2024屆廣東省汕尾市數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆廣東省汕尾市數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末經(jīng)典試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的所有棱中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．2．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若方程恰有兩個(gè)不同實(shí)根，則正數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．4．把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象．給出下列四個(gè)命題①的值域?yàn)棰诘囊粋€(gè)對(duì)稱軸是③的一個(gè)對(duì)稱中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．45．若集合，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．6．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D是AB的中點(diǎn)，若，且，則面積的最大值是()A． B． C． D．7．以下四個(gè)命題：①兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1；②在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)的值判斷擬合效果，越小，模型的擬合效果越好；③若數(shù)據(jù)的方差為1，則的方差為4；④已知一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其線性回歸方程，則“滿足線性回歸方程”是“，”的充要條件；其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．4 B．3 C．2 D．18．定義在上的偶函數(shù)，對(duì)，，且，有成立，已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．9．已知F是雙曲線（k為常數(shù)）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．210．已知甲盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，乙盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，同時(shí)從甲乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換，（a）交換后，從甲盒子中取1個(gè)球是紅球的概率記為.（b）交換后，乙盒子中含有紅球的個(gè)數(shù)記為.則（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．12．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）①命題“若，則”的否命題；②命題“若，則或”；③命題“若，則直線與直線平行”的逆命題.A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā)，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我省某醫(yī)院選派2名醫(yī)生，6名護(hù)士到湖北、兩地參加疫情防控工作，每地一名醫(yī)生，3名護(hù)士，其中甲乙兩名護(hù)士不到同一地，共有__________種選派方法.14．已知公差大于零的等差數(shù)列中，、、依次成等比數(shù)列，則的值是__________．15．過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值是______.16．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的模為_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知件次品和件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束．（1）求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；（2）已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用元，設(shè)表示直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用（單位：元），求的分布列．18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）若函數(shù)在是單調(diào)遞減的函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：.19．（12分）若養(yǎng)殖場(chǎng)每個(gè)月生豬的死亡率不超過(guò)，則該養(yǎng)殖場(chǎng)考核為合格，該養(yǎng)殖場(chǎng)在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤(rùn)/十萬(wàn)元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145（1）從該養(yǎng)殖場(chǎng)2019年2月到6月這5個(gè)月中任意選取3個(gè)月，求恰好有2個(gè)月考核獲得合格的概率；（2）根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù)，求出月利潤(rùn)y（十萬(wàn)元）關(guān)于月養(yǎng)殖量x（千只）的線性回歸方程（精確到0.001）.（3）預(yù)計(jì)在今后的養(yǎng)殖中，月利潤(rùn)與月養(yǎng)殖量仍然服從（2）中的關(guān)系，若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬(wàn)只，試估計(jì)：該月利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？附：線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計(jì)計(jì)算公式如下：，參考數(shù)據(jù)：.20．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且曲線的左焦點(diǎn)在直線上.（Ⅰ）求的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；（Ⅱ）求曲線的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最大值.21．（12分）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，，，為正三角形，且平面平面，、分別為、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求幾何體的體積.22．（10分）已知函數(shù)（1）若，求證：（2）若，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用正方體將三視圖還原，觀察可得最長(zhǎng)棱為AD，算出長(zhǎng)度.【題目詳解】幾何體的直觀圖如圖所示，易得最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三視圖還原幾何體的問(wèn)題，其中利用正方體作襯托是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

由余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為，要想在括號(hào)內(nèi)構(gòu)造變?yōu)檎液瘮?shù)，至少需要向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即為答案.【題目詳解】由題可知，對(duì)其向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，，其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱故的最小值為故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)圖象性質(zhì)與平移變換，還考查了余弦的二倍角公式逆運(yùn)用，屬于簡(jiǎn)單題.3、D【解題分析】

當(dāng)時(shí)，函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個(gè)不同實(shí)根，即函數(shù)和有圖像兩個(gè)交點(diǎn)，計(jì)算，，根據(jù)圖像得到答案.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：方程，即，即函數(shù)和有兩個(gè)交點(diǎn).，，故，，，，.根據(jù)圖像知：.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.4、C【解題分析】

