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文檔簡(jiǎn)介
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.探索并理解角平分線的性質(zhì)及判定.2.能靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問(wèn)題.
我們?cè)?jīng)用折紙的方法得到角平分線及角平分線上的點(diǎn)的性質(zhì),你還記得角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎?
角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.
結(jié)合我們前面學(xué)習(xí)的定理的證明方法,你能寫出這個(gè)性質(zhì)的證明過(guò)程嗎?證明:角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等題設(shè):一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上結(jié)論:它到角的兩邊的距離相等已知:OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E.求證:PD=PE.AOBPEDC證明過(guò)程證明:∵PD⊥OA,PE⊥OB垂足分別為D,E.∴∠ODP=∠OEP=90°在Rt△ODP和Rt△OEP中∠ODP=∠OEP∠DOP=∠EOPOP=OP∴Rt△ODP≌Rt△OEP(AAS)∴PD=PEAOBPEDC
性質(zhì)定理:
角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件:(1)角的平分線;(2)點(diǎn)在該平分線上;(3)垂直距離.定理的作用:
證明線段相等.幾何語(yǔ)言:∵OP
是∠AOB的平分線,∴PD=PE提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明兩條線段相等的根據(jù)之一.推理的理由有三個(gè),必須寫完全,不能少了任何一個(gè).PD⊥OA,PE⊥OB,BADOPEC總結(jié)歸納判一判:(1)∵如下左圖,AD平分∠BAC(已知),∴
=
,()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵
如上右圖,DC⊥AC,DB⊥AB
(已知).
∴
=
,
()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BDCD×BADC′思考分析
你能寫出“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等”的逆命題嗎?逆命題:
在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.請(qǐng)你證明它是不是真命題?用心想一想已知:如圖,點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.且PD=PE,求證:OP平分∠AOBOBAPDE逆命題:在一個(gè)角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.證明:∵PD⊥OA,PE⊥OB垂足分別是D,E.∴∠ODP=∠OEP=90°∵DP=EPOP=OP∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)∴∠AOP=∠BOP,∴
OP平分∠AOBOBAPDE逆定理:在一個(gè)角的內(nèi)部,
到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.幾何語(yǔ)言:∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過(guò)某一點(diǎn))的根據(jù)之一.
例1已知:如圖,在△ABC中,∠BAC=60度,點(diǎn)D在BC上,AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F,且DE=DF求DE的長(zhǎng).ABCDEF
解∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F,且DE=DF,∴AD平分∠BAC(在一個(gè)角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上).又∵∠BAC=60°∴∠BAD=30°在Rt△ADE中,∠AED=90°,AD=10∴DE=5(在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)1.如圖,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P,若PC=4,AB=14.(1)則點(diǎn)P到AB的距離為_(kāi)______.
4ABCP存在一條垂線段———構(gòu)造應(yīng)用2.如圖,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,若BD=5,BC=4,則點(diǎn)D到邊AB的距離為_(kāi)_______.
33.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8,AD平分∠BAC,BC邊于點(diǎn)D,若CD=2,則△ABD的面積為_(kāi)_______.
84.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,有下列結(jié)論:①CD=ED;②AC+BE=AB;③∠BDE=∠BAC;④DA平分∠CDE;⑤S△ABD:S△ACD=AB:AC.其中,正確的有________個(gè).
5
角平分線性質(zhì)定理一個(gè)點(diǎn):角平分線上的點(diǎn);二距離:點(diǎn)到角
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