平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)

第三章函數(shù)第一節(jié)平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)真題演練考點研讀命題探究總綱目錄隨堂檢測真題演練命題點一平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征1.(2020河南)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,邊BC在x軸上,頂點A,B的坐標(biāo)分別

為(-2,6),(7,0).將正方形OCDE沿x軸向右平移,當(dāng)點E落在AB邊上時,點D的坐

標(biāo)為

(

B)A.

B.(2,2)

C.

D.(4,2)解析如圖,設(shè)正方形O'C'D'E'是正方形OCDE沿x軸向右平移后,點E落在AB

邊上時的正方形,

∵頂點A,B的坐標(biāo)分別為(-2,6),(7,0),∴AC=6,OC=2,OB=7,∴BC=9,∵四邊形OCDE是正方形,∴DE=OC=OE=2,∴E'O'=O'C'=2,∵E'O'⊥BC,∴∠BO'E'=∠ACB=90°,∴E'O'∥AC,∴△E'BO'∽△ABC,∴

=

,即

=

,∴BO'=3,∴OC'=7-2-3=2,∴點D'的坐標(biāo)為(2,2),即當(dāng)點E落在AB邊上時,點D的坐標(biāo)為(2,2),故選B.2.(2015河南)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,半徑均為1個單位長度的半圓O1,O2,O3,…組成一條平滑的曲線.點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動,速度為每秒

個單位長度,則第2015秒時,點P的坐標(biāo)是(

B)

A.(2014,0)

B.(2015,-1)C.(2015,1)

D.(2016,0)解析半徑為1個單位長度的半圓的周長為

×2π×1=π,∵點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動,速度為每秒

個單位長度,∴點P每秒走

個半圓.當(dāng)點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動,運(yùn)動時間為1秒時,點P的坐標(biāo)為(1,1);當(dāng)點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動,運(yùn)動時間為2秒時,點P的坐標(biāo)為(2,0);當(dāng)點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動,運(yùn)動時間為3秒時,點P的坐標(biāo)為(3,-1);當(dāng)點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動,運(yùn)動時間為4秒時,點P的坐標(biāo)為(4,0);當(dāng)點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動,運(yùn)動時間為5秒時,點P的坐標(biāo)為(5,1);當(dāng)點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動,運(yùn)動時間為6秒時,點P的坐標(biāo)為(6,0);……∵2015÷4=503……3,∴第2015秒時,點P的坐標(biāo)是(2015,-1).故選B.命題點二函數(shù)圖象的分析與識別(高頻考點)3.(2018河南)如圖1,點F從菱形ABCD的頂點A出發(fā),沿A→D→B以1cm/s的速

度勻速運(yùn)動到點B.圖2是點F運(yùn)動時,△FBC的面積y(cm2)隨時間x(s)變化的關(guān)

系圖象,則a的值為

(

C)

圖1

圖2A.

B.2

C.

D.2

解析如圖,過點D作DE⊥BC于點E.

由題易知AD=DC=a,在菱形ABCD中,當(dāng)點F在AD上時,y=

BC·DE,即a=

·a·DE,∴DE=2.由題意知DB=

,在Rt△DEB中,BE=

=1,∴EC=a-1.在Rt△DEC中,DE2+EC2=DC2,∴22+(a-1)2=a2,解得a=

.故選C.4.(2017河南)如圖1,點P從△ABC的頂點B出發(fā),沿B→C→A勻速運(yùn)動到點A,圖

2是點P運(yùn)動時,線段BP的長度y隨時間x變化的關(guān)系圖象,其中M為曲線部分的

最低點,則△ABC的面積是

12

.

圖1圖2解析由題圖可得BC=BA=5,當(dāng)BP⊥AC時,BP=4.如圖,過點B作BD⊥AC于D,則BD=4,∴AD=CD=

=

=3,∴AC=6,∴S△ABC=

AC·BD=

×6×4=12.