由圖象變換的原則可得,由可求得值域；利用代入檢驗(yàn)法判斷②③；對(duì)求導(dǎo),并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.【題目詳解】由題,,則向右平移個(gè)單位可得,,的值域?yàn)?①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí),,所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,②正確；當(dāng)時(shí),,所以的一個(gè)對(duì)稱中心是,③正確；,則,使得,則在和處的切線互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個(gè).故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的圖像變換,考查代入檢驗(yàn)法判斷余弦型函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.5、D【解題分析】

由題意，分析即得解【題目詳解】由題意，故，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關(guān)系，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

根據(jù)正弦定理可得，求出，根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方，求的最大值，根據(jù)三角形面積公式，求出面積的最大值.【題目詳解】中，，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，得.D是AB的中點(diǎn)，且，，即，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.的面積，所以面積的最大值為.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.7、C【解題分析】

①根據(jù)線性相關(guān)性與r的關(guān)系進(jìn)行判斷,

②根據(jù)相關(guān)指數(shù)的值的性質(zhì)進(jìn)行判斷,

③根據(jù)方差關(guān)系進(jìn)行判斷,

④根據(jù)點(diǎn)滿足回歸直線方程，但點(diǎn)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，而回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)，可進(jìn)行判斷.【題目詳解】①若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1,故①正確;

②用相關(guān)指數(shù)的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故②錯(cuò)誤;

③若統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的方差為1,則的方差為,故③正確;

④因?yàn)辄c(diǎn)滿足回歸直線方程，但點(diǎn)不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，即，不一定成立，而回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)必滿足線性回歸方程；因此“滿足線性回歸方程”是“，”必要不充分條件.故④錯(cuò)誤;

所以正確的命題有①③.

故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性，擬合性檢驗(yàn)，兩個(gè)線性相關(guān)的變量間的方差的關(guān)系，以及兩個(gè)變量的線性回歸方程，注意理解每一個(gè)量的定義，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【題目詳解】解：對(duì)，，且，有在上遞增因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因?yàn)?，，所以故選：A【題目點(diǎn)撥】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

分析可得,再去絕對(duì)值化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)形式,進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【題目詳解】當(dāng)時(shí),等式不是雙曲線的方程；當(dāng)時(shí),,可化為,可得虛半軸長(zhǎng),所以點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的方程與點(diǎn)到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】分析：首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)的事件有哪些結(jié)果，從而得到對(duì)應(yīng)的概率的大小，再者就是對(duì)隨機(jī)變量的值要分清，對(duì)應(yīng)的概率要算對(duì)，利用公式求得其期望.詳解：根據(jù)題意有，如果交換一個(gè)球，有交換的都是紅球、交換的都是藍(lán)球、甲盒的紅球換的乙盒的藍(lán)球、甲盒的藍(lán)球交換的乙盒的紅球，紅球的個(gè)數(shù)就會(huì)出現(xiàn)三種情況；如果交換的是兩個(gè)球，有紅球換紅球、藍(lán)球換藍(lán)球、一藍(lán)一紅換一藍(lán)一紅、紅換藍(lán)、藍(lán)換紅、一藍(lán)一紅換兩紅、一藍(lán)一紅換亮藍(lán)，對(duì)應(yīng)的紅球的個(gè)數(shù)就是五種情況，所以分析可以求得，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)隨機(jī)事件的概率以及對(duì)應(yīng)的期望的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要對(duì)其對(duì)應(yīng)的事件弄明白，對(duì)應(yīng)的概率會(huì)算，以及變量的可取值會(huì)分析是多少，利用期望公式求得結(jié)果.11、B【解題分析】

可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.【題目詳解】在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識(shí)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.12、C【解題分析】

否命題與逆命題是等價(jià)命題，寫出①的逆命題，舉反例排除；原命題與逆否命題是等價(jià)命題，寫出②的逆否命題后，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗(yàn)證正確；寫出③的逆命題判，利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【題目詳解】①的逆命題為“若，則”，令，可知該命題為假命題，故否命題也為假命題；②的逆否命題為“若且，則”，該命題為真命題，故②為真命題；③的逆命題為“若直線與直線平行，則”，該命題為真命題.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路：(1)判斷一個(gè)命題的真假時(shí)，首先要弄清命題的結(jié)構(gòu)，即它的條件和結(jié)論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行判斷．(2)當(dāng)一個(gè)命題改寫成“若，則”的形式之后，判斷這個(gè)命題真假的方法：①若由“”經(jīng)過(guò)邏輯推理，得出“”，則可判定“若，則”是真命題；②判定“若，則”是假命題，只需舉一反例即可．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、24【解題分析】

