2023年河北省中考方程與不等式練習（含答案）

2023年河北省中考方程與不等式專題練習

學校:姓名：班級:考號：

一、單選題

1.關于X的一元二次方程"2+2x7=0有兩個不相等的實數根,則k的取值范圍是（）

A.k>-lB.k>-\C.且&片0D.k>-l且我力0

2.某種品牌的電動車經過四、五月份連續(xù)兩次降價，每輛售價由3600元降到了3000

元，設平均每月降低的百分率為x,根據題意可列出的方程是（）

A.3000（1+x）2=3600B.3000（1-x）2=3600

C.3600（1+x）2=3000D.3600（1-x）2=3000

3.已知指的整數部分是方程V-3x-機=0的一個根，則該方程的另一根是（）

A.-2B.2C.-1D.1

4.若關于x的方程==々+2有增根，則，〃的值為（）

x-1X-}

A.1B.0C.3D.-2

5.解分式方程5告+x>=4時，去分母后，得（）

x-33-x

A.5-x=4（x-3）B.5+x=4（x-3）

C.5（3-x）+x（x-3）=4D.5-x=4

3k

6.若關于x的方程一\=1-7匚無解，則%的值為（）

x-\1-x

A.3B.1C.-3D.-1

2

7.若關于x的方程上=產一無解，則m的值為（）

X2x4-1

A.0B.4或6C.4D.0或4

8.若關于'的分式方程號-會=3的解為正數,則加的取值范圍是（）

A.m>-5B.帆>一5且相，一1C.m>-3D.m>一3且

9.甲隊修路1000m,乙隊修路1200m,若,且比甲提前一天完成任務.設甲隊

每天修路時，根據題意可列出方程us=萼空+1,則應填寫的條件為（）

x2x-30

A.甲隊每天修路比乙隊2倍多30mB.甲隊每天修路比乙隊2倍少30m

C.乙隊每天修路比中隊2倍多30mD.乙隊每天修路比中隊2倍少30m

10.小明和小亮解答“解分式方程：2三Y4-3上=1V--q1”的過程如下，對他們的解答過程有

XX

以下判斷，判斷正確的是（）.

小明的解法：小亮的解法：

解：去分母，得2x+3=l—（x-l）,①

解：去分母，得2X+3=X-（XT）,①

去括號，得2x+3=l—x+l,②去括號，得2x+3=x-x+l,②

移項，得2X+X=1+1-3,③移項，得2X=-3+1,③

合并同類項，得標=-1,④合并同類項，得23=-2,④

1

X=--系數化為1,得4-1,⑤

系數化為1,得3,⑤

1

x=--經檢驗x=-l是原分式方程的解.⑥

經檢驗3是原分式方程的解.⑥

A.小明正確，小亮錯誤B.小明錯誤，小亮正確

C.兩人都正確D.兩人都錯誤

11.如圖，在平面直角坐標系My中，一次函數y=；x+7的圖象與x軸、），軸分別相交

于點A、B,點P的坐標為（m+1,1）,且點尸在一ABO的內部，則用的取值范圍是

C.1<<5D.加<1或m>3

12.已知兩個不等式的解集在數軸上如右圖表示，那么這個解集為（）

11411111tli

-5-4-3-2-1012345

A.x>一1B.x—1C.—3<xW—1D.x>-3

13.若m＞幾，則下列不等式正確的是（）

一mn

A.m—2<n—2B.—>—C.6m<6nD.—8m>—8H

66

6-3x<0

14.關于無的不等式組恰好有3個整數解，則〃滿足()

2x<a

A.。=10B.10<tz<12C.10<^<12D.10<?<12

試卷第2頁，共8頁

15.某種筆記本原售價是每本7元，凡一次購買3本或以上可享受優(yōu)惠價格，第1種：

3本按原價，其余按七折優(yōu)惠；第2種：全部按原價的八折優(yōu)惠，若想在購買相同數量

的情況下，要使第1種比第2種更優(yōu)惠，則至少購買筆記本是（）

A.7本B.8本C.9本D.10本

16.在平面直角坐標系中，若點尸（2-九7-2.）在第二象限，則整數〃?的值為（）

A.1B.2C.3D.4

17.函數y中，自變量x的取值范圍是（）

x+3

1

A.x>一B.戶一3C.且戶-3D.

222

二、填空題

18.參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手36次，則有人參加聚

會.

19.方程3/-61=0的解是

20.某村種的水稻2020年平均每公頃產8000kg,2022年平均每公頃產9680kg,則該

村水稻每公頃產量的年平均增長率為.

21.太原迎澤公園是太原市內最大的綜合性文化休閑公園，其間種植了數萬株觀賞樹木、

橋、廊、亭、榭多不勝數.如圖，相關部門計劃在公園內一塊長為32米，寬為20米的

近似矩形湖面上修筑寬度固定的觀景長廊（圖中陰影部分），要使湖面剩余部分（空白

部分）的面積為540平方米，則長廊的寬為米.

22.如圖，在A5C中，AB=4,AC=3,BC=5,將..A3C沿著點力到點C的方向平

移到DEF的位置,圖中陰影部分面積為1,則平移的距離為.

