積只要調(diào)整其形狀，因此下面葉子的陰影部分的最低比例是E=,

其中，

最有效的情況是兩個葉片被完全暴露在陽光下，如圖9a所示：當h=

長

h

長tan

LLtanLtan長

h

長tan

LLtanLtan

tanα預測真實h2

圖9a.上層葉不重疊圖9b.上層葉重疊如果h<h，是否就如圖9b所示呢？對于一個給定的固定的太陽高度α，我們可0以簡單的給出h,L,以及E之間的關系：長E=Ltanh2長長對于固定的h和α，重疊的面積隨著葉長的增加而增加。當L趨近于

長tan時，重疊面積達到最小。從我們的討論可知，最好的葉分布是當h=h，也就是h=L。

0模型測試我們需要測試葉分布和葉形之間的這種關系是否是正確的。我們提供幾種樹的關于葉長L和節(jié)間距離h的資料，并使用我們的公式來計算每種樹各自的太

長陽高度。通過將太陽高度轉換為緯度，我們可以預測一棵樹的起源！我們選擇原自于中國的幾種樹：女貞（糯葉女貞，一種半常綠到常綠灌木）桂花（甜橄欖，茶桂花樹，香橄欖，是常綠灌木或小喬木，也是中國杭州的市花）山茶花（日本山茶花）以上三種樹作為我們測試的樹，表6顯示了測試結果。表6葉子的形狀作為緯度的函數(shù)的模型測試樹的種類h緯度

長

21061葉0.62810.6846葉0.7914葉0.58002.518.592和50.66270.59020.51800.86150.72430.63960.59281.251.851.5030.62500.52920.66000.66010.56980.289538.7028.4033.703236040.47720.62380.18000.79800.18340.407035350221061葉0.62810.6846葉0.7914葉0.58002.518.592和50.66270.59020.51800.86150.72430.63960.59281.251.851.5030.62500.52920.66000.66010.56980.289538.7028.4033.703236040.47720.62380.18000.79800.18340.4070353502329060.65760.63830.67500.30690.38660.3111

0.2889

桂花

山茶花

我們預測的緯度是接近真正緯度的，從而確定了我們關于葉分布和葉形之間的關系的假設。

模型3：樹的輪廓和葉子的形狀假設由于1.葉脈的結構決定了葉片形狀2.分支的結構決定了樹的輪廓3.在一定程度上，葉脈類似于分支于是我們有一個大膽的假設，葉子的形狀是樹的輪廓的二維模擬。葉形和樹木輪廓的比較葉片形狀是二維的，所以研究它的參數(shù)是相對容易的。然而，樹的輪廓是三維的，所以重要的是找到一個樹的兩維的特性用來比較。由于一棵特定的樹的縱截面的大小反映了其一般的特點，所以我們將重點放在此處。

樹的輪廓分類在葉的分類模型中，共有6種分類。由于我們比較了葉和樹之間是大體相似的，我們將類別5（有鋸齒狀邊緣的橢圓葉）合并到類別2中（邊緣光滑的橢圓葉）。結果，我們得到了5種類別的樹葉以及它們各自的樹的類別：類別1：心臟形的（德克薩斯紫荊）類別2和類別5：橢圓形的（樟腦樹）類別3：尖錐狀的（松樹）類別4：手掌狀的（橡樹）類別6：倒卵形的（山核桃）樹的參數(shù)我們給縱截面指定三個可以與葉形作比較的參數(shù)，即矩形，長寬比和圓度。表7顯示出了樹和葉的測量結果。表7葉的參數(shù)和樹的參數(shù)的比較類別矩形樹長寬比樹圓度樹

=coAs2

對于每個參數(shù)類型，我們畫了一個散點圖，計算相關性，并調(diào)查所得到的最=coAs2優(yōu)線的統(tǒng)計學意義。長寬比和圓度是有統(tǒng)計意義的，呈線性關系，矩形則沒有。

結論長寬比和圓度的測試支持葉形是樹的輪廓的一個二維模擬這一理論。因此，葉形在一定程度上類似于樹形。

模型四：葉質量引言

一個計算葉片總質量的簡單方法是樹葉單葉的質量誠意數(shù)量。我們的方法更準確且要求更少，我們的方法是更準確，要求較低，我們的方法依賴于這兩個獨立因素，但也依賴于成年樹這一更可靠的因素：光合作用論文。我們的方法是基于估計一棵樹的葉子質量三個變量：

?樹形年齡;?增長速度，這是由樹種決定的;?通用型（硬木或針葉樹）。換句話說，給定一棵樹的年齡和類型我們就可以估算樹葉的總質量。在這個模型中，co2作為計算介質。