5.(2020河南)小亮在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題:如圖,點D是

上一動點,線段BC=8cm,點A是線段BC的中點,過點C作CF∥BD,交DA的延長線于點F.當(dāng)△DCF為等腰三角形時,求線段BD的長度.小亮分析發(fā)現(xiàn),此問題很難通過常規(guī)的推理計算徹底解決,于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)

函數(shù)的經(jīng)驗研究此問題.請將下面的探究過程補(bǔ)充完整:(1)根據(jù)點D在

上的不同位置,畫出相應(yīng)的圖形,測量線段BD,CD,FD的長度,得到下表中的幾組對應(yīng)值.BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中發(fā)現(xiàn):①“當(dāng)點D為

的中點時,BD=5.0cm”.則上表中a的值是

5.0

;②“線段CF的長度無需測量即可得到”.請簡要說明理由;(2)將線段BD的長度作為自變量x,CD和FD的長度都是x的函數(shù),分別記為yCD

和yFD,并在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出了函數(shù)yFD的圖象,如圖所示.請在同一坐

標(biāo)系中畫出函數(shù)yCD的圖象;(3)繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象,并結(jié)合圖象直接寫出:當(dāng)△DCF為等腰三角形時,線段BD長度的近似值(結(jié)果保留一位小數(shù)).解析(1)①5.0∵點D為

的中點,∴

=

,∴BD=CD=a=5.0cm.②∵點A是線段BC的中點,∴AB=AC,∵CF∥BD,∴∠F=∠BDA,又∵∠BAD=∠CAF,∴△BAD≌△CAF(AAS),∴BD=CF,∴線段CF的長度無需測量即可得到.(2)函數(shù)yCD的圖象如圖所示.

(3)函數(shù)yCF的圖象如圖所示.當(dāng)△DCF為等腰三角形時,BD長度的近似值為3.8cm或5.0cm或6.2cm.考點一有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標(biāo)系考點二平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征考點三函數(shù)及其圖象考點四函數(shù)自變量的取值范圍和函數(shù)值的確定考點研讀考點一有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標(biāo)系1.有序?qū)崝?shù)對:有順序的兩個實數(shù)a和b組成的實數(shù)對叫做①

有序?qū)崝?shù)對

,

利用有序?qū)崝?shù)對可以準(zhǔn)確地表示一個點的②

位置

.溫馨提示

有序?qū)崝?shù)對和平面直角坐標(biāo)系中的點是一一對應(yīng)的.2.平面直角坐標(biāo)系:在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點③

重合

的數(shù)軸,就組

成了平面直角坐標(biāo)系.水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸,豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱

軸,兩條坐標(biāo)軸的交點為平面直角坐標(biāo)系的原點.考點二平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征1.坐標(biāo)平面內(nèi)點的坐標(biāo)特征(1)各象限中點的坐標(biāo)的符號特征

(2)坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)特征

如圖所示:(3)象限角平分線上點的坐標(biāo)特征

_________2.坐標(biāo)平面內(nèi)對稱點的坐標(biāo)特征

口訣速記:關(guān)于誰對稱誰不變,關(guān)于原點對稱全都變.3.坐標(biāo)平面內(nèi)平移的點的坐標(biāo)特征

注:a>0.口訣速記:左右平移,橫坐標(biāo)左減右加,縱坐標(biāo)不變;上下平移,縱坐標(biāo)上加下減,橫坐標(biāo)不變.簡記為“左減右加,上加下減”.4.點到坐標(biāo)軸及原點的距離(1)點P(a,b)到x軸的距離為|b|;(2)點P(a,b)到y(tǒng)軸的距離為

|a|

;(3)點P(a,b)到原點的距離為

.考點三函數(shù)及其圖象1.函數(shù)的概念在某一變化過程中有兩個變量x和y,如果對于x的每一個值,y都有

唯一確定

的值與它對應(yīng),那么稱x是

自變量

,y是關(guān)于x的函數(shù).溫馨提示

(1)變量:某一變化過程中可以取不同數(shù)值的量叫做變量.(2)常量:某一變化過程中保持不變的數(shù)值的量叫做常量.2.函數(shù)的表示方法函數(shù)有三種表示方法,分別是列表法、

圖象法

、解析法,在解決一些與函數(shù)有關(guān)的問題時,有時可以同時用兩種或兩種以上的方法來表示函數(shù).3.函數(shù)的圖象一般地,對于一個函數(shù),如果把自變量與函數(shù)的每個對應(yīng)值分別當(dāng)作點的橫、

縱坐標(biāo),那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖象,就是這個函數(shù)的圖象.4.函數(shù)圖象的畫法:列表、

描點

、連線.考點四

函數(shù)自變量的取值范圍和函數(shù)值的確定1.函數(shù)自變量的取值范圍的確定函數(shù)表達(dá)式類型自變量的取值范圍整式型(如y=3x+5)一切實數(shù)分式型

