平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)

第三章函數(shù)第一節(jié)平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)真題演練考點(diǎn)研讀命題探究總綱目錄隨堂檢測(cè)真題演練命題點(diǎn)一平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征1.(2020河南)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,邊BC在x軸上,頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別

為(-2,6),(7,0).將正方形OCDE沿x軸向右平移,當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上時(shí),點(diǎn)D的坐

標(biāo)為

(

B)A.

B.(2,2)

C.

D.(4,2)解析如圖,設(shè)正方形O'C'D'E'是正方形OCDE沿x軸向右平移后,點(diǎn)E落在AB

邊上時(shí)的正方形,

∵頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-2,6),(7,0),∴AC=6,OC=2,OB=7,∴BC=9,∵四邊形OCDE是正方形,∴DE=OC=OE=2,∴E'O'=O'C'=2,∵E'O'⊥BC,∴∠BO'E'=∠ACB=90°,∴E'O'∥AC,∴△E'BO'∽△ABC,∴

=

,即

=

,∴BO'=3,∴OC'=7-2-3=2,∴點(diǎn)D'的坐標(biāo)為(2,2),即當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2),故選B.2.(2015河南)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,半徑均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的半圓O1,O2,O3,…組成一條平滑的曲線.點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng),速度為每秒

個(gè)單位長(zhǎng)度,則第2015秒時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(

B)

A.(2014,0)

B.(2015,-1)C.(2015,1)

D.(2016,0)解析半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的半圓的周長(zhǎng)為

×2π×1=π,∵點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng),速度為每秒

個(gè)單位長(zhǎng)度,∴點(diǎn)P每秒走

個(gè)半圓.當(dāng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1);當(dāng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0);當(dāng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3秒時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,-1);當(dāng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4秒時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0);當(dāng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5秒時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,1);當(dāng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6秒時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,0);……∵2015÷4=503……3,∴第2015秒時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2015,-1).故選B.命題點(diǎn)二函數(shù)圖象的分析與識(shí)別(高頻考點(diǎn))3.(2018河南)如圖1,點(diǎn)F從菱形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā),沿A→D→B以1cm/s的速

度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B.圖2是點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí),△FBC的面積y(cm2)隨時(shí)間x(s)變化的關(guān)

系圖象,則a的值為

(

C)

圖1

圖2A.

B.2

C.

D.2

解析如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E.

由題易知AD=DC=a,在菱形ABCD中,當(dāng)點(diǎn)F在AD上時(shí),y=

BC·DE,即a=

·a·DE,∴DE=2.由題意知DB=

,在Rt△DEB中,BE=

=1,∴EC=a-1.在Rt△DEC中,DE2+EC2=DC2,∴22+(a-1)2=a2,解得a=

.故選C.4.(2017河南)如圖1,點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā),沿B→C→A勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,圖

2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),線段BP的長(zhǎng)度y隨時(shí)間x變化的關(guān)系圖象,其中M為曲線部分的

最低點(diǎn),則△ABC的面積是

12

.

圖1圖2解析由題圖可得BC=BA=5,當(dāng)BP⊥AC時(shí),BP=4.如圖,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D,則BD=4,∴AD=CD=

=

=3,∴AC=6,∴S△ABC=

AC·BD=

×6×4=12.

5.(2020河南)小亮在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖,點(diǎn)D是

上一動(dòng)點(diǎn),線段BC=8cm,點(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CF∥BD,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.當(dāng)△DCF為等腰三角形時(shí),求線段BD的長(zhǎng)度.小亮分析發(fā)現(xiàn),此問(wèn)題很難通過(guò)常規(guī)的推理計(jì)算徹底解決,于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)

函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)研究此問(wèn)題.請(qǐng)將下面的探究過(guò)程補(bǔ)充完整:(1)根據(jù)點(diǎn)D在

上的不同位置,畫出相應(yīng)的圖形,測(cè)量線段BD,CD,FD的長(zhǎng)度,得到下表中的幾組對(duì)應(yīng)值.BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中發(fā)現(xiàn):①“當(dāng)點(diǎn)D為

