簡諧振動黃頌翔

簡諧振動黃頌翔第一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五簡諧振動例題例題1有一輕彈簧，當(dāng)下端掛m1=10g的物體而平衡時，伸長量為4.9cm。用這個彈簧和m2=16g的物體連成一彈簧振子。若取平衡位置為原點，向上為x軸的正方向。將m2從平衡位置向下拉2cm后，給予向上的初速度v0=5cm/s并開始計時，試求m2的振動周期和振動表達式。2mO0xx分析:振動系統(tǒng)的周期(或角頻率)由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定;要求系統(tǒng)的振動表達式,即要寫出振幅、圓頻率和初相這三個物理量.第二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五解:設(shè)彈簧原長為l，懸掛m1后伸長Δl達到平衡，則取坐標(biāo)軸向上為正．取下m1掛上m2后，系統(tǒng)的角頻率為2mO0xx第三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五能同時滿足初始位移和初始速度的初相為一般將初相表示為弧度形式于是,振動表達式為問：如果取坐標(biāo)軸向下為正，則初相變化否？第四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五第五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五例題3邊長l=25cm的正方形木塊，密度ρ=0.80克/厘米3，將木塊剛好完全浸入水中后放手，求其運動形式及運動方程。振動表達式為：第六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五解：木塊受浮力及重力作用.取豎直向下為坐標(biāo)軸正方向，水面處為坐標(biāo)原點.設(shè)木塊平衡時浸入水中深度為b.則達平衡時有：如圖，當(dāng)C點離O點為y時，作用在木塊上的合力為第七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五由牛頓第二定律符合簡諧振動的運動學(xué)判據(jù)，即木塊作簡諧振動。第八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五即初始時刻在最大位移處。振動表達式為例題4勁度系數(shù)為k的彈簧下端固定于地面，壓上一重物后彈簧壓縮b=9.8cm，給重物m以沖擊力使其具有向下的初速v0

=1米/秒，分析其運動及運動方程。第九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五解：取豎直向下為y軸正向，彈簧原長上端為原點O，當(dāng)m在y位置時，受重力mg向下，彈性力-ky向上。由牛頓第二定律當(dāng)重物的重力與彈性力平衡時，彈簧壓縮量為b，此時彈簧處于平衡點Oˊ

mg=kb代入上式得第十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五即有可見物體作簡諧振動。從這里看到，當(dāng)物體除受回復(fù)力作用外，還受恒力作用時，仍然作簡諧振動。在新坐標(biāo)系中第十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五求得由初始條件運動方程為由此可知，應(yīng)注意初位相的確定與坐標(biāo)軸的正向有關(guān)。第十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五解（1）設(shè)這一簡諧振動的表式為第十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五由初始速度條件簡諧振動的表式為由旋轉(zhuǎn)矢量方法易求得初相第十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五（2）由位移的表式得第十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五因為物體向x軸負向運動，v<0,所以不取4π/3.求得第十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五由旋轉(zhuǎn)矢量能直觀地看出，第一次回到平衡位置時旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)過的角度為因而所需時間為第十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五例題6一個輕彈簧在60N的拉力作用下可伸長30cm，現(xiàn)將物體懸掛在彈簧的下端并在它上面放一小物體，它們的總質(zhì)量為4kg，待其靜止后再把物體向下拉10cm，然后由靜止釋放，問：(1)此小物體是停在振動物體上面還是離開它？（2）如果使放在振動物體上的小物體與振動物體分離，則振幅A滿足何條件？二者在何位置開始分離？解：小物體受力如圖，設(shè)小物體隨振動物體的運動加速度為a，按牛頓第二定律（取坐標(biāo)軸向下為正）有即第十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)的最大加速度第十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五第二十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五例題7:單擺（數(shù)學(xué)擺）由牛頓第二定律有“―”表示切向分力矩的指向恒與角位移方向相反。第二十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五振動表式為第二十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五