使分母

不為0

的一切實數(shù)偶次根式型(一般為二次根式,如y=

)被開方數(shù)必須是

非負(fù)數(shù)(大于或等于0的數(shù))

0次冪或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪型底數(shù)不為0混合型

使所有式子同時有意義,可列不等式組求其

解集

實際問題型除使函數(shù)表達(dá)式本身有意義外,還要考慮問題的

實際意義2.函數(shù)值的確定y是關(guān)于x的函數(shù),如果當(dāng)x=a時,y=b,那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時的函數(shù)值.易錯警示函數(shù)自變量的取值范圍確定時的常見錯誤識別正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“?”).1.在函數(shù)y=

中,自變量x的取值范圍是x>-1且x≠0.

(

?)2.在函數(shù)y=(x+1)0+

中,自變量x的取值范圍是x≤0.

(

?)3.汽車油箱容量為40升,每百千米耗油8升,則汽車油箱剩余油量Q(升)與行駛

的路程x(百千米)的關(guān)系式為Q=40-8x(x>0).

(

?)命題探究探究點一平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征探究點二函數(shù)自變量的取值范圍的確定探究點三函數(shù)圖象的分析與識別(高頻考點)探究點一平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征例1已知點P(a-3,2-a)關(guān)于原點對稱的點在第四象限,則a的取值范圍在數(shù)軸

上表示正確的是

(

C)

解析∵點P(a-3,2-a)關(guān)于原點對稱的點在第四象限,∴點P(a-3,2-a)在第二

象限,∴

解得

∴不等式組的解集是a<2,在數(shù)軸上表示如選項C所示.故選C.1-1已知點P(m+2,2m-4)在x軸上,則點P的坐標(biāo)是

(

A)A.(4,0)

B.(0,4)

C.(-4,0)

D.(0,-4)解析∵點P(m+2,2m-4)在x軸上,∴2m-4=0,解得m=2,∴m+2=4,∴點P的坐標(biāo)是(4,0).故選A.1-2在平面直角坐標(biāo)系中,將點A(1,-2)向上平移3個單位長度,再向左平移2

個單位長度,得到點B,則點B的坐標(biāo)是

(

A)A.(-1,1)

B.(3,1)

C.(4,-4)

D.(4,0)解析

將點A(1,-2)向上平移3個單位長度,再向左平移2個單位長度,得到(1-2,

-2+3),即B(-1,1).故選A.方法技巧熟練掌握平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征是解答此類問題的關(guān)

鍵.如根據(jù)點的坐標(biāo)的符號特征與點的位置之間的對應(yīng)關(guān)系即可快速確定該

點的位置或有關(guān)字母的取值范圍;根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于x軸、y軸、原

點對稱的兩點的坐標(biāo)特征即可確定相關(guān)點的坐標(biāo)或字母的值;根據(jù)平面直角

坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)平移規(guī)律(左減右加,上加下減),即可確定相關(guān)點的坐標(biāo),

解決相關(guān)的問題.探究點二函數(shù)自變量的取值范圍的確定例2

(2020許昌長葛一模)在函數(shù)y=

中,自變量x的取值范圍是

x≥0且x≠3

.解析由題意,得x≥0且x-3≠0,解得x≥0且x≠3.2-1下列函數(shù)中,自變量x的取值范圍是x>3的是

(

D)A.y=x-3

B.y=

C.y=

D.y=

2-2在函數(shù)y=

中,自變量x的取值范圍是

(

A)A.x>2

B.x≥2

C.x<2

D.x≤2解析由題意得,x-2>0,解得x>2.故選A.2-3

(2020原創(chuàng))在函數(shù)y=

+(x-1)0中,自變量x的取值范圍是

x>-2且x≠1

.方法技巧對于含分式、根式等混合型函數(shù)求自變量的取值范圍的題目類

型,先求出各式的取值范圍,再取公共解集是解此類題的關(guān)鍵.探究點三函數(shù)圖象的分析與識別(高頻考點)例3

(2019南陽宛城一模)如圖1,在菱形ABCD中,∠B=60°,動點P以每秒1個

單位長度的速度自點A出發(fā)沿線段AB運(yùn)動到點B,同時動點Q以每秒2個單位

長度的速度自點B出發(fā)沿B→C→D運(yùn)動到點D.圖2是點P,Q運(yùn)動時,△BPQ的

面積S隨時間t變化的關(guān)系圖象,則a的值是

(

D)