先求出每地一名醫(yī)生，3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)，再減去甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)即可.【題目詳解】解：每地一名醫(yī)生，3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)有，若甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)有，則甲乙兩名護(hù)士不到同一地的種數(shù)有.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用間接法求排列組合問(wèn)題，正難則反，是基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)求出公差與的關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化求解的值.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由于、、依次成等比數(shù)列，則，即，，解得，因此，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

由切線的性質(zhì)，可知，切由直角三角形PAO，PBO，即可設(shè)，進(jìn)而表示，由圖像觀察可知進(jìn)而求出x的范圍，再用的式子表示，整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.【題目詳解】由題可知，，設(shè)，由切線的性質(zhì)可知，則顯然，則或（舍去）因?yàn)榱?，則，由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知其在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查在以直線與圓的位置關(guān)系為背景下求向量數(shù)量積的最值問(wèn)題，應(yīng)用函數(shù)形式表示所求式子，進(jìn)而利用分析函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求得最值，屬于較難題.16、【解題分析】

利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可.【題目詳解】解：由，得，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解題分析】

（1）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可計(jì)算出所求事件的概率；（2）由題意可知隨機(jī)變量的可能取值有、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，由此可得出隨機(jī)變量的分布列.【題目詳解】（1）記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件，則；（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為、、．則，，．故的分布列為【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了隨機(jī)變量分布列，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）（2）證明見解析【解題分析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由在上恒成立，采用分離參數(shù)法求解；（2）觀察函數(shù)，不等式湊配后知，利用時(shí)可證結(jié)論．【題目詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即在上恒成立因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞減的，所以，所以（2）因?yàn)?，所以由?）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減所以即所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式．解題關(guān)鍵是把不等式與函數(shù)的結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，利用函數(shù)的特例得出不等式的證明．19、（1）；（2）；（3）利潤(rùn)約為111.2萬(wàn)元.【解題分析】

（1）首先列出基本事件，然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個(gè)月合格的概率；（2）首先求出利潤(rùn)y和養(yǎng)殖量x的平均值，然后根據(jù)公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程；（3）根據(jù)線性回歸方程代入9月份的數(shù)據(jù)即可求出9月利潤(rùn).【題目詳解】（1）2月到6月中，合格的月份為2，3，4月份，則5個(gè)月份任意選取3個(gè)月份的基本事件有，，，，，，，，，，共計(jì)10個(gè)，故恰好有兩個(gè)月考核合格的概率為；（2），，，，故；（3）當(dāng)千只，（十萬(wàn)元）（萬(wàn)元），故9月份的利潤(rùn)約為111.2萬(wàn)元.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了古典概型，線性回歸方程的求解和使用，屬于基礎(chǔ)題.20、（Ⅰ）曲線的參數(shù)方程為：(為參數(shù))；的極坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）16.【解題分析】

(

I

)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；(

II

)利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，即可求出結(jié)果.【題目詳解】(Ⅰ)由題意：曲線的直角坐標(biāo)方程為：，所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，因?yàn)橹本€的直角坐標(biāo)方程為：，又因曲線的左焦點(diǎn)為，將其代入中，得到，所以的極坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）設(shè)橢圓的內(nèi)接矩形的頂點(diǎn)為，，，，所以橢圓的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為：，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，橢圓的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)取得最大值16.【題目點(diǎn)撥】本題考查了曲線的參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程間的互化，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，極徑的應(yīng)用，考查學(xué)生的求解運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型.21、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）由題可知，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)，得出，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，所以，再利用線面平行的判定定理即可證出平面；（2）由于平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，得出平面，從而得出到平面的距離為，結(jié)合棱錐的體積公式，即可求得結(jié)果.【題目詳解】解：（1）∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，