例題8.復(fù)擺（物理擺）式中負號表示力矩的轉(zhuǎn)向與角位移的轉(zhuǎn)向相反。當(dāng)擺角很小時，近似有第二十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五根據(jù)轉(zhuǎn)動定律或周期為k為復(fù)擺的回轉(zhuǎn)半徑.第二十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五利用復(fù)擺可正確測定重力加速度的值，不同地質(zhì)結(jié)構(gòu)處的重力加速度不同，可進行地質(zhì)探礦。單擺、復(fù)擺的振動表達式、速度（角速度）表達式、加速度（角加速度）、振幅（角振幅）及初位相的表達式與彈簧振子的情況相似。圓頻率與周期又可表示為:第二十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五問題：諧振子從平衡位置運動到最遠點所需的時間為1/4周期嗎？走過該距離的一半所需的時間為多少？是1/8周期嗎？振子從平衡位置出發(fā)經(jīng)歷1/8周期時運動的位移是多少？辨析：振子作簡諧運動時，從平衡位置運動到最遠點所需的時間是1/4周期.因振子的運動速度不是常數(shù)，振子作變速直線運動，所以走過該距離的一半所需的時間不是1/8周期.從旋轉(zhuǎn)矢量圖可以看出，振子從平衡位置P運動到A/2處M點時，相應(yīng)的振幅矢量轉(zhuǎn)過了π/6的角度，即第二十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五所以也就是說，振子從平衡位置O運動到A/2處所用的時間為T/12，而不是T/8.而振子從A/2處運動到最遠點的時間為振子從平衡位置O出發(fā)，經(jīng)過T/8時，位移為第二十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五問題：一水平放置的彈簧振子，如圖a所示，當(dāng)其從A/2運動到-A/2時，所需的最短時間為1s.現(xiàn)將該彈簧振子豎直掛起，并讓其振動，那么它的振動周期為多少？第二十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五辨析：應(yīng)當(dāng)明確，彈簧振子的諧振周期（或圓頻率）決定于系統(tǒng)本身的性質(zhì)，即由彈簧的勁度系數(shù)和振子的質(zhì)量來決定.只要k和m確定后，無論系統(tǒng)作怎樣的簡諧振動，周期都相同，即按題意作旋轉(zhuǎn)矢量圖，當(dāng)振子從A/2運動到-A/2時，相當(dāng)于振幅矢量A從φ1=π/3旋轉(zhuǎn)到φ2=2π/3，即轉(zhuǎn)過了π/3的角度.因而轉(zhuǎn)過π/3角度所用的時間是T/6.即T/6=1，T=6s.第二十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五例1：如圖所示，有兩個完全相同的彈簧振子a和b，并排放在光滑的水平桌面上，測得它們的振動周期都是2s.現(xiàn)將兩物體都從平衡位置向右拉開5cm，然后先釋放a振子，經(jīng)過0.5s后，再釋放b振子.如果從b釋放時開始計時，求兩振子的振動表達式.在同一坐標(biāo)系中畫出兩者的振動曲線，并用旋轉(zhuǎn)矢量表示這兩個振動.解：因兩振子的周期相同，所以圓頻率也相同，其值為第三十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五設(shè)兩振子的振動表達式分別為現(xiàn)由初始條件來確定振幅和初相位.對振子b來說，t=0時，有由此可得則振子b的振動表達式為第三十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五對振子a來說，t=0時，它已開始振動了0.5s，由于兩振子完全相同，所以t=0時，a振子的位移和速度就是t=0.5s時b振子的位移和速度，即由此可得：因而振子a的振動表達式為第三十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五這就是說，a振子的振動相位要比b振子超前π/2.它們的振動曲線如圖（a）所示.用旋轉(zhuǎn)矢量表示，則如圖（b）所示.第三十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五例2：一質(zhì)量可忽略不計的彈簧下端，懸掛質(zhì)量為4kg的物體，彈簧伸長20cm，再把物體由靜止的平衡位置向下拉10cm，然后由靜止釋放并開始計時，試證明此振動為簡諧振動，并求：（1）物體的振動方程；（2）物體在平衡位置上方5cm處彈簧對物體的拉力；（3）物體從第一次越過平衡位置時刻起，到它運動到平衡位置上方5cm處所需要的最短時間.