線段垂直平分線1

3第1課時(shí)線段的垂直平分線

如圖，A、B表示兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置?創(chuàng)設(shè)情境拿出準(zhǔn)備好的紙，按照下圖的樣子進(jìn)行對(duì)折，并比較對(duì)折之后的折痕EB和EB′，F(xiàn)B和FB′的關(guān)系.BB′EFEFB(B′)折痕EB=EB′，F(xiàn)B=FB′線段垂直平分線的性質(zhì)我們利用折紙的辦法得到：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．在數(shù)學(xué)中，光靠觀察是不夠的，還需要理性的證明.如何證明這個(gè)結(jié)論呢？已知：如圖所示，直線MN⊥AB，垂足是C，并且AC=BC，P是MN上任一點(diǎn).求證：PA=PB.證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.又∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴PA=PB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.由證明過(guò)程可以看出，兩組對(duì)應(yīng)線段分別相等，那么這個(gè)事實(shí)的幾何意義是什么？

定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.ABCNPM你能寫(xiě)出上面這個(gè)定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?當(dāng)我們寫(xiě)出逆命題時(shí)，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說(shuō)明．逆命題：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.線段垂直平分線的判定想一想：如果PA=PB,那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？記得要分點(diǎn)P在線段AB上及線段AB外兩種情況來(lái)討論（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，∵PA=PB，∴點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時(shí)，如右圖所示.∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.過(guò)頂點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，∴底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線.即PC⊥AB，且AC=BC.∴直線PC是線段AB的垂直平分線，此時(shí)點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.

到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：幾何語(yǔ)言：∵

PA=PB，∴點(diǎn)P

在AB

的垂直平分線上．PAB作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.BCOA證明：∵AB=AC，∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.同理，點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上.∴直線AO垂直平分線段BC（兩點(diǎn)確定一條直線）.例題：已知：如圖△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.證明：∵AB=AC，

∴A在線段BC的垂直平分線（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.同理，點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線.∴直線AO是線段BC的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）.你還有其他證明方法嗎？利用三角形的全等證明證明：延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO（SSS）.∴∠BAO=∠CAO，∵AB=AC，∴AO⊥BC．∵OB＝OC，OD＝OD，∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）.∴BD＝CD.∴直線AO垂直平分線段BC.鞏固練習(xí)1．如圖，∠BAC=130°，若MP和QN分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ等于（）

A．50°

B．75°

C．80°

D．105°2．如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，BC=13cm，則△AEG的周長(zhǎng)為（）

A．6.5cm

B．13cm

C．26cm

D．15cm檢測(cè)達(dá)標(biāo)，探究拓展1．如圖，△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=4cm，△ABD的周長(zhǎng)為14cm，則△ABC的周長(zhǎng)為（）

A．18cm

B．22cm

C．24cm

D．26cm2．如圖，銳角三角形ABC中，直線L為BC的中垂線，直線M為∠ABC的角平分線，L與M相交于P點(diǎn)．若∠A=60°，∠ACP=24°，則∠ABP的度數(shù)為（）

（三）課堂小結(jié)，框架