第九章平面解析幾何6節(jié)

6考綱1.了解拋物線的實(shí)際背景，了解拋物線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)

Fl(lF)的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線.Fl叫作拋物線的準(zhǔn)線.y2＝2pxy2＝2pxpF 2， －2， [微點(diǎn)提醒2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦 判斷下列結(jié)論正誤(平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物 方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱(chēng)軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫作拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長(zhǎng)為2a.( (1)當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，軌跡為過(guò)定點(diǎn)F與定直線l垂直的一條直線，而方程y＝ax2(a≠0)可化為x2＝1，是焦點(diǎn)在y 答 (2)× 2.(選修1－1P38練習(xí)1改編)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P(－2，3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 2解 2m＝4y2＝－9 答

(選修1－1P38A7改編)y2＝8xF5 數(shù)為2.答 4.(2018·黃岡聯(lián)考)y2＝4x的距離為4，則m的值為 B.－3或 C.－2或 解析y2＝4xF(1，0)x＝m∴m＝－3答 5.(2019·福州調(diào)研)y2＝8xPy4P線焦點(diǎn)的距離是)解析lx＝－2，F(xiàn)PPA⊥yAPAlB，則|AB|＝2.Py軸的4|PB|＝4＋2＝6＝6.答 有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍 解 設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，代入拋物線方程，消去y整理得－8)x＋4k2＝0，當(dāng)k＝0時(shí)，顯然滿(mǎn)足題意；當(dāng)k≠0＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜00＜k≤1k的取值范圍是答 考點(diǎn) 拋物線的定義及應(yīng)12【例1】(1)(2019·廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)模擬)已知拋物線x2＝2y的焦點(diǎn)為F，其上有兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)滿(mǎn)足|AF|－|BF|＝2，則y1＋x2－y2－x2＝( 12 (2)(2019·豫南九校聯(lián)考)y2＝4xl，PP到準(zhǔn)線l的距離與P到直線3x＋4y＋7＝0的距離之和的最小值是 5 5

5解 5 21212121知x2＝2y1，x2＝2y2，∴x2－x2＝2(y1－y2)＝4，∴y1＋x2－y2－x2＝(y1－y2)＋(x2－21212121(2)PlPF＝4x3x＋4y＋7＝0∴Pl的距離與P3x＋4y＋7＝0F(1，0)的距離， 答 規(guī)律方 應(yīng)用拋物線定義的兩個(gè)關(guān)鍵2(2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝|x0|＋p或2＋p＋1(1)動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(1，0)x＝－1 (2)(2017·Ⅱ卷)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝ 解析(1)設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1，0)的距離與到直線的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方(2)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)By∵M(jìn)FN 又答 考點(diǎn) 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性2(1)C：y2＝4xFlxAM

上，當(dāng)|MF|＝2時(shí)，△AMF的面積為 22 22(2)C1：x2＋(y－2)2＝4C2：y2＝2px(p>0)，C1C2＝5兩點(diǎn)，且 8 C2的 ＝5

B.y＝5

＝5 D.y＝5 (1)過(guò)M作MP垂直于準(zhǔn)線，垂足為P，則|MA|＝2＝|MA|＝

cos2cos∠AMP＝22則∠AMP＝45°，此時(shí)△AMP是等腰直角三角形，M(m，4m)，則由|MP|＝|MA|得|m＋1|＝m＝1，M(1，2)，所以△AMF的面積為

(2)由題意，知直線AB必過(guò)原點(diǎn)，則設(shè)AB的方y(tǒng)＝kx(k>0)，

4 2C1(0，2)AB

22－5

5把

＝＝

5或 5 5所以拋物線C2的 5答 規(guī)律方法1.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位2(1)y2＝2px(p>0)F交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的 22 22 (1)設(shè)A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，則直線的斜率為3，故p＝|CF|＝1，即p＝3，從而拋物線的

答 考點(diǎn) 直線與拋物線的位置關(guān) 探角度 直線與拋物線的公共點(diǎn)(交點(diǎn))問(wèn)CH.

求(2)HMHC是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由 NMP故直線ON的方

＝ty2＝2px

NOH的中點(diǎn)，即|OH|＝2.(2)MHCH直線MH的 px，即y2＝2pxy2－4ty＋4t2＝0，y1＝y(tǒng)2＝2t，

＝pMHC所以除H以外，直線MH與C沒(méi)有其它公共點(diǎn).角度2 【例3－2】(2019·調(diào)研)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)和定點(diǎn)M(0，1)，設(shè)過(guò)MCA，BCA，BN.(1)NABp(2)若△ABN面積的最小值為4，求拋物線C的方程. (1)可設(shè)AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入拋物線C，得x2＝2py

則A，B處的切線斜率乘積為 p2(2)AN

＝Ay＝2p ∴y1＝1，∴b＝1－1＝－1 切線AN的

x－1.2 .2同理切線BN的 又∵NyANyBN

2

，2p ＝|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋k2＝，＝，NAB

S

＝p（pk2＋2）3≥2 ∴2故拋物線C的方規(guī)律方法1.直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)似，“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解 解 拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不kl1kl2直線的斜率為－1k11由

y 設(shè) 同理得∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋4≥8＋2當(dāng)且僅當(dāng)1＝k2k＝±1時(shí)取等號(hào).故|AB|＋|DE|的最小值為答 [思維升華拋物線定義的實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為“一動(dòng)三定”MF(拋物線的焦點(diǎn))，一條定直線l(拋物線的準(zhǔn)線)，一個(gè)定值1(拋物線的離心率).p y2，于簡(jiǎn)化計(jì)算