A.2

B.2.5

C.3

D.2

解析由題圖2得,t=4秒時兩點停止運(yùn)動,∴點P以每秒1個單位長度的速度從點A運(yùn)動到點B用了4秒,∴AB=4.∵點Q運(yùn)動到點C之前和之后,△BPQ面積的算法不同,即t=2秒時,S關(guān)于t的函

數(shù)解析式發(fā)生變化,∴題圖2中點M對應(yīng)的橫坐標(biāo)為2,此時P為AB的中點,點Q與點C重合,連接AC,在菱形ABCD中,AB=BC=4,∠B=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴CP⊥AB,BP=

AB=2,∴CP=

=

=2

,∴a=S=

BP·CP=

×2×2

=2

.故選D.3-1

(2019鄭州外國語中學(xué)模擬)如圖,正方形ABCD的邊長為4,點P,Q分別是

CD,AD的中點,動點E從點A向點B運(yùn)動,到點B時停止運(yùn)動;同時,動點F從點P

出發(fā),沿P→D→Q運(yùn)動,點E,F的運(yùn)動速度相同.設(shè)點E的運(yùn)動路程為x,△AEF的

面積為y,則能大致刻畫y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是

(

A)

解析當(dāng)點F在PD上運(yùn)動時,△AEF的面積y=

AE·AD=2x(0≤x≤2);當(dāng)點F在DQ上運(yùn)動時,△AEF的面積y=

AE·AF=

x(6-x)=-

x2+3x(2<x≤4).故選A.3-2

從某容器口以均勻的速度注入酒精,若液面高度h隨時間t的變化情況如

圖,則對應(yīng)容器的形狀為(

C)

方法技巧在幾何圖形中以動點為背景的函數(shù)圖象的分析與識別類題型,通

常有兩類:第一類,直接由幾何圖形中的動點運(yùn)動的路線,分析、判斷和識別

對應(yīng)的函數(shù)圖象,一般解題思路有兩種:①根據(jù)題干中給出的時間t(或線段

長x),先找因變量與t(或x)之間存在的函數(shù)關(guān)系,用含t(或x)的式子表示,再找相

對應(yīng)的函數(shù)圖象,要注意自變量的取值范圍是否需要分類討論;②根據(jù)題干中

給出的時間t(或線段長x),先定性地判斷出函數(shù)的增減性,再識別出正確的函

數(shù)圖象.第二類,與“幾何圖形中的動點——函數(shù)圖象”相關(guān)的計算題,通常

借助幾何圖形中動點的運(yùn)動路線與其對應(yīng)的函數(shù)圖象所蘊(yùn)含的數(shù)據(jù)信息分析求解.隨堂檢測一、選擇題1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將四邊形ABCD先向下平移,再向右平移得

到四邊形A1B1C1D1,已知A(-3,5),B(-4,3),A1(3,3),則點B1的坐標(biāo)為

(

B)A.(1,2)

B.(2,1)

C.(1,4)

D.(4,1)2.下列曲線中表示y是x的函數(shù)的是

(

C)

3.(2019開封二模)小明家、食堂、圖書館在同一條直線上,小明從家去食堂

吃早餐,接著去圖書館讀報,然后回家,如圖反映了在這個過程中小明與家之

間的距離y(km)與時間x(min)之間的對應(yīng)關(guān)系,根據(jù)圖象,下列說法正確的是

(

C)A.小明吃早餐用了25minB.食堂與圖書館之間的距離為0.6kmC.小明讀報用了30minD.小明從圖書館回家的速度為0.8km/min解析由題圖可得,小明吃早餐用了25-8=17(min),A錯誤;食堂與圖書館之間的距離為0.8-0.6=0.2(km),B錯誤;小明讀報用了58-28=30(min),C正確;小明從圖書館回家的速度為0.8÷(68-58)=0.08(km/min),D錯誤.故選C.4.(2020河南模擬)如圖1,正方形ABCD,EFGH的中心P,Q都在直線l上.EF⊥l,AC=EH,正方形ABCD以1cm/s的速度沿直線l向右移動,當(dāng)點C與HG的中點I重合時停止移動,設(shè)移動時間