湖北省黃石市2020-2021學年高一下學期期末考試-數(shù)學試題

2020-2021學年度下學期高一期末試題選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復數(shù)z=2i1-iA.-2 B.-2i C.-4 D.-2.設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是(A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面3.生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為(

)A.23 B.25C.354.已知某7個數(shù)的平均數(shù)為3，方差為3，現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)3，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為x，標準差為s，則(

)A.x=3，s>3B.x=3，s<3C.x>3，s<5.從集合{0,1，2，3}中隨機地取一個數(shù)a，從集合{2,4，6}中隨機地取一個數(shù)b，則向量m=(b,a)與n=(1,-2)12 B.13 C.146.在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BCA.3+33 B.92 C.3 7.在△ABC中，cosC=，AC=3，BC=4，則cosB=(?A．B．C．D．8.已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為4的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=9086π B.46π C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.某次數(shù)學考試的一道多項選擇題，要求是：“在每小題給出的四個選項中，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．”已知某選擇題的正確答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同學都不會做，下列表述正確的是(A.乙同學僅隨機選兩個選項，能得5分的概率是16

B.丙同學隨機選擇選項，能得分的概率是15

C.D.甲同學僅隨機選一個選項，能得3分的概率是110.某研究機構(gòu)為了實時掌握當?shù)匦略龈咚龠\行情況，在某服務區(qū)從小型汽車中抽取了80名駕駛員進行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段：[60,65),[65，70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)A.若從樣本中車速在[60,70)的車輛中任意抽取2輛，則車速都在[65,70)內(nèi)的概率為23

B.B.若從樣本中車速在[60,70)的車輛中任意抽取2輛，則至少有一輛車的車速在[65,70)的概率為1011

C.這80輛小型車輛車速的眾數(shù)的估計值為D.在該服務區(qū)任意抽取一輛車，估計車速超過75km/h的概率為11.已知α，β是空間中兩個不同的平面，m，n是空間中兩條不同的直線，則給出的下列說法中，正確的是(

)A.若m⊥α，n⊥α，則m?//?n B.若m?//?α，m?//?β，則α12.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且，側(cè)面PAD為

正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法正確的是(

)A.在棱AD上存在點M，使AD⊥平面PMB

B.異面直線AD與PB所成的角為90°

C.二面角P-BC-A的大小為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知向量，若，則.14.已知ΔABC的面積為33，AB=2,∠B=π3，則15.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為3cm，高為2cm，內(nèi)孔直徑為1cm，則此六角螺帽毛坯的體積是

cm3．16.已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為4若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________．四．解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a=-1,3，b(1)若a⊥b+(2)若ka+b與218.（12分）十九大提出：堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，做到精準扶貧，某省某科研機構(gòu)幫助某貧困縣的農(nóng)村村民真正脫貧，堅持扶貧同扶智相結(jié)合，積極引導該縣農(nóng)民種植一種名貴中藥材，從而大大提升了該村村民的經(jīng)濟收入．2019年年底，該機構(gòu)從該縣種植了這種名貴藥材的農(nóng)戶中隨機抽取了n戶，統(tǒng)計了他們2019年因種植中藥材所獲純利潤(單位：萬元)的情況(假定農(nóng)戶因種植中藥材這一項一年最多增加11萬元)，并分成以下幾組：[1,3)，[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11]，統(tǒng)計結(jié)果如下圖所示：純利潤[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11]頻數(shù)2030a4020已知樣本中數(shù)據(jù)落在[9,11]這一組的頻率為0．08(1)求n和表中a的值；(2)試估計該貧困縣農(nóng)戶因種植中藥材所獲純利潤的平均值和中位數(shù)及第80百分位數(shù)(19．（12分）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，點在邊上，．（1）證明：；（2）若，求．20.（12分）如圖，在三棱臺ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（Ⅰ）證明：EF⊥DB；（Ⅱ）求直線DF與平面DBC所成角的正弦值．21.（12分）關(guān)注大眾身體健康的同時，也需關(guān)注大眾的心理健康．某機構(gòu)為了解市民心理健康狀況，分別從不同地點隨機抽取若干人進行心理健康問卷調(diào)查評分(滿分100分)，繪制如下頻率分布直方圖，并將分數(shù)從低到高分為四個等級：問卷得分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]專項心理等級有隱患一般良好優(yōu)秀已知專項心理等級為一般的有680人．(1)求頻率分布直方圖中a的值及專項心理等級為有隱患的人數(shù)；(2)在專項心理等級為有隱患的市民中，老年人占23，中青年占13，現(xiàn)從該等級市民中按年齡分層抽取6人了解心理有隱患的具體原因，并從中選取(3)心理咨詢機構(gòu)與該市管理部門設定預案是：以抽取樣本為例，市民心理健康指數(shù)平均值不低于0.8，只需發(fā)放心理指導資料，否則需要舉辦心理健康大講堂．根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由．(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值為代表，心理健康指數(shù)=22.（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為BD的中點．證明：；若是邊長為2的等邊三角形，點在棱上，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．2020-2021學年度下學期高一期末試題答案和解析【答案】A解：復數(shù)z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=i-1，

