2023年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺演練04概率統(tǒng)計與期望方差分布列大題壓軸練（解析版）

【一專三練】專題04概率統(tǒng)計與期望方差分布列大題壓軸

練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）

1.（2023秋?浙江?高三校聯(lián)考期末）抽屜中裝有5雙規(guī)格相同的筷子，其中2雙是一次

性筷子，3雙是非一次性筷子，每次使用筷子時，從抽屜中隨機取出1雙，若取出的是

一次性筷子，則使用后直接丟棄，若取出的是非一次性筷子，則使用后經(jīng)過清洗再次放

入抽屜中，求：

（1）在第2次取出的是非一次性筷子的條件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；

（2）取了3次后，取出的一次性筷子的個數(shù)（雙）的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）取了〃5=2,3,4,…）次后，所有一次性筷子剛好全部取出的概率.

2.（2022?江蘇南京?南京市江寧高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）2022年2月6日，中國女足在

兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決

賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)6:5驚險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鉉兩度撲出日本隊員

的點球，表現(xiàn)神勇.

（1）撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右

三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且

門將即使方向判斷正確也有g(shù)的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，

求門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的分布列和期望；

（2）好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的

訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等

可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第

n次傳球之前球在甲腳下的概率為Pn,易知口=1,P2=0.

①試證明為等比數(shù)列；

②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為冊，比較Pl0與心的大小.

3.（2023春?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)校考開學(xué)考試）中國在第75屆聯(lián)合國

大會上承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭于2030年之前使二氧化碳的排放達

到峰值，努力爭取2060年之前實現(xiàn)碳中和（簡稱“雙碳目標(biāo)”），此舉展現(xiàn)了我國應(yīng)

對氣候變化的堅定決心，預(yù)示著中國經(jīng)濟結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟社會運轉(zhuǎn)方式將產(chǎn)生深刻變革，極

大促進我國產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化.新能源汽車、電動汽車是重要的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)，

對于實現(xiàn)“雙碳目標(biāo)'’具有重要的作用.為了解某一地區(qū)電動汽車銷售情況，一機構(gòu)根據(jù)

統(tǒng)計數(shù)據(jù),

用最小二乘法得到電動汽車銷量，(單位：萬臺)關(guān)于X(年份)的線性回歸方程為

y=4.7x-9459.2,且銷量>的方差為$=書754，年份尢的方差為尷=2.

(1)求y與x的相關(guān)系數(shù)，并據(jù)此判斷電動汽車銷量y與年份x的相關(guān)性強弱；

(2)該機構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位購車車主的性別與購車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表:

性別購買非電動汽車購買電動汽車總計

男性39645

女性301545

總計692190

依據(jù)小概率值0.05的獨立性檢驗，能否認(rèn)為購買電動汽車與車主性別有關(guān)；

(3)在購買電動汽車的車主中按照性別進行分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機抽取3

人，記這3人中，男性的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

①參考數(shù)據(jù)：75x127=>/635?25;

￡(不一可他一歹)

②參考公式：(i)線性回歸方程：y=bx+a,其中成=------------,a=y-hxi

2(—)2

i=\

￡(%-可(必-反)

(ii)相關(guān)系數(shù)：r=I,若/'AO.g,則可判斷y與X線性相關(guān)較

\￡(匕-可2￡(%-力

V1=1/=1

強.

1

2niad-bc)一，,,.

(/)=77T7-----T7T~~,其中〃=a+8+c+d.附表：

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

a0.100.050.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

4.(2023?浙江?模擬預(yù)測)2022年卡塔爾世界杯決賽圈共有32隊參加，其中歐洲球隊

有13支，分別是德國、丹麥、法國、西班牙、英格蘭、克羅地亞、比利時、荷蘭、塞

爾維亞、瑞士、葡萄牙、波蘭、威爾士.世界杯決賽圈賽程分為小組賽和淘汰賽，當(dāng)進

入淘汰賽階段時，比賽必須要分出勝負.淘汰賽規(guī)則如下：在比賽常規(guī)時間90分鐘內(nèi)

分出勝負，比賽結(jié)束，若比分相同，則進入30分鐘的加時賽.在加時賽分出勝負，比

賽結(jié)束，若加時賽比分依然相同，就要通過點球大戰(zhàn)來分出最后的勝負.點球大戰(zhàn)分為

2個階段.第一階段：前5輪雙方各派5名球員，依次踢點球，以5輪的總進球數(shù)作為

標(biāo)準(zhǔn)(非必要無需踢滿5輪)，前5輪合計踢進點球數(shù)更多的球隊獲得比賽的勝利.第

二階段：如果前5輪還是平局，進入“突然死亡”階段，雙方依次輪流踢點球，如果在該

階段一輪里，雙方都進球或者雙方都不進球，則繼續(xù)下一輪，直到某一輪里，一方罰進

點球，另一方?jīng)]罰進，比賽結(jié)束，罰進點球的一方獲得最終的勝利.

下表是2022年卡塔爾世界杯淘汰賽階段的比賽結(jié)果:

淘汰賽比賽結(jié)果淘汰賽比賽結(jié)果

荷蘭3：1美國克羅地亞(4)1：K2)巴西

阿根廷2:1澳大利亞荷蘭(3)2：久4)阿根廷

1/4決賽

法國3：1波蘭摩洛哥葡萄牙

英格蘭3：°塞內(nèi)加爾英格蘭以法國

1/8決賽

日本⑴1:1(3)克羅地亞阿根廷3:0克羅地亞

半決賽

巴西4：1韓國法國2:0摩洛哥

摩洛哥(3)0：0(0)西班牙季軍賽克羅地亞2：1摩洛哥

葡萄牙6」瑞士決賽阿根廷(4)3：3(2)法國

注：“阿根廷(4)3：3(2)法國”表示阿根廷與法國在常規(guī)比賽及加時賽的比分為3:3,在點

球大戰(zhàn)中阿根廷4：2戰(zhàn)勝法國.

