北京市西城區(qū)高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題(word版)

金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)第4頁共15頁金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)北京市西城區(qū)2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）2013.5第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．已知全集，集合，，那么（A）（B）（C）（D）2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，則（A）（B）（C）（D）3．在極坐標(biāo)系中，圓心為，且過極點(diǎn)的圓的方程是（A）（B）（C）（D）4．如圖所示的程序框圖表示求算式“”之值，則判斷框內(nèi)可以填入（A）（B）（C）（D）5．設(shè)，，，則（A）（B）（C）（D）6．對(duì)于直線，和平面，，使成立的一個(gè)充分條件是（A），∥（B）∥，（C），，（D），，7．已知正六邊形的邊長是，一條拋物線恰好經(jīng)過該六邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（A）（B）（C）（D）8．已知函數(shù)，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)．若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A）（B）（C）（D）18．（本小題滿分13分）如圖，橢圓的左頂點(diǎn)為，是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．（Ⅰ）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值；（Ⅱ）若橢圓上存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍．19．（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值．20．（本小題滿分13分）已知集合是正整數(shù)的一個(gè)排列，函數(shù)對(duì)于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．排列為排列的生成列；排列為排列的母列．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，寫出排列的生成列及排列的母列；（Ⅱ）證明：若和為中兩個(gè)不同排列，則它們的生成列也不同；（Ⅲ）對(duì)于中的排列，定義變換：將排列從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)調(diào)至首項(xiàng)，其它各項(xiàng)順序不變，得到一個(gè)新的排列．證明：一定可以經(jīng)過有限次變換將排列變換為各項(xiàng)滿意指數(shù)均為非負(fù)數(shù)的排列．北京市西城區(qū)2013年高三二模試卷高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2013.5一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1．C；2．B；3．A；4．C；5．D；6．C；7．B；8．B．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9．；10．；11．，；12．；13．，；14．．注：11、13題第一空2分，第二空3分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.15．（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：由三角函數(shù)定義，得，．………………2分因?yàn)?，，所以．……………?分所以．………………5分（Ⅱ）解：依題意得，．所以，………………7分．……………9分依題意得，整理得．………………11分因?yàn)?，所以，所以，即．……………?3分16．（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：設(shè)“1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)”為事件，………………1分則，故1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率為．………………4分（Ⅱ）解：隨機(jī)變量的所有取值為．………………5分，，，，．………………10分所以，隨機(jī)變量的分布列為:………………11分．………………13分17．（本小題滿分14分）【方法一】（Ⅰ）證明：由俯視圖可得，，所以．………………1分又因?yàn)槠矫?，所以，……………?分所以平面．………………4分（Ⅱ）證明：取上一點(diǎn)，使，連結(jié)，．………………5分由左視圖知，所以∥，．………………6分在△中，易得，所以．又，所以，．又因?yàn)椤危?，所以∥，．所以四邊形為平行四邊形，所以∥．……………?分因?yàn)槠矫?，平面，所以直線∥平面．………………9分（Ⅲ）解：線段上存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為．證明如下：………10分因?yàn)槠矫?，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．所以．設(shè)，其中．………………11分所以，．要使與所成角的余弦值為，則有，………………12分所以，解得或，均適合．………………13分故點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)；或中點(diǎn)處，此時(shí)，有與所成角的余弦值為．………………14分【方法二】（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫?，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．在△中，易得，所以，因?yàn)椋?，．由俯視圖和左視圖可得：．所以，．因?yàn)椋裕?分又因?yàn)槠矫?，所以，……………?分所以平面．………………4分（Ⅱ）證明：設(shè)平面的法向量為，則有因?yàn)椋?，所以取，得．……………?分因?yàn)?，所以．……………?分因?yàn)槠矫?，所以直線∥平面．………………9分（Ⅲ）解：線段上存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為．證明如下：………10分設(shè)，其中．………………11分所以，．要使與所成角的余弦值為，則有，………………12分所以，解得或，均適合．………………13分故點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)；或中點(diǎn)處，此時(shí)，有與所成角的余弦值為．………………14分18．（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：依題意，是線段的中點(diǎn)，因?yàn)?，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．………………2分由點(diǎn)在橢圓上，所以，………………4分解得．………………5分（Ⅱ）解：設(shè)，則，且． ①………………6分因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以．………………7分因?yàn)?，所以? ②………………8分由①，②消去，整理得．………………10分所以，………………12分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立．所以的取值范圍是．………………13分19.（本小題滿分14分）（Ⅰ）解：的定義域?yàn)?，且．……………?分當(dāng)時(shí)，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．………………4分（Ⅱ）解：方程的判別式為．（?。┊?dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值是；最大值是．………………6分（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，得，或．和的情況如下：↗↘↗故的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為．………………8分①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間 上的最小值是；最大值是．………………10分②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值是．………………11分因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是．………………12分③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最小值是；最大值是．………………14分綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值是，最大值是；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值是，最大值是；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值是，最大值是；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值是，最大值是．20.（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：當(dāng)時(shí)，排列的生成列為；………………2分排列的母列為．………………3分（Ⅱ）證明：設(shè)的生成列是；的生成列是與．從右往左數(shù)，設(shè)排列與第一個(gè)不同的項(xiàng)為與，即：，，，，．顯然，，，，下面證明：．………………5分由滿意指數(shù)的定義知，的滿意指數(shù)為排列中前項(xiàng)中比小的項(xiàng)的個(gè)數(shù)減去比大的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．由于排列的前項(xiàng)各不相同，設(shè)這項(xiàng)中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，從而．同理，設(shè)排列中有項(xiàng)比小，則有項(xiàng)比大，從而．因?yàn)榕c是個(gè)不同數(shù)的兩個(gè)不同排列，且，所以，從而．所以排列和的生成列也不同．………………8分（Ⅲ）證明：設(shè)排列的生成列為，且為中從左至右第一個(gè)滿意指數(shù)為負(fù)數(shù)的項(xiàng)，所以．………………9分進(jìn)行一次變換后，排列變換為，設(shè)該排列的生成列為