則z+32.【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件3.【答案】C解：記3只測量過某項指標的兔子分別為A，B，C，

沒有測量過某項指標的兔子為D，E，

則從這5只兔子中隨機取出3只的所有情況為(A,B，C)，(A,B，D)，(A,B，E)，

(A,C，D)，(A,C，E)，(A,D，E)，

(B,C，D)，(B,C，E)，(B,D，E)，(C,D，E)，共10種，

恰有2只測量過該指標的所有情況有6種，

∴所求概率為610=3解：∵某7個數(shù)的平均數(shù)為3，方差為3，現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)3，

此時這8個數(shù)的平均數(shù)為x，標準差為s，方差為s2，

∴x=7×3+38=3解：從集合{0,1，2，3}中隨機地取一個數(shù)a，從集合{2,4，6}中隨機地取一個數(shù)b，基本事件總數(shù)N=12．

當向量m=(b,a)與向量n=(1,-2)垂直時，b=2a，滿足條件的基本事件有m=(2,1)(4,2)，(6,3)6.【答案】D解：如圖所示，

邊長為1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，

∴AB?AD=1×1×cos60°=12；又E7.【答案】D【解析】在中，，，，根據(jù)余弦定理：，，可得，即，即B=C【答案】A解：

設∠PAC=，PA=PB=PC=2x，EC=y，

因為E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，所以EF=12PB=x，AE=x，

在△PAC中，cosθ=4x2+16-4x22×2x×4=1x，

在△EAC中，cosθ=x2+16-y22×4x，

整理得x2-y2=-8，①

因為△ABC是邊長為4的正三角形，所以CF=23，

又∠CEF=90°，則x2+y2=12，②，

【答案】ABD

解A項，乙同學僅隨機選兩個選項有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種，

能得5分的情況為CD只有1種情況，所以能得5分的概率是16，正確；

B項，丙同學隨機選擇選項，選一個選項，有A、B、C、D共4種情況；

選兩個選項有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種；

選三個選項有ABC，ABD，ACD，BCD共4種，

選四個選項有ABCD共1種，所以共有4+6+4+1=15種情況，

能得分有C、D、CD共3種情況，所以能得分的概率是315=15，正確；

C項，丁同學隨機至少選擇兩個選項，選兩個選項有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種；

選三個選項有ABC，ABD，ACD，BCD共4種，選四個選項有ABCD共1種，

所以共有6+4+1=11種情況，

能得分有CDD項，甲同學僅隨機選一個選項，有A、B、C、D四種情況，

能得3分的有C或D，有2種，所以能得3分的概率是24=12解：A..結(jié)合以上分析，由古典概型的概率公式得從樣本中車速在60,70的車輛中任意抽取2輛，則車速都在65,70內(nèi)的概率為2866=14B.由圖知，車速在60,65的車輛數(shù)為0.010×5×80=4，