(1)請根據(jù)上表估計在世界杯淘汰賽階段通過點球大戰(zhàn)分出勝負的概率.

(2)根據(jù)題意填寫下面的2x2列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯的概率不超過0.01

的前提下認(rèn)為“32支決賽圈球隊闖入8強''與是否為歐洲球隊有關(guān).

歐洲球隊其他球隊合計

闖入8強

未闖入8強

合計

（3）若甲、乙兩隊在淘汰賽相遇，經(jīng)過120分鐘比賽未分出勝負，雙方進入點球大戰(zhàn).已

7

知甲隊球員每輪踢進點球的概率為P,乙隊球員每輪踢進點球的概率為:，求在點球大

戰(zhàn)中，兩隊前2輪比分為2:2的條件下，甲隊在第一階段獲得比賽勝利的概率（用。表

示）.

公七八2n(ad-hc)2..

參考公式：X=----------------,〃=〃++c+

(a+b)(c+d)3+c)(b+d)

尸(/Na)0.10.050.010.0050.001

a2.7063.8416.6357.87910.828

5.（2022秋?江蘇常州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）汽車尾氣排放超標(biāo)是全球變暖、海平面上

升的重要因素.我國近幾年著重強調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項目的支持力度，積極

推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進行調(diào)查,

得到下面的統(tǒng)計表:

年份r20172018201920202021

年份代碼Mx=~2（）16）12345

銷量y/萬輛1012172026

（1）統(tǒng)計表明銷量y與年份代碼x有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程,

并預(yù)測該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；

（2）為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企

業(yè)心隨機調(diào)查了該地區(qū)200位購車車主的購車情況作為樣本其中男性車主中購置傳統(tǒng)

燃油汽車的有W名，購置新能源汽車的有45名，女性車主中有20名購置傳統(tǒng)燃油汽車.

①若卬=95，將樣本中購置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計總體,試用（1）

中的線性回歸方程預(yù)測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的女性車主的人數(shù)（假設(shè)每位車

主只購買一輛汽車，結(jié)果精確到千人）；

②設(shè)男性車主中購置新能源汽車的概率為。，將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查的所

有男性車主中隨機抽取5人，記恰有3人購置新能源汽車的概率為/(p),求當(dāng)w為何

值時，“P)最大.

“__

附：y=hx+a為回歸方程，3=t--------,a=y-bx.

1=1

6.(2022秋?江蘇南通?高三?？计谥?核酸檢測也就是病毒。乂4和RN4的檢測，是目

前病毒檢測最先進的檢驗方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝、丙肝和艾滋病的病毒

檢測.通過核酸檢測，可以檢測血液中是否存在病毒核酸，以診斷機體有無病原體感染.

某研究機構(gòu)為了提高檢測效率降低檢測成本，設(shè)計了如下試驗，預(yù)備12份試驗用血液

標(biāo)本，其中2份陽性，10份陰性，從標(biāo)本中隨機取出”份分為一組，將樣本分成若干

組，從每一組的標(biāo)本中各取部分，混合后檢測，若結(jié)果為陰性，則判定該組標(biāo)本均為陰

性，不再逐一檢測；若結(jié)果為陽性，需對該組標(biāo)本逐一檢測.以此類推，直到確定所有

樣本的結(jié)果.若每次檢測費用為。元，記檢測的總費用為X元.

(1)當(dāng)〃=3時，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(2)比較〃=3與〃=4兩種方案哪一個更好，說明理由.

7.(2023秋?遼寧?高三校聯(lián)考期末)2022年冬奧會由北京和張家口聯(lián)合舉辦，其中冰壺

比賽在改造一新的水立方進行.女子冰壺比賽由來自全球的十支最優(yōu)秀的隊伍參加，中

國女子冰壺隊作為東道主對奧運冠軍發(fā)起沖擊.奧運會冰壺比賽將分為循環(huán)賽、淘汰賽

和決賽三部分，其中循環(huán)賽前三名晉級淘汰賽.在淘汰賽中，循環(huán)賽第一和第二的兩支

隊伍先進行一場比賽，勝者晉級最后的決賽，負者與循環(huán)賽第三名再進行一場比賽，勝

者晉級決賽，敗者即為本屆比賽的第三名.決賽決出比賽的第一名與第二名.

(1)循環(huán)賽進行九輪比賽，每支隊伍都需要與其余九支隊伍各進行一場比賽.中國隊的主

要對手包括加拿大隊、瑞士隊、瑞典隊、英國隊.若循環(huán)賽的賽程完全隨機排列，則中國隊

在前六輪之內(nèi)完成與主要對手交鋒的概率是多少？

(2)若中國隊以循環(huán)賽第二名的成績進入淘汰賽，同時進入淘汰賽的還有排名第一的加拿

大隊和排名第三的瑞士隊.過往戰(zhàn)績表明，中國隊與加拿大隊對戰(zhàn)獲勝的概率為40%,

與瑞士隊對戰(zhàn)獲勝的概率為60%,加拿大隊?wèi)?zhàn)勝瑞士隊的概率為70%.假定每場比賽勝

負的概率獨立.若以隨機變量X表示中國隊最終獲得的名次，求其分布列和數(shù)學(xué)期望.