葉質量與樹年齡葉質量和二氧化碳封存樹木從大氣中封存二氧化碳在它們的葉子里但大多在樹里。一棵樹的封存二氧化碳的能力是由每克葉的AS質量來衡量的。硬木樹封存性比針葉樹好。樹的s封存能力和吸收能力是不同的，因為樹還在呼吸作用中釋放出co2。換句話說，二氧化碳封存的封存量=二氧化碳吸收量-二氧化碳釋放量現(xiàn)在，我們只需要估計樹封存二氧化碳的重量，然后由co2的質量與每克葉的AS質量來計算出葉的總質量。

mleave封存和樹齡能源信息表（Administration[1998，表2，8-9]）中給定了封存量，樹齡和樹的類型之間的關系，這也根據(jù)樹的生長率來劃分的：快速，中度或慢。對于每一個成長率，我們將每年的固碳率與該樹的年齡繪制成圖表，并配備二次模型（見圖10針葉樹例如）。

圖10。每年固碳率，每棵樹每年的co2量，針葉樹的年齡增長率。

我們驚訝地發(fā)現(xiàn)，這個完美的曲線擬合數(shù)據(jù)?。ㄟ@個事實強烈地表明，原來的表中的值并沒有測定，但可以從這個模型計算出來。）從擬合曲線的方程，我們可以很容易地估算出一個給定年齡和生長率的樹的螯合量，從而計算葉片的質量。樹齡和樹的大小前面，我們使用樹齡作為兩種葉質量和樹的大小之間的紐帶。因為我們現(xiàn)在知道樹齡（一個特定的增長率）和總葉質量之間的關系，現(xiàn)在我們只需要知道樹齡和它的尺寸特性的關系。樹的大小是生長的積累，是隨時間增長的一種生物現(xiàn)象。一棵樹在其生命周期中，經(jīng)歷了骨干的增長，導致的一個模型其“大小”，或設定檔，P（高度，質量，直徑）

其中A為樹齡，ki由樹的種類決定。

葉質量與樹大小最后，我們得到關于葉質量和樹的大小特征之間是否有關聯(lián)這個問題的答案。把我們之前的模型放在一起，我們得到圖11中的關系。

根據(jù)我們先前的結果，葉質量和樹齡是通過CO2螯合相互關聯(lián)的，我們剛剛確定了一個樹齡和樹的大小之間的函數(shù)。優(yōu)點和缺點

模型1優(yōu)點：我們的模型建立在定量分析的基礎上，因此分類過程是客觀和有效的。我們的模型是基于葉類型，是最典型最常見的的類別。缺點：我們只把樹葉分成6個類別，可能沒有涵蓋所有葉類型。

模型2優(yōu)點：我們在討論葉分布和葉子的形狀之間的關系的時候考慮了三種氣候條件（熱帶，溫帶，寒帶）。我們的模型得到的結果符合我們發(fā)現(xiàn)的數(shù)據(jù)。缺點：我們考慮了單分支葉片的分布，但沒有考慮不同分支不同葉子之間的內(nèi)部關系。

模型3優(yōu)點：

整個過程使用的數(shù)據(jù)和定量分析為基礎，所以輸出的數(shù)據(jù)是客觀合理的。缺點：我們限制了樹的種類。模型4優(yōu)點：我們使用的固碳速率和樹齡作為媒介來計算葉片的總質量，這比試圖估計葉片的數(shù)量和每一片葉的平均重量要好得多。缺點：這個方法得到的數(shù)據(jù)與源數(shù)據(jù)不大相符。

給科學期刊編輯的信尊敬的編輯：我們向您介紹我們的主要結果。我們首先著眼于葉分布，葉形上的不同可能造成的影響。出于生存的原因，應該為每棵樹制定一個最佳的葉分布和形狀圖案以適應其特定區(qū)域，從而在陽光曝光區(qū)進行最大化的光合作用獲得最大的營養(yǎng)成分。我們展示了太陽高度角，葉形和葉片分布這樣一個數(shù)學關系。在這一發(fā)現(xiàn)的基礎上，我們通過觀察其葉片分布確定的最佳地點補植或遷移樹種。我們的第二個關鍵的發(fā)現(xiàn)是樹的輪廓和它的葉子之間的一個粗略的關系。事實上，我們假設一片葉是一個二維模擬樹。對于幾棵樹而言，我們比較的葉的形狀和輪廓，找到了某些特性之間的相似性。這一發(fā)現(xiàn)是自然世界包含一個數(shù)學概念自相似性的一個實例，這意味著，一個物體與它自身的一部分是很相似的（使用數(shù)學方法科赫雪花和Mandelbrot集）。我們的研究的第三部分是處理樹的大小特性和葉的總質量之間的關系。