2P(x0，y0)y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，由定義易得|PF|＝x0＋p；若過(guò)焦點(diǎn)ABA(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長(zhǎng)為|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可2[易錯(cuò)防范y＝ax2(a≠0)y2＝2px(p＞0)，前者不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為＝mx直線與拋物線結(jié)合的問(wèn)題，記驗(yàn)證判別式數(shù)學(xué)抽象——數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平表現(xiàn)為能夠在得到的數(shù)學(xué)結(jié)論的基礎(chǔ)上形成新命題，能夠針對(duì)具體的問(wèn)題運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題.本拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題的四個(gè)常用結(jié)論即為具體表現(xiàn)之一.ABy2＝2px(p>0)FA(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p2p(αAB1 1 ＋

(F是拋物線的焦點(diǎn) 1y2＝4xFlA，B兩點(diǎn)，若 2 2

[一般解法]直線l的斜率存在，設(shè)為k，則其方由

因?yàn)閨AF|＝2|BF|xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②2由①②2所以 由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸的上方如圖設(shè)A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于E，設(shè)|BF|＝mlθ，cosθ＝|AE|＝1tanθ＝22.sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝8y2＝4x 2p＝4，故利用弦 |AB|＝2p 法 因?yàn)閨AF|＝2|BF|，1＋1＝1＋1＝3＝2＝1，解得 故答 8B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為( 84A.34

B.9

44 y＝4x－4

3 4y2－12故

[應(yīng)用結(jié)論]2p＝3，及|AB|＝得|AB|＝2p 8ABd＝|OF|·sin8S

答

A，BlCFAC的中點(diǎn)，且|AF|＝4，則線段AB的長(zhǎng)為() 33 33 如圖，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l交l于點(diǎn)D，由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點(diǎn)，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，2解得p＝2，所以拋物線的方2A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋p＝x1＋1＝4x1＝3y1＝23所以A(3，23)，又F(1，0)，所以直線AF的斜率k＝2＝3，所以直線3的方y(tǒng)＝3(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以＝10，|AB|＝x1＋x2＋p＝16 32 2

x1x2＝4＝1x2＝3，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋3＋2＝3法 答

3(建議用時(shí)：40分鐘 48 48解 答

若|MF|＋|NF|＝4，則線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為( 22

2解 2 y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋1＋x2＋1＝4，∴x1＋x2＝3，∴線段MN 的橫坐標(biāo)為答 4 433

3或 D.4或2解 2 3AxFA的傾斜角為3答 已知拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若A·B＝－12，則拋物線C的方 2解析由題意，設(shè)拋物線 y2＝2px(p>0)，直線 x＝my＋p，聯(lián)2 xy2－2pmy－p2＝0，顯然方程有兩個(gè)不等實(shí)根設(shè)A(x1y1)B(x2y2)

＝

，得＝舍負(fù)，即

m 2

拋物線C的方答 5.(2019·中原聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，且過(guò)點(diǎn)(－2，3)，M在拋物線C上，若點(diǎn)N(1，2)，則|MN|＋|MF|的最小值為 2解析由題意知p＝2，即p＝4.過(guò)點(diǎn)N作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為N′，交拋物線于2答 l24米.1米后，水面 米解 建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方A(2，－2)x2＝－2pyp＝1x2＝－2y.B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝6，故水面寬為26米.6答 6一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足.若直線AF的斜率k＝－3，則線段PF的長(zhǎng) 解 由拋物線 x＝－3， 為直線AF的斜率為－3，所以直線AF的 y＝－x＝－3時(shí)，y＝33A－3，3

PA⊥l，AP3 根據(jù)拋物線的定義可知答

2C1：a2－b2＝1(a>0，b>0)2.C2：x的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的

解 a所以b＝3，所以漸近線 3x±y＝0，因?yàn)閽佄锞€C2：x2＝2py(p>0)的焦a

拋物線C2的方答 y2＝2px(p>0)22A(x1，y1)，(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若C＝A＋λBλ的值 (1)拋物線y＝2px的焦點(diǎn)為所以直線AB的 y＝2

y＝22－由 消去y得所以 ＝4由拋物線定義得4＋p＝9所以拋物線的方(2)p＝44x2－5px＋p2＝0，x2－5x＋4＝0，x1＝1，x2＝4y1＝－22，y2＝4A(1，－22)，B(4，4C＝A＋λB＝(1，－2C為拋物線上一點(diǎn)，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)，λ2－2λ＝0λ＝0λ＝2.x2x Ⅰ卷)A，BC：y＝4上兩點(diǎn)，AB(1)AB(2)MC上一點(diǎn)，CMABAM⊥BM，求直AB的方程. (1)設(shè) 44x1≠x2，y1＝1，y2＝44 于是直線AB的斜率 ＝ (2)y＝4設(shè) ，由題設(shè)知2設(shè)直線AB的方AB y＝x＋my＝4xΔ＝16(m＋1)>0m>－1時(shí)，x1，2＝2±2從而|AB|＝2|x1－x2|＝4由題設(shè)知|AB|＝2|MN|42（m＋1）＝2(m＋1)，m＝7.所以直線AB的方(建議用時(shí)：20分鐘11.(2019·合肥一模)y2＝8xFA，B＝3 2 ，則∠AFB＝33π3

463解 設(shè)4633∵|AF|＋|BF|＝232 ∴3|AB|≥2mn，∴mn≤3|AB|在△AFB

3|AB| cos

3∴∠AFB的最大值為3答 324PA，PB分別交x軸于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△PEF與△OAB的面積之比 32422

解 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點(diǎn)A，B處的切線方，即

都過(guò)點(diǎn)P(2，－1)，則lAB：x＝－1＋ylAB過(guò)定點(diǎn) S 2 則 ＝1212答

13.已知拋物線方y(tǒng)2＝－4x，