8.(2023?江蘇宿遷?江蘇省沐陽高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)為豐富學(xué)生課外生活，某市組

織了高中生鋼筆書法比賽，比賽分兩個階段進行：第一階段由評委給出所有參賽作品評

分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員由組委會按規(guī)則另行確定.數(shù)據(jù)統(tǒng)計

員對第一階段的分?jǐn)?shù)進行了統(tǒng)計分析，這些分?jǐn)?shù)X都在［70,100）內(nèi)，在以組距為5畫分

數(shù)的頻率分布直方圖（設(shè)“藉=丫”）時，發(fā)現(xiàn)y滿足

8/7-109”

-------，氏，16

y=（300，/iwN",5/X<5（"+1）.

」--無-----,?>16

11520-M

（1）試確定〃的所有取值，并求火；

（2）組委會確定：在第一階段比賽中低于85分的參賽者無緣獲獎也不能參加附加賽；

分?jǐn)?shù)在［95,100）的參賽者評為一等獎；分?jǐn)?shù)在［90,95）的同學(xué)評為二等獎，但通過附加賽

有、的概率提升為一等獎；分?jǐn)?shù)在［85,90）的同學(xué)評為三等獎，但通過附加賽有亨的概

率提升為二等獎（所有參加附加賽的獲獎人員均不降低獲獎等級）.已知學(xué)生A和8均參

加了本次比賽，且學(xué)生A在第一階段評為二等獎.

（i）求學(xué)生8最終獲獎等級不低于學(xué)生A的最終獲獎等級的概率；

（?）已知學(xué)生A和B都獲獎，記4B兩位同學(xué)最終獲得一等獎的人數(shù)為3求J的分

布列和數(shù)學(xué)期望.

9.（2023?河北衡水?衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）某游戲中的角色"突擊者’’的攻擊有

一段冷卻時間（即發(fā)動一次攻擊后需經(jīng)過一段時間才能再次發(fā)動攻擊）.其擁有兩個技

能，技能一是每次發(fā)動攻擊后有g(shù)的概率使自己的下一次攻擊立即冷卻完畢并直接發(fā)動,

該技能可以連續(xù)觸發(fā)，從而可能連續(xù)多次跳過冷卻時間持續(xù)發(fā)動攻擊；技能二是每次發(fā)

動攻擊時有3的概率使得本次攻擊以及接下來的攻擊的傷害全部變?yōu)樵瓉淼?倍，但是

多次觸發(fā)時效果不可疊加（相當(dāng)于多次觸發(fā)技能二時僅得到第一次觸發(fā)帶來的2倍傷害

加成）.每次攻擊發(fā)動時先判定技能二是否觸發(fā)，再判定技能一是否觸發(fā).發(fā)動一次攻擊

并連續(xù)多次觸發(fā)技能一而帶來的連續(xù)攻擊稱為一輪攻擊，造成的總傷害稱為一輪攻擊的

傷害.假設(shè)“突擊者''單次攻擊的傷害為1,技能一和技能二的各次觸發(fā)均彼此獨立：

（1）當(dāng)“突擊者”發(fā)動一輪攻擊時，記事件4為“技能一和技能二的觸發(fā)次數(shù)之和為2”，事

件8為“技能一和技能二各觸發(fā)1次“，求條件概率P（3|A）

（2）設(shè)〃是正整數(shù)，"突擊者''一輪攻擊造成的傷害為2〃的概率記為匕，求匕.

10.（2023春?福建南平?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在上海舉辦的第五屆中國國際進口博覽

會中，硬幣大小的無導(dǎo)線心臟起搏器引起廣大參會者的關(guān)注.這種起搏器體積只有傳統(tǒng)

起搏器的《，其無線充電器的使用更是避免了傳統(tǒng)起搏器囊袋及導(dǎo)線引發(fā)的相關(guān)并發(fā)

癥.在起搏器研發(fā)后期，某企業(yè)快速啟動無線充電器主控芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期同步進行

產(chǎn)品檢測，檢測包括智能檢測與人工抽檢.智能檢測在生產(chǎn)線上自動完成，包含安全檢

測、電池檢測、性能檢測等三項指標(biāo)，人工抽檢僅對智能檢測三項指標(biāo)均達標(biāo)的產(chǎn)品進

行抽樣檢測，且僅設(shè)置一個綜合指標(biāo)，四項指標(biāo)均達標(biāo)的產(chǎn)品才能視為合格品.已知試

產(chǎn)期的產(chǎn)品，智能檢測三項指標(biāo)的達標(biāo)率約為急，荒，設(shè)人工抽檢的綜合指標(biāo)

1009998

不達標(biāo)率為P(0<p<l).

(1)求每個芯片智能檢測不達標(biāo)的概率；

(2)人工抽檢30個芯片，記恰有1個不達標(biāo)的概率為趙。)，求旗P)的極大值點兒;

(3)若芯片的合格率不超過96%,則需對生產(chǎn)工序進行改良.以(2)中確定的4作為p

的值，判斷該企業(yè)是否需對生產(chǎn)工序進行改良.

11.(2023?福建莆田?統(tǒng)考二模)互花米草是禾本科草本植物，其根系發(fā)達，具有極高的

繁殖系數(shù)，對近海生態(tài)具有較大的危害.為盡快消除互花米草危害，2022年10月24

日，市政府印發(fā)了《莆田市互花米草除治攻堅實施方案》，對全市除治攻堅行動做了具

體部署.某研究小組為了解甲、乙兩鎮(zhèn)的互花米草根系分布深度情況，采用按比例分層

抽樣的方法抽取樣本.已知甲鎮(zhèn)的樣本容量帆=12,樣本平均數(shù)￡=18,樣本方差s：=19；

乙鎮(zhèn)的樣本容量,=18,樣本平均數(shù)y=36,樣本方差s；=70.