車速在65,70的車輛數(shù)為0.020×5×80=8，

則車速在60,70的車輛數(shù)為12，從中任意抽取2輛的所有可能情況有66種，

至少有一輛車的車速在65,70內(nèi)有兩類情況：

(1)車速在60,65內(nèi)與車速在65,70內(nèi)各一輛，其包含的情況有4×8=32種；

(2)2輛車速都在65,70內(nèi)，其包含的情況有28種，

故至少有一輛車的車速在65,70內(nèi)包含的情況有60種，

由古典概型的概率公式得，則至少有一輛車的車速在65,70的概率為6066=10C:在頻率分布直方圖中，眾數(shù)的估計值為最高矩形的中點對應的值75+802=77.5，故C正確；

D:車速超過75km/h?的頻率為0.060×5+0.050×5+0.020×5=0.65，用頻率估計概率，故D正確；

11.解：由線面垂直的性質(zhì)知，垂直于同一個平面的兩條直線互相平行，A正確；

若m?//?α，m?//?β，則α?//?β或α與β相交，B錯誤；

缺少條件m⊥n，α∩β=n，不能由面面垂直得到線面垂直，或者說m可能在平面α內(nèi)，C錯誤；

因為一條直線垂直于兩個平行平面中的一個也一定垂直于另一個，D正確．

12.【答案】ABC解：如圖所示，

對于A選項．取AD的中點M，連接PM，BM，連接對角線AC，BD相交于點O．

∵側(cè)面PAD為正三角形，∴PM⊥AD.又底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形．

∴AD⊥BM.又PM∩BM=M，PM、BM?平面PMB.∴AD⊥平面PMB，因此A正確．

對于B選項．由A可得：AD⊥平面PMB，PB?平面PMB，∴AD⊥PB，∴異面直線AD與PB所成的角為90°，正確．

對于C選項．∵平面PBC∩平面ABCD=BC，BC//AD，∴BC⊥平面PBM，又PB，BM?平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM．

∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角，設AB=1，則BM=32=PM，

在Rt△PBM中，tan∠PBM=PMBM=1，∴∠PBM=45°，因此C正確．

對于D選項．由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥BM，BM?平面ABCD，

∴BM⊥平面PAD，PA?平面PAD，則BM⊥PA，

若BD⊥平面PAC，PA?平面【答案】-5【答案】7

解：AB=2=c，

S?ABC=1所以b2=a2+c15.【答案】9解：六棱柱的體積為：6×12×3×3×sin60°×2=9316.【答案】【解析】因為母線，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因為的面積為，設母線長為所以，因為與圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為因此圓錐的側(cè)面積為17.【答案】解：(1)因為b=(-2,4)，c=2,m

，

∴b+c=∴

a·(b+c)=3(4+m)=0

，

∴m=-4

(2)由已知：ka+b=(∴-k-2×2-【答案】解：(1)由題意知n=200.08=250，∴a=250-20-30-40-20=140．（4分）

(2)計算可得樣本中的數(shù)據(jù)落在每個區(qū)間的頻率分別為，0.08，0.12，0.56，0.16，0.08，（6分）

所以農(nóng)戶種植中藥材所獲純利潤的平均值為

2×0.08+4×0.12+6×0.56+8×0.16+10×0.08=6.08(第80百分位數(shù)=7+0.8-0.08-0.12-0.560．16×2（1）在中，，，，聯(lián)立得，即，，．（3分）（2）因為，中，，中，，，，整理得，（7分），，，即或，（8分）若時，，則（舍），（10分）若，，則.（12分）20【答案】（Ⅰ）如圖，過點D作，交直線AC于點，連結(jié)OB．由，得，由平面ACFD⊥平面ABC得DO⊥平面ABC，所以.由，得.所以BC⊥平面BDO，故BC⊥DB．由三棱臺得，所以.（6分）（Ⅱ）過點作，交直線BD于點，連結(jié).由三棱臺得，所以直線DF與平面DBC所成角等于直線CO與平面DBC所成角.由平面得，故平面BCD，所以為直線CO與平面DBC所成角.設.由，得，所以，因此，直線DF與平