的中點(diǎn)時(shí),BD=5.0cm”.則上表中a的值是

5.0

;②“線段CF的長(zhǎng)度無(wú)需測(cè)量即可得到”.請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;(2)將線段BD的長(zhǎng)度作為自變量x,CD和FD的長(zhǎng)度都是x的函數(shù),分別記為yCD

和yFD,并在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出了函數(shù)yFD的圖象,如圖所示.請(qǐng)?jiān)谕蛔?/p>

標(biāo)系中畫出函數(shù)yCD的圖象;(3)繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象,并結(jié)合圖象直接寫出:當(dāng)△DCF為等腰三角形時(shí),線段BD長(zhǎng)度的近似值(結(jié)果保留一位小數(shù)).解析(1)①5.0∵點(diǎn)D為

的中點(diǎn),∴

=

,∴BD=CD=a=5.0cm.②∵點(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn),∴AB=AC,∵CF∥BD,∴∠F=∠BDA,又∵∠BAD=∠CAF,∴△BAD≌△CAF(AAS),∴BD=CF,∴線段CF的長(zhǎng)度無(wú)需測(cè)量即可得到.(2)函數(shù)yCD的圖象如圖所示.

(3)函數(shù)yCF的圖象如圖所示.當(dāng)△DCF為等腰三角形時(shí),BD長(zhǎng)度的近似值為3.8cm或5.0cm或6.2cm.考點(diǎn)一有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系考點(diǎn)二平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征考點(diǎn)三函數(shù)及其圖象考點(diǎn)四函數(shù)自變量的取值范圍和函數(shù)值的確定考點(diǎn)研讀考點(diǎn)一有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系1.有序?qū)崝?shù)對(duì):有順序的兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b組成的實(shí)數(shù)對(duì)叫做①

有序?qū)崝?shù)對(duì)

,

利用有序?qū)崝?shù)對(duì)可以準(zhǔn)確地表示一個(gè)點(diǎn)的②

位置

.溫馨提示

有序?qū)崝?shù)對(duì)和平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.2.平面直角坐標(biāo)系:在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)③

重合

的數(shù)軸,就組

成了平面直角坐標(biāo)系.水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸,豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱

軸,兩條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn).考點(diǎn)二平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征1.坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征(1)各象限中點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征

(2)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征

如圖所示:(3)象限角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

_________2.坐標(biāo)平面內(nèi)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征

口訣速記:關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱誰(shuí)不變,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱全都變.3.坐標(biāo)平面內(nèi)平移的點(diǎn)的坐標(biāo)特征

注:a>0.口訣速記:左右平移,橫坐標(biāo)左減右加,縱坐標(biāo)不變;上下平移,縱坐標(biāo)上加下減,橫坐標(biāo)不變.簡(jiǎn)記為“左減右加,上加下減”.4.點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離(1)點(diǎn)P(a,b)到x軸的距離為|b|;(2)點(diǎn)P(a,b)到y(tǒng)軸的距離為

|a|

;(3)點(diǎn)P(a,b)到原點(diǎn)的距離為

.考點(diǎn)三函數(shù)及其圖象1.函數(shù)的概念在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y,如果對(duì)于x的每一個(gè)值,y都有

唯一確定

的值與它對(duì)應(yīng),那么稱x是

自變量

,y是關(guān)于x的函數(shù).溫馨提示

(1)變量:某一變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值的量叫做變量.(2)常量:某一變化過(guò)程中保持不變的數(shù)值的量叫做常量.2.函數(shù)的表示方法函數(shù)有三種表示方法,分別是列表法、

圖象法

、解析法,在解決一些與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),有時(shí)可以同時(shí)用兩種或兩種以上的方法來(lái)表示函數(shù).3.函數(shù)的圖象一般地,對(duì)于一個(gè)函數(shù),如果把自變量與函數(shù)的每個(gè)對(duì)應(yīng)值分別當(dāng)作點(diǎn)的橫、

縱坐標(biāo),那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖象,就是這個(gè)函數(shù)的圖象.4.函數(shù)圖象的畫法:列表、

描點(diǎn)

、連線.考點(diǎn)四

函數(shù)自變量的取值范圍和函數(shù)值的確定1.函數(shù)自變量的取值范圍的確定函數(shù)表達(dá)式類型自變量的取值范圍整式型(如y=3x+5)一切實(shí)數(shù)分式型