(1)求由兩鎮(zhèn)樣本組成的總樣本的平均數(shù)2及其方差S';

(2)為營造“廣泛發(fā)動、全民參與”的濃厚氛圍，甲、乙兩鎮(zhèn)決定進行一次“互花米草除治

大練兵”比賽，兩鎮(zhèn)各派一支代表隊參加，經(jīng)抽簽確定第一場在甲鎮(zhèn)舉行.比賽規(guī)則：

每場比賽直至分出勝負為止，勝方得1分，負方得0分，下一場在負方舉行，先得2分

的代表隊獲勝，比賽結(jié)束.

當(dāng)比賽在甲鎮(zhèn)舉行時，甲鎮(zhèn)代表隊獲勝的概率為|,當(dāng)比賽在乙鎮(zhèn)舉行時，甲鎮(zhèn)代表隊

獲勝的概率為3.假設(shè)每場比賽結(jié)果相互獨立.甲鎮(zhèn)代表隊的最終得分記為X,求E(X).

參考數(shù)據(jù)：

12x18?=3888,18x362=23328,28.8?=829.44,12x10.82=1399.68,18x7.22=933.12.

12.(2023?福建廈門?統(tǒng)考二模)移動物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個人消費

等領(lǐng)域.截至2022年底，我國移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達18.45億戶，成為全球主要經(jīng)濟體

中首個實現(xiàn)“物超人”的國家.右圖是2018-2022年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)W與年份代碼f的

散點圖，其中年份2018-2022對應(yīng)的f分別為1~5.

M億戶”

25-?

20-.

15-

10-?

5-,

u012345?

（1）根據(jù)散點圖推斷兩個變量是否線性相關(guān).計算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并推斷

它們的相關(guān)程度；

（2）⑴假設(shè)變量x與變量V的”對觀測數(shù)據(jù)為（x/,yi）,（孫”），...，（x〃，yn）,兩個變量

[Y=bx+e

滿足一元線性回歸模型G、八~、2（隨機誤差令=%-法,）.請推導(dǎo)：當(dāng)隨機

[E（e）=0,￡>（e）=cr

誤差平方和Q=力；取得最小值時，參數(shù)b的最小二乘估計.

（ii）令變量x=t-T,y=w-w,則變量x與變量丫滿足一元線性回歸模型

（Y=bx+e

c、，、~、2利用⑴中結(jié)論求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2024年移動物聯(lián)

[E（e）-0,D{e}=b

網(wǎng)連接數(shù).

￡&—）（叱-卬）$2

附：樣本相關(guān)系數(shù)r=I112I?2，X（叱-卬）=76.9,

仰-增（―

2（4一）（嗎-卬）=27.2,>4=60.8,7769?27.7

/=1/=|

13.（2022秋?山東濰坊?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）學(xué)?；@球隊30名同學(xué)按照1,2,30

號站成一列做傳球投籃練習(xí)，籃球首先由1號傳出，訓(xùn)練規(guī)則要求：第

m[\<m<28,meN）號同學(xué)得到球后傳給加+1號同學(xué)的概率為j,傳給機+2號同學(xué)的

概率為:，直到傳到第29號（投籃練習(xí)）或第30號（投籃練習(xí)）時，認(rèn)定一輪訓(xùn)練結(jié)

束，已知29號同學(xué)投籃命中的概率為:，30號同學(xué)投籃命中的概率為與，設(shè)傳球傳到

第〃（24〃430,〃wN）號的概率為％.

（1）求正的值;

（2）證明：優(yōu)Q}（24〃428）是等比數(shù)歹ij；

(3)比較29號和30號投籃命中的概率大小.

14.(2022秋?山東?高三校聯(lián)考階段練習(xí))某公司在一種傳染病毒的檢測試劑品上加大

了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗試劑品。分為兩類不同劑型外和%.現(xiàn)對其進行兩次檢測，

第一次檢測時兩類試劑&和%合格的概率分別為:和=,第二次檢測時兩類試劑必和

45

%合格的概率分別為三4和：?.已知兩次檢測過程相互獨立，兩次檢測均合格，試劑品a

才算合格.

(1)設(shè)經(jīng)過兩次檢測后兩類試劑必和%合格的種類數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)

護人員要對其家庭成員逐一使用試劑品a進行檢測，如果有一人檢測呈陽性，則檢測結(jié)

束，并確定該家庭為“感染高危戶設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為

P(0<P<1)且相互獨立,該家庭至少檢測了3個人才確定為“感染高危戶”的概率為f(P),

若當(dāng)P=Po時，/(2)最大，求為的值.

15.(2022秋?山東青島?高三統(tǒng)考期末)由，〃〃個小正方形構(gòu)成長方形網(wǎng)格有機行和〃歹I」.

每次將一個小球放到一個小正方形內(nèi)，放滿為止，記為一輪.每次放白球的頻率為。，放

紅球的概率為q,p+q=\.

(1)若〃?=2,記y表示100輪放球試驗中”每一列至少一個紅球”的輪數(shù)，統(tǒng)

計數(shù)據(jù)如表：

n12345

y7656423026

求y關(guān)于〃的回歸方程lny=/w+a,并預(yù)測〃=10時，的值；(精確到1)

1?

(2)若加=2,〃=2,p=~,q=~,記在每列都有白球的條件下，含紅球的行數(shù)為隨機

變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)求事件“不是每一列都至少一個紅球”發(fā)生的概率，并證明：(1-p")+0-q")"'N1.

k

^y-kx-y$

附：經(jīng)驗回歸方程系數(shù)：5=R---------,a=y-bx,Z〃，/n%=53,旃=3.8.