第三十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五解：如圖所示，以平衡位置為原點，向下為x軸的正方向，在掛物體達平衡位置時有當(dāng)物體離開平衡位置x距離時，彈簧實際的伸長量為（x+l0），則物體所受到的合外力為可見，物體所受到的合外力與水平放置的彈簧振子是相同的，因此，該振動是簡諧振動.第三十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五（1）由已知條件可知振動的圓頻率t=0時，x0=0.1m,v0=0,可得則振動方程為第三十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五（2）物體在平衡位置上方5cm處時（3）設(shè)t1時刻物體在平衡位置，此時x=0,即因為此時物體向上運動，所以由此可得第三十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五再設(shè)t2時刻物體在平衡位置上方0.05m處，此時x=-0.05m,即第三十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五例3：已知某質(zhì)點作簡諧振動的振動曲線如圖（a）所示，試求該質(zhì)點的振動方程.解：要求質(zhì)點的振動方程，即要求出振幅、圓頻率和初相.由振動曲線易看出振幅A.角頻率和初相可根據(jù)振動曲線用旋轉(zhuǎn)矢量法或解析法求出.下面分別用兩種方法求解.方法1：旋轉(zhuǎn)矢量法.由圖可見，，t=0時刻質(zhì)點的振動狀態(tài)為第三十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量OM如圖（b）所示.由圖可見，質(zhì)點在t=0時的振動初相為且有由圖（a）可見，t=0.5s時質(zhì)點的振動狀態(tài)為x=0,v>0;對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量為OP，即歷時Δt=0.5s,旋轉(zhuǎn)矢量從OA轉(zhuǎn)到了OP，共轉(zhuǎn)過了π/4，所以第四十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五故有質(zhì)點的振動方程：或：方法2：解析法.將t=0時刻代入振動方程，有第四十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五由圖（a）可知，t>0時質(zhì)點離開平衡位置的位移變小了，因此t=0時刻質(zhì)點的速度向著平衡位置，是正的，即所以，取初相已求出，故該質(zhì)點的振動方程為將t=0.5s時，x=0代入，有第四十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五即由于初相取的是負角，振動狀態(tài)從O點傳到P點需要0.5s，故這里也應(yīng)取負角，即得若初相取的是正角5π/4，則振動方程為將t=0.5s時，x=0代入，有第四十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五由于初相取的是正角，振動狀態(tài)從O點傳到P點需要0.5s，故這里也應(yīng)取正角，即即得故有質(zhì)點的振動方程：或：第四十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五例4：如圖所示，一質(zhì)點作簡諧振動，在一個周期內(nèi)相繼通過距離為12cm的兩點A、B，歷時2s，并且在A、B兩點處具有相同的速度；再經(jīng)過2s后，質(zhì)點又從另一方向通過B點.試求該質(zhì)點運動的周期和振幅.解：取坐標(biāo)Ox沿AB連線，坐標(biāo)原點處在A、B連線中點，如圖所示.設(shè)質(zhì)點的振動方程為由于，且，所以A、B兩點坐標(biāo)為第四十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五用旋轉(zhuǎn)矢量法求振幅.質(zhì)點從O點運動到B點所經(jīng)歷的時間為Δt=1s，旋轉(zhuǎn)矢量從P0點旋轉(zhuǎn)到PB點，轉(zhuǎn)過的角度為Δφ=ωΔt=π/4,如圖所示.在ΔOPBB中，有所以振幅由連續(xù)兩次從相反方向通過B點歷時2s知，T/4=2，T=8s.第四十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五例5：如圖所示，一彈簧振子沿x軸作簡諧振動，振子質(zhì)量m=2.5kg,彈簧的勁度系數(shù)k=250N/m,當(dāng)振子處于平衡位置右方且向x軸的負方向運動時開始計時（t=0），此時的動能Ek=0.2J,勢能Ep=0.6J，試求：（1）（t=0）時，振子的位移和速度；（2）系統(tǒng)的振動表達式.解：（1）由t=0時Ep=0.6J知，得第四十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五據(jù)題意可知，在t=0