使分母

不為0

的一切實(shí)數(shù)偶次根式型(一般為二次根式,如y=

)被開方數(shù)必須是

非負(fù)數(shù)(大于或等于0的數(shù))

0次冪或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪型底數(shù)不為0混合型

使所有式子同時(shí)有意義,可列不等式組求其

解集

實(shí)際問(wèn)題型除使函數(shù)表達(dá)式本身有意義外,還要考慮問(wèn)題的

實(shí)際意義2.函數(shù)值的確定y是關(guān)于x的函數(shù),如果當(dāng)x=a時(shí),y=b,那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值.易錯(cuò)警示函數(shù)自變量的取值范圍確定時(shí)的常見(jiàn)錯(cuò)誤識(shí)別正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“?”).1.在函數(shù)y=

中,自變量x的取值范圍是x>-1且x≠0.

(

?)2.在函數(shù)y=(x+1)0+

中,自變量x的取值范圍是x≤0.

(

?)3.汽車油箱容量為40升,每百千米耗油8升,則汽車油箱剩余油量Q(升)與行駛

的路程x(百千米)的關(guān)系式為Q=40-8x(x>0).

(

?)命題探究探究點(diǎn)一平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征探究點(diǎn)二函數(shù)自變量的取值范圍的確定探究點(diǎn)三函數(shù)圖象的分析與識(shí)別(高頻考點(diǎn))探究點(diǎn)一平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征例1已知點(diǎn)P(a-3,2-a)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)在第四象限,則a的取值范圍在數(shù)軸

上表示正確的是

(

C)

解析∵點(diǎn)P(a-3,2-a)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)在第四象限,∴點(diǎn)P(a-3,2-a)在第二

象限,∴

解得

∴不等式組的解集是a<2,在數(shù)軸上表示如選項(xiàng)C所示.故選C.1-1已知點(diǎn)P(m+2,2m-4)在x軸上,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

(

A)A.(4,0)

B.(0,4)

C.(-4,0)

D.(0,-4)解析∵點(diǎn)P(m+2,2m-4)在x軸上,∴2m-4=0,解得m=2,∴m+2=4,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4,0).故選A.1-2在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)A(1,-2)向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左平移2

個(gè)單位長(zhǎng)度,得到點(diǎn)B,則點(diǎn)B的坐標(biāo)是

(

A)A.(-1,1)

B.(3,1)

C.(4,-4)

D.(4,0)解析

將點(diǎn)A(1,-2)向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得到(1-2,

-2+3),即B(-1,1).故選A.方法技巧熟練掌握平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解答此類問(wèn)題的關(guān)

鍵.如根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征與點(diǎn)的位置之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可快速確定該

點(diǎn)的位置或有關(guān)字母的取值范圍;根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于x軸、y軸、原

點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或字母的值;根據(jù)平面直角

坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)律(左減右加,上加下減),即可確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),

解決相關(guān)的問(wèn)題.探究點(diǎn)二函數(shù)自變量的取值范圍的確定例2

(2020許昌長(zhǎng)葛一模)在函數(shù)y=

中,自變量x的取值范圍是

x≥0且x≠3

.解析由題意,得x≥0且x-3≠0,解得x≥0且x≠3.2-1下列函數(shù)中,自變量x的取值范圍是x>3的是

(

D)A.y=x-3

B.y=

C.y=

D.y=

2-2在函數(shù)y=

中,自變量x的取值范圍是

(

A)A.x>2

B.x≥2

C.x<2

D.x≤2解析由題意得,x-2>0,解得x>2.故選A.2-3

(2020原創(chuàng))在函數(shù)y=

+(x-1)0中,自變量x的取值范圍是

x>-2且x≠1

.方法技巧對(duì)于含分式、根式等混合型函數(shù)求自變量的取值范圍的題目類

型,先求出各式的取值范圍,再取公共解集是解此類題的關(guān)鍵.探究點(diǎn)三函數(shù)圖象的分析與識(shí)別(高頻考點(diǎn))例3

(2019南陽(yáng)宛城一模)如圖1,在菱形ABCD中,∠B=60°,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)