,X；_技2

z=l

16.(2023?山東棗莊?統(tǒng)考二模)某市正在創(chuàng)建全國文明城市，學(xué)校號召師生利用周末從

事創(chuàng)城志愿活動.高三（1）班一組有男生4人，女生2人，現(xiàn)隨機選取2人作為志愿

者參加活動，志愿活動共有交通協(xié)管員、創(chuàng)建宜傳員、文明監(jiān)督員三項可供選擇.每名

女生至多從中選擇參加2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為每名男生至

少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為g.每人每參加1項

活動可獲得綜合評價10分，選擇參加幾項活動彼此互不彩響，求

（1）在有女生參加活動的條件下，恰有一名女生的概率；

（2）記隨機選取的兩人得分之和為X,求X的期望.

17.（2022?湖北省直轄縣級單位?湖北省仙桃中學(xué)?？寄M預(yù)測）治療慢性乙肝在醫(yī)學(xué)上

一直都是一個難題，因為基本不能治愈，只是可以讓肝功能正常，不可以清除病毒，而

且發(fā)展嚴(yán)重后還具有傳染性，所以在各種體檢中肝功能的檢查是必不可少的.在對某學(xué)

校初中一個班上64名學(xué)生進行體檢后，不小心將2份攜帶乙肝的血液樣本和62份正常

樣本（都用試管獨立裝好的）混在了一起，現(xiàn)在要將它們找出來，試管上都有標(biāo)簽，采

用將共64份樣品采用混檢的方式，先將其平均分成兩組，每組32份，將每組的32份

進行混檢，若攜帶病毒的在同一組，則將這一組繼續(xù)取兩份平均分組的混合樣本進行檢

驗，若攜帶病毒的樣本不在同一組，則將兩組都繼續(xù)平均分組混檢下去，直到最后將兩

份攜帶病毒的樣本找出為止（樣品檢驗時可以很快出結(jié)果，每次含病毒的那一組進行平

均分組時，每個含病毒的樣本被分到任意一組的概率都是^■，且互不影響），設(shè)共需檢

驗的次數(shù)為X.

（1）求隨機變量X的分布列和期望；

（2）若5歲以上的乙肝患者急性和慢性的比例約為9：1,急性乙肝炎癥治愈率可達京，

沒有治愈的會轉(zhuǎn)為慢性乙肝，慢性乙肝炎癥治愈率只有志，在找出兩個乙肝樣本后

通知其進行治療，求兩人最后至少有一人痊愈的概率2.（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

18.（2023春?江蘇南京?高三南京市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為了有針對性地提高學(xué)生

體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為

此隨機抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：

男生2080

（1）依據(jù)。=0.01的獨立性檢驗，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；

（2）從這200人中隨機選擇1人，已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；

（3）為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，集團設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的主題

活動，在該活動的某次排球訓(xùn)練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳

出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求第"次傳球后

球在甲手中的概率.

n^ad-bcy

附：Z2

(a+b)(c+d)(a+c)(0+d)

a0.0100.0050.001

Xa6.6357.87910.828

19.（2022秋?湖北?高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）隨機變量的概念是俄國數(shù)學(xué)家切比

雪夫在十九世紀(jì)中葉建立和提倡使用的.切比雪夫在數(shù)論、概率論、函數(shù)逼近論、積分學(xué)

等方面均有所建樹，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設(shè)X為離散

型隨機變量，則P（|X-E（X）|戚）岑其中4為任意大于0的實數(shù).切比雪夫不等

式可以使人們在隨機變量X的分布未知的情況下，對事件|X-4，,幾的概率作出估計.

（1）證明離散型切比雪夫不等式；

（2）應(yīng)用以上結(jié)論，回答下面問題：已知正整數(shù)〃一5.在一次抽獎游戲中，有“個不透明

的箱子依次編號為1,2,,〃，編號為i（掇I〃）的箱子中裝有編號為（M,?的i+1個大小

、質(zhì)地均相同的小球.主持人邀請”位嘉賓從每個箱子中隨機抽取一個球，記從編號為i的

箱子中抽取的小球號碼為X,,并記x=Z」.對任意的〃，是否總能保證

MI

0.01（假設(shè)嘉賓和箱子數(shù)能任意多）？并證明你的結(jié)論.

附：可能用到的公式（數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)）：對于離散型隨機變量X,X1,X”，x“滿

足x=fx,，則有E（X）=^E（X）.

f=lj=l

20.（2022秋?湖北十堰?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為了豐富孩子們的校園生活，某校團委

牽頭，發(fā)起同一年級兩個級部A、8進行體育運動和文化項目比賽，由A部、3部爭奪

最后的綜合冠軍.決賽先進行兩天，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局的級部獲得該天

勝利，此時該天比賽結(jié)束.若A部、B部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；

若前兩天A部、B部各贏一天，則第三天只進行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終

冠軍.設(shè)每局比賽A部獲勝的概率為p(O<p<l),每局比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互

相獨立.

(1)記第一天需要進行的比賽局?jǐn)?shù)為X,求E(X),并求當(dāng)E(X)取最大值時p的值；

(2)當(dāng)時，記一共進行的比賽局?jǐn)?shù)為匕求尸(F45).