23.春季流感病毒傳播速度快，我們要做好預防.如果有一個人患了流感，經過兩輪傳

染后共有256人患了流感，則每輪傳染中平均一個人傳染了人.

三、解答題

24.(1)計算出-4+,：-(2022-婿+2cos30。.

(2)解方程：x(x-3)=2(x-3)

25.用適當的方法解下列一元二次方程：

(1)X2-8X+1=0:

(2)3X(X-1)=2X-2

26.解方程：

⑴2X—5=0；

(2)(X+4)2=2(X+4)；

⑶(X-1)2-9=0；

(4)x(x+5)=6.

27.某景區(qū)商店以2元的批發(fā)價進了一批紀念品，經調查發(fā)現，每個定價3元，每天可

以能賣出500件，而且定價每上漲0.1元，其銷售量將減少10件.根據規(guī)定：紀念品

售價不能超過批發(fā)價的2.5倍.

(1)當每個紀念品定價為3.6元時,每天可賣出___________件，日銷售利潤為

元：

(2)若每個紀念品售價上漲巾元，商店每天能賣出__________件；(用含，〃的代數式表

示)

(3)如果商店要實現每天800元的銷售利潤，求每件紀念品的售價.

28.某經銷商銷售一種產品，這種產品的成本價為10元/千克，已知銷售價不低于成本

價，且物價部門規(guī)定這種產品的銷售價不高于18元/千克，市場調查發(fā)現，該產品每天

的銷售量y(千克)與銷售價x(元/千克)之間的函數關系如圖所示：

(千克)

1018x(元/千克)

(1)求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍;

試卷第4頁，共8頁

(2)求每天的銷售利潤w(元)與銷售價x(元/千克)之間的函數關系式.當銷售價為多

少時，每天的銷售利潤最大；

(3)該經銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為多少？

29.閱讀材料：我們學習了完全平方式，并知道完全平方式具有非負性.我們可以利用

完全平方式的知識，將一般的二次代數式，轉化為完全平方式的形式，這個過程叫做“配

方通過配方，我們可以求代數式的最大(小)值.

例如:求代數式代+4y+8的最小值.

解：我們可以先將代數式配方：/+4y+8=r+4y+4+4=(y+2)2+4

再利用完全平方式的非負性：???()，+2)&0,.?.(y+2y+424,.?.丁+4)，+8的最小值

是4.

⑴求代數式“2+〃?+4的最小值；

(2)求代數式-丁+4x+12的最大值；

(3)某居民小區(qū)要在一塊兩面靠墻(墻長無限)的空地上建一個長方形花園另兩

邊用總長為20m的柵欄圍成.如圖，設AB=x(m),請問：當x取何值時，花園的面積

最大？最大面積是多少？

30.如圖，在矩形A8CZ)中，A5=15cm,A￡>=5cm,動點尸、。分別從點A、C同時

出發(fā)，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到點B為止，點。以2cm/s的速度向點。

移動(點P停止移動時，點。也停止移動).設移動時間為f(s).連接PQ,QB.

(1)用含r的式子表示線段的長：CQ=；PB=.

(2)當r為何值時，P、。兩點間的距離為13cm?

(3)當f為何值時，四邊形4PQ。的形狀可能為矩形嗎？若可能，求出f的值；若不可能,

請說明理由.

31.如圖,A,8,C,。四點在數軸上，點A表示的數為20,點B表示的數為16,8c=14,

AC;CD=3:2.

I1I1,

DCBA

(1)點A與點8的距離是,點C與點。的距離是，點。在數軸上表

示的數是.

(2)線段CD以每秒2個單位長度的速度沿數軸正方向運動，同時，線段AB以每秒1個

單位長度的速度在數軸上運動，運動時間為r秒，

①若線段4B沿數軸負方向運動，當?滿足時，點A,8同時在線段CD上；

②若線段AB沿數軸正方向運動，當f滿足時，點A,B.同時在線段C。上.

(3)一條4個單位長度的大毛毛蟲的頭從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數軸

正方向運動，9秒后，一條2個單位長度的小毛毛蟲的頭從點2出發(fā)，以每秒2個單位

長度的速度沿數軸負方向運動到點C時，立即調頭改變方向保持原速度沿著數軸正方向

運動.設大毛毛蟲運動的時間為f秒.

①當兩條毛毛蟲頭和頭相遇時，求■的值；

②當兩條毛毛蟲尾和尾相遇時，直接寫出r的值.

32.在自然數中，一個四位數，記千位數字與個位數字之和為x,十位數字與百位數字

之和為y,如果x=y,那么稱這個四位數為“對稱四位數

(1)在四位數2002和2053中，其中是“對稱四位數”；

(2)最小的“對稱四位數”為；

(3)一個“對稱四位數”加，它的百位數字是千位數字。的3倍，個位數字與十位數字之和

x-4<0

為8,且千位數字“使得不等式組a恰有4個整數解，請直接寫出所有滿足條件

X>一

I3

的“對稱四位數”〃的值.

33.某商店出售普通練習本和精裝練習本，150本普通練習本和100本精裝練習本銷售

總額為1450元；200本普通練習本和50本精裝練習本銷售總額為1100元.