單位長(zhǎng)度的速度自點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位

長(zhǎng)度的速度自點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D.圖2是點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)時(shí),△BPQ的

面積S隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖象,則a的值是

(

D)

A.2

B.2.5

C.3

D.2

解析由題圖2得,t=4秒時(shí)兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng),∴點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B用了4秒,∴AB=4.∵點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C之前和之后,△BPQ面積的算法不同,即t=2秒時(shí),S關(guān)于t的函

數(shù)解析式發(fā)生變化,∴題圖2中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為2,此時(shí)P為AB的中點(diǎn),點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合,連接AC,在菱形ABCD中,AB=BC=4,∠B=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴CP⊥AB,BP=

AB=2,∴CP=

=

=2

,∴a=S=

BP·CP=

×2×2

=2

.故選D.3-1

(2019鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)模擬)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P,Q分別是

CD,AD的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)P

出發(fā),沿P→D→Q運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E,F的運(yùn)動(dòng)速度相同.設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為x,△AEF的

面積為y,則能大致刻畫y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是

(

A)

解析當(dāng)點(diǎn)F在PD上運(yùn)動(dòng)時(shí),△AEF的面積y=

AE·AD=2x(0≤x≤2);當(dāng)點(diǎn)F在DQ上運(yùn)動(dòng)時(shí),△AEF的面積y=

AE·AF=

x(6-x)=-

x2+3x(2<x≤4).故選A.3-2

從某容器口以均勻的速度注入酒精,若液面高度h隨時(shí)間t的變化情況如

圖,則對(duì)應(yīng)容器的形狀為(

C)

方法技巧在幾何圖形中以動(dòng)點(diǎn)為背景的函數(shù)圖象的分析與識(shí)別類題型,通

常有兩類:第一類,直接由幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線,分析、判斷和識(shí)別

對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象,一般解題思路有兩種:①根據(jù)題干中給出的時(shí)間t(或線段

長(zhǎng)x),先找因變量與t(或x)之間存在的函數(shù)關(guān)系,用含t(或x)的式子表示,再找相

對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象,要注意自變量的取值范圍是否需要分類討論;②根據(jù)題干中

給出的時(shí)間t(或線段長(zhǎng)x),先定性地判斷出函數(shù)的增減性,再識(shí)別出正確的函

數(shù)圖象.第二類,與“幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)——函數(shù)圖象”相關(guān)的計(jì)算題,通常

借助幾何圖形中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象所蘊(yùn)含的數(shù)據(jù)信息分析求解.隨堂檢測(cè)一、選擇題1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將四邊形ABCD先向下平移,再向右平移得

到四邊形A1B1C1D1,已知A(-3,5),B(-4,3),A1(3,3),則點(diǎn)B1的坐標(biāo)為

(

B)A.(1,2)

B.(2,1)

C.(1,4)

D.(4,1)2.下列曲線中表示y是x的函數(shù)的是

(

C)

3.(2019開封二模)小明家、食堂、圖書館在同一條直線上,小明從家去食堂

吃早餐,接著去圖書館讀報(bào),然后回家,如圖反映了在這個(gè)過(guò)程中小明與家之

間的距離y(km)與時(shí)間x(min)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,根據(jù)圖象,下列說(shuō)法正確的是

(

C)A.小明吃早餐用了25minB.食堂與圖書館之間的距離為0.6kmC.小明讀報(bào)用了30minD.小明從圖書館回家的速度為0.8km/min解析由題圖可得,小明吃早餐用了25-8=17(min),A錯(cuò)誤;食堂與圖書館之間的距離為0.8-0.6=0.2(km),B錯(cuò)誤;小明讀報(bào)用了58-28=30(min),C正確;小明從圖書館回家的速度為0.8÷(68-58)=0.08(km/min),D錯(cuò)誤.故選C.4.(2020河南模擬)如圖1,正方形ABCD,EFGH的中心P,Q都在直線l上.EF⊥l,AC=EH,正方形ABCD以1cm/s的速度沿直線l向右移動(dòng),當(dāng)點(diǎn)C與HG的中點(diǎn)I重合時(shí)停止移動(dòng),設(shè)移動(dòng)時(shí)間