21.(2022秋?廣東廣州?高三廣州市真光中學(xué)?？奸_學(xué)考試)某企業(yè)研發(fā)了一種新藥，

為評估藥物對目標(biāo)適應(yīng)癥患者的治療作用和安全性，需要開展臨床用藥試驗，檢測顯示

臨床療效評價指標(biāo)A的數(shù)量y與連續(xù)用藥天數(shù)x具有相關(guān)關(guān)系.隨機征集了一部分志愿者

作為樣本參加臨床用藥試驗，并得到了一組數(shù)據(jù)(七,%),，=1，2,3,4,5,其中玉表示連

續(xù)用藥i天，y,?表示相應(yīng)的臨床療效評價指標(biāo)A的數(shù)值.根據(jù)臨床經(jīng)驗，剛開始用藥時,

指標(biāo)A的數(shù)量y變化明顯，隨著天數(shù)增加，y的變化趨緩.經(jīng)計算得到如下一些統(tǒng)計量的

值：Z：=/=62，Z：G，-X)()C)=47,產(chǎn)479,-?)2?1.615,

EM(%-")(%一加19.38,其中%=In4.

(1)試判斷產(chǎn)。+所與y=a+ZHnx哪一個適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型？并建立y

關(guān)于x的回歸方程；

(2)新藥經(jīng)過臨床試驗后，企業(yè)決定通過兩條不同的生產(chǎn)線每天8小時批量生產(chǎn)該商品，

其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的兩倍.若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品

的概率為0012,第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品約概率為0.009,兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)不

合格藥品相互獨立.

(i)隨機抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品，求該藥品不合格的概率；

(ii)若在抽查中發(fā)現(xiàn)不合格藥品，求該藥品來自第1條生產(chǎn)線的概率.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)&,y),(天,%)，…(乙，%)，其回歸直線丫=“+公的斜率和截距

E3■-x)(yy)

的最小二乘估計分別為〃=

22.(2022?廣東深圳?統(tǒng)考二模)2022年北京冬奧會后，由一名高山滑雪運動員甲組成

的專業(yè)隊，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊進行友誼賽.約定賽制如下：業(yè)

余隊中的兩名隊員輪流與甲進行比賽，若甲連續(xù)贏兩場則專業(yè)隊獲勝；若甲連續(xù)輸兩場

則業(yè)余隊獲勝：若比賽三場還沒有決出勝負，則視為平局，比賽結(jié)束.已知各場比賽相

互獨立，每場比賽都分出勝負，且甲與乙比賽，乙贏概率為:；甲與丙比賽，丙贏的概

率為p,其中;<p<g.

（1）若第一場比賽，業(yè)余隊可以安排乙與甲進行比賽，也可以安排丙與甲進行比賽.請分

別計算兩種安排下業(yè)余隊獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊第一場

應(yīng)該安排乙還是丙與甲進行比賽？

（2）為了激勵專業(yè)隊和業(yè)余隊，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時，勝隊獲獎金3萬元，負隊獲

獎金1.5萬元；若平局，兩隊各獲獎金1.8萬元.在比賽前，已知業(yè)余隊采用了（1）中

的最優(yōu)決策與甲進行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎金金額共計X萬元，求X的數(shù)學(xué)期

望E（X）的取值范圍.

23.（2022秋?廣東惠州?高三校考期末）在2022年卡塔爾世界杯亞洲區(qū)預(yù)選賽十二強賽

中，中國男足以1勝3平6負進9球失19球的成績慘敗出局.甲、乙足球愛好者決定

加強訓(xùn)練提高球技，兩人輪流進行定位球訓(xùn)練（每人各踢一次為一輪），在相同的條件

下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人

有1人進球另一人不進球，進球者得1分，不進球者得T分；兩人都進球或都不進球,

兩人均得o分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為:，乙每次踢球命中的概率為：，甲撲到乙

踢出球的概率為乙撲到甲踢出球的概率且各次踢球互不影響.

（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）若經(jīng)過〃輪踢球，用R表示經(jīng)過第i輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的概率，求

Pl，〃2，，3?

24.（2022秋?廣東廣州?高三仲元中學(xué)?？茧A段練習(xí)）隨著時代的不斷發(fā)展，社會對高

素質(zhì)人才的需求不斷擴大，我國本科畢業(yè)生中考研人數(shù)也不斷攀升，2020年的考研人

數(shù)是341萬人，2021年考研人數(shù)是377萬人.某省統(tǒng)計了該省其中四所大學(xué)2022年的

畢業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：

大學(xué)A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)。大學(xué)

2022年畢業(yè)人數(shù)千人）7654

2022年考研人數(shù)y（千人）0.50.40.30.2

(1)己知y與x具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求：y關(guān)于x的線性回歸方程與=氏+機

(2)假設(shè)該省對選擇考研的大學(xué)生每人發(fā)放0.5萬元的補貼.

①若該省大學(xué)2022年畢業(yè)生人數(shù)為8千人，估計該省要發(fā)放補貼的總?cè)~：

②若A大學(xué)的畢業(yè)生中小浙、小江選擇考研的概率分別為P,3p-l,該省對小浙、小

江兩人的考研補貼總金額的期望不超過0.75萬元，求〃的取值范圍.

￡(x,.-x)(yf-y)1一-nxy

參考公式：b=J-------「=弓------丁,a=y-bx.

/=1/=1

25.(2022?湖南長沙?高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí))某工廠為了提高生產(chǎn)效率，對生

產(chǎn)設(shè)備進行了技術(shù)改造，為了對比技術(shù)改造后的效果，采集了技術(shù)改造前后各20次連

續(xù)正常運行的時間長度(單位：天)數(shù)據(jù)，整理如下：

改造前：19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,20,24,21；

改造后：32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,37,38,36.

(1)完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值。=0.010的獨立性檢驗，分析判斷技術(shù)改造前

后的連續(xù)正常運行時間是否有差異？

設(shè)備連續(xù)正常運行天數(shù)

技術(shù)改造合計

超過30不超過3。

改造前

改造后

合計

(2)工廠的生產(chǎn)設(shè)備的運行需要進行維護，工廠對生產(chǎn)設(shè)備的生產(chǎn)維護費用包括正常維護

費和保障維護費兩種，對生產(chǎn)設(shè)備設(shè)定維護周期為T天(即從開工運行到第KT天，

&wN.)進行維護，生產(chǎn)設(shè)備在一個生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個維護周期，每個維護周期相互

獨立.在一個維護周期內(nèi)，若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運行，則只產(chǎn)生一次正常維護費，而不會

產(chǎn)生保障維護費；若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運行，則除產(chǎn)生一次正常維護費外，還產(chǎn)生保障

維護費，經(jīng)測算，正常維護費為0.5萬元/次，保障維護費第一次為。2萬元/周期，此后

每增加一次則保障維護費增加02萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)設(shè)備一個生產(chǎn)周期(以120天計)內(nèi)的

維護方案：7=30,上=1,2,3,4.以生產(chǎn)設(shè)備在技術(shù)改造后一個維護周期內(nèi)能連續(xù)正常運

行的頻率作為概率，求一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護費的分布列及均值.

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n^ad-hc\

2(其中〃=a+8+c+d)

z(“+b)(c+d)(a+c)(b+，/)

26.（2022秋?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)2022年10月舉行了2022“翱

翔杯”秋季運動會，其中有“夾球跑”和“定點投籃”兩個項目，某班代表隊共派出1男（甲

同學(xué)）2女（乙同學(xué)和丙同學(xué)）三人參加這兩個項目，其中男生單獨完成"夾球跑''的概

率為0.6,女生單獨完成"夾球跑''的概率為〃（0<?<0.4）.假設(shè)每個同學(xué)能否完成“夾

球跑''互不影響，記這三名同學(xué)能完成"夾球跑''的人數(shù)為4.

⑴證明：在的概率分布中，尸（4=1）最大.

（2）對于“定點投籃”項目，比賽規(guī)則如下：該代表隊先指派一人上場投籃，如果投中，則

比賽終止，如果沒有投中，則重新指派下一名同學(xué)繼續(xù)投籃，如果三名同學(xué)均未投中，

比賽也終止.該班代表隊的領(lǐng)隊了解后發(fā)現(xiàn)，甲、乙、丙三名同學(xué)投籃命中的概率依次

為4=尸得=j）（/=1,2,3）,每位同學(xué)能否命中相互獨立.請幫領(lǐng)隊分析如何安排三

名同學(xué)的出場順序，才能使得該代表隊出場投籃人數(shù)的均值最??？并給出證明.

27.（2023秋?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺的答題競賽

包括三項活動，分別為“四人賽”“雙人對戰(zhàn)”和"挑戰(zhàn)答題在一天內(nèi)參與“四人賽”活動，

每局第一名積3分，第二、三名各積2分，第四名積1分，每局比賽相互獨立.在一天

內(nèi)參與“雙人對戰(zhàn)”活動，每局比賽有積分，獲勝者得2分，失敗者得1分，每局比賽相

互獨立.己知甲參加“四人賽”活動，每局比賽獲得第一名、第二名的概率均為;，獲得

13

第四名的概率為工；甲參加“雙人對戰(zhàn)”活動，每局比賽獲勝的概率為二.

（1）記甲在一天中參加“四人賽''和“雙人對戰(zhàn)”兩項活動（兩項活動均只參加一局）的總得

分為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）“挑戰(zhàn)答題”比賽規(guī)則如下：每位參賽者每次連續(xù)回答5道題，在答對的情況下可以持

續(xù)答題，若第一次答錯時，答題結(jié)束，積分為0分，只有全部答對5道題可以獲得5個

積分.某市某部門為了吸引更多職工參與答題，設(shè)置了一個“得積分進階”活動，從1階到

“（〃210）階，規(guī)定每輪答題獲得5個積分進2階，沒有獲得積分進1階，按照獲得的

階級給予相應(yīng)的獎品，記乙每次獲得5個積分的概率互不影響，均為：，記乙進到”階

O

的概率為P“，求P|2.

28.（2023秋?江蘇?高三統(tǒng)考期末）第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日

在卡塔爾舉辦.在決賽中，阿根廷隊通過點球戰(zhàn)勝法國隊獲得冠軍.

FIFAWORLDCUP

GWR

（i）撲點球的難度一般比較大,假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三

個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將

即使方向判斷正確也有弓的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求

門將在前三次撲到點球的個數(shù)X的分布列和期望；

（2）好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓(xùn)練中,

球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨

機傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第〃次傳球

之前球在甲腳下的概率為P”,易知Pi=LPz=0.

①試證明：為等比數(shù)列；

②設(shè)第〃次傳球之前球在乙腳下的概率為W，比較0。與卬。的大小.

29.（2023?河北?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2021年9月15日至17日，世界新

能源汽車大會在海南?？谡匍_，大會著眼于全球汽車產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型升級和生態(tài)環(huán)境的持續(xù)

改善.某汽車公司順應(yīng)時代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車.為了推廣該款新能源汽車，

購買新能源汽車將會得到相應(yīng)的補貼，標(biāo)準(zhǔn)如下：

購買的新能源汽車價格（萬元）60-7070-8080-9090-100

補貼（萬元）571015

（1）本月在A市購買新能源汽車的4000人中隨機抽取300人，統(tǒng)計了他們購買的新能源

汽車的價格并制成了如下表格（這4000人購買的新能源汽車價格都在60-100萬元之間）

利用樣本估計總體，試估計本月A市的補貼預(yù)算（單位：億元，保留兩位小數(shù)）

(2)該公司對這款新能源汽車的單次最大續(xù)航里程進行了測試，得到了單次最大續(xù)航里程

y(km)與售價的關(guān)系如下表.根據(jù)數(shù)據(jù)可知>與x具有線性相關(guān)關(guān)系，請建立丫與x的回

歸方程$.=以+4(系數(shù)精確到0.01).周小姐想要購買一輛單次最大續(xù)航為420km的該

款新能源汽車，請根據(jù)回歸方程計算周小姐至少要準(zhǔn)備多少錢(單位：萬元，保留兩位

小數(shù))

售價X(萬元)6670738190

單次最大續(xù)航里程>(km)200230260325405

務(wù)=上4---------,a=y-bx

2一2

Xi-nx

；=1

(3)某汽車銷售公司為促進消費者購買該新款新能源汽車,現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲,

送大獎”活動，活動規(guī)則如下：箱子里有2個紅球，1個黃球，1個藍球，客戶從箱子里

隨機取出一個球(每一個球被取出的概率相同)，確定顏色后放回，連續(xù)抽到兩個紅球

時游戲結(jié)束，取球次數(shù)越少獎勵越好，記取〃次球游戲結(jié)束的概率為匕(”eN").周小姐

參與了此次活動，請求周小姐取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

30.(2022秋?廣東東莞?高三統(tǒng)考期末)現(xiàn)有一種射擊訓(xùn)練，每次訓(xùn)練都是由高射炮向

目標(biāo)飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物與否相互獨立.已知射擊訓(xùn)練

有A,B兩種型號的炮彈，對于A型號炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為p

(0<p40.4),且擊中一彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.6,擊中兩彈目標(biāo)飛行物必墜段；

對子B型號炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為q且擊中一彈目標(biāo)

飛行物墜毀的概率為04擊中兩彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.8,擊中三彈目標(biāo)飛行物

必墜毀.

(1)在一次訓(xùn)練中，使用B型號炮彈，求q滿足什么條件時，才能使得至少有一發(fā)炮彈命

中目標(biāo)飛行物的概率不低于。936；

(2)若。+夕=1,試判斷在一次訓(xùn)練中選用A型號炮彈還是B型號炮彈使得目標(biāo)飛行物墜

毀的概率更大？并說明理由.

2四支年高遁數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

【一專三練】專題04概率統(tǒng)計與期望方差分布列大題壓軸

練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）

1.（2023秋?浙江?高三校聯(lián)考期末）抽屜中裝有5雙規(guī)格相同的筷子，其中2雙是一次

性筷子，3雙是非一次性筷子，每次使用筷子時，從抽屜中隨機取出1雙，若取出的是

一次性筷子，則使用后直接丟棄，若取出的是非一次性筷子，則使用后經(jīng)過清洗再次放

入抽屜中，求：

（1）在第2次取出的是非一次性筷子的條件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；

（2）取了3次后，取出的一次性筷子的個數(shù)（雙）的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）取了“（"=2,3,4,…）次后，所有一次性筷子剛好全部取出的概率.

【答案】（*

（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為黑

（3）答案見解析

【分析】（1）運用條件概率公式計算；

（2）按照獨立事件計算；

（3）運用獨立事件的概率乘法公式結(jié)合等比數(shù)列求和計算即可.

【詳解】（1）設(shè)取出的是第一次是一次性筷子為事件A,取出的是第二次非一次性筷子

為事件B,

3

所以在第二次是非一次性筷子的前提下，第一次是一次性筷子的概率

（2）對于X=O,表示三次都是非一次性筷子，非一次性筷子是山放回的,

327

125

對于X=l,表示三次中有一次筷子，對應(yīng)的情況有第一次，第二次，第三次是一次性

筷子，

2四支年高遁數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

P(X=l)=|x(|)

I5545551000

對于X=2,表示三次中有一次是非一次性筷子，同樣有第一次第二次第一次之分,

+M-47

尸(X=2)=

55454454200

X012

2754947

P

1251000200

27549c471019

數(shù)學(xué)期望E（X）=0x茂+lx+2x---=----

10002001000

（3）n次取完表示最后一次是一次性筷子，則前n-1次中有一次取得一次性筷子,

n-2

所以匕=||田+泠肌眇|田+/

第

3

2.（2022?江蘇南京?南京市江寧高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）2022年2月6日，中國女足在

兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決

賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)6:5驚險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鉉兩度撲出日本隊員

的點球，表現(xiàn)神勇.

（1）撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右

三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且

門將即使方向判斷正確也有g(shù)的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中,

求門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的分布列和期望;

（2）好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的

訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等

可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第

2。23一年高造數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

n次傳球之前球在甲腳下的概率為P?,易知目=1,P2=0.

①試證明｛p“-51為等比數(shù)列；

②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為%,比較P.O與qw的大小.

【答案】(1)分布列見解析，E(X)=；

(2)①證明見解析；②加<①

【分析】(1)先計算門將每次可以撲出點球的概率，再列出其分布列，進而求得數(shù)學(xué)期

望；

(2)遞推求解，記第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為P“，則當(dāng)〃22時-，第n-1次傳

球之前球在甲腳下的概率為P,.-,，滿足P,.="。+(1--)?g=-g4―+；.

【詳解】(1)解析1：分布列與期望

依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為P=2X!X3X1=L，

332o

門將在前三次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0,1,2,3,

P(X=0)=O(JX曾=裝，尸(x=i)=c；x曾科2=錄

Vo7J216