(1)求普通練習本和精裝練習本的銷售單價分別是多少？

(2)該商店計劃再次購進500本練習本，普通練習本的數量不低于精裝練習本數量的3倍,

已知普通練習本的進價為2元/個,精裝練習本的進價為7元/個，設購買普通練習本x個，

獲得的利潤為W元；

①求W關于x的函數關系式

②該商店應如何進貨才能使銷售總利潤最大？并求出最大利潤.

試卷第6頁，共8頁

34.復習備考時，王老師在黑板上寫了一道分式化簡題的正確計算結果，隨后用字母A

代替了原題目的一部分：

(1)求代數式4并將其化簡；

⑵當A=5時，求尤的值.

35.計算.

⑴解方程：/=--T-1；

X--Ix-1

’3、—4x+4

(2)先化簡x+1----------+-----------—，再從1,2,3中選取一個適當的數代入求

x-1x-\

值.

2x+5

36.老師所留的作業(yè)中有這樣一個分式的計算題:,甲、乙兩位同學完成

77?十一

的過程分別如下:

甲同學：22+半%+5

x+1廠一1

2x+5依

=(x+l)(x-l)+(x+l)(x-l)第一步

2+x+5

第二步

(x+l)0T)

x+7

第三步

(x+l)(x-l)

2x+5

乙同學:

X+1X"-1

2(x-l)i+5

第一步

=2x-2+x+5第二步

=3x4-3第三步

⑴對于兩人的做法，下列判斷正確的是：()

A.甲對乙錯B.甲錯乙對C.甲乙都對D.甲乙都錯

(2)若正確，說明每步做的依據；若錯誤，則甲同學的解答從第步開始出現

錯誤；乙同學的解答從第步開始出現錯誤；并重新寫出完成此題的正確解

答過程.

2x+5

x+1X2-1

⑶解分式方程，體會與分式化簡的關系.

23+54

--------1---7-----=--------

X+1廣一1X-,1

試卷第8頁，共8頁

參考答案：

1.D

【分析】根據一元二次方程根的判別式及定義，即可得不等式組，解不等式組，即可求解.

【詳解】解：.關于X的一元二次方程依2+2x-1=0有兩個不相等的實數根，

.?.△=4+4%>0且火工0,

解得氏>-1且％片0,

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式及定義，熟練掌握和運用一元二次方程根的判

別式是解決本題的關鍵.

2.D

【分析】根據原售價x(1—降低率)2=兩次降價后的售價，然后即可列出方程.

【詳解】解：設平均每月降低的百分率為X,

根據題意，可得：3600(1-%)2=3(X)0.

故選：D

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解本題關鍵在于理解題意列出方程.

3.D

【分析】先確定"的整數部分，即確定了方程的一個根，再將根代入計算，

求出加的值，最后根據解一元二次方程的方法解方程即可求解.

【詳解】解：???"<"<四，即2<#<3,

；?幾的整數部分是2,即方程x2-3x-m=0的一個根是2,

/.22-3X2-W=0.解得，m=-2,

?**x~—3x+2=(x—l)(x—2)—0,解方程得，再=1,X)=2,

,該方程的另一-根是1,

故選：D.

【點睛】本題主要考查二次根式，一元二次方程的綜合，掌握二次根式求整數部分的方法,

解一元二次方程的方法是解題的關鍵.

4.D

【分析】增根是化為整式方程后產生的不適合分式方程的根.所以應先確定增根的可能值,

答案第1頁，共22頁

讓最簡公分母x-l=O,得到x=l,然后代入化為整式方程的方程算出〃?的值.

【詳解】解：==」、+2

x-\x-\

方程兩邊都乘以x-1,得：X—3=/n+2(x—1),

???分式方程有增根，

X—1=0?即x=I,

將x=l代入整式方程，得：1一3=機，即機=一2,

故選：D.

【點睛】本題考查了分式方程的增根.增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0

確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值.

5.A

【分析】分式方程兩邊乘以(x-3),去分母得到結果，即可作出判斷.

【詳解】三5+義x=4

x-33-x

5x，

--------------=4,

x—3x—3

分式方程兩邊乘以(X-3),去分母得：工x(x-3)-號x(x-3)=4x(x-3),

即有：5-x=4(x-3),

故選：A.

【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，去分母時要注意不要漏乘.

6.A

【分析】根據分式方程無解得到x=l,將x=l代入化簡后的整式方程計算即可得到上

3k

【詳解】解：化簡一7=1-4得：3=x—1+3

x-\\-x

??X-1,

將x=l代入3=x—1+%得：3=1—1+A：,

解得：k=3,故A正確.

故選：A.

【點睛】本題主要考查分式方程無解的情況，正確理解分式方程的計算過程，確定分式方程

無解時未知數的值是解題的關鍵.

答案第2頁，共22頁

7.D

【分析】先將分時方程化為整式方程，再根據方程無解的情況分類討論，當〃?-4=0時，當

〃2—4/0時，x=0或2x+l=0,進行計算即可.

【詳解】方程兩邊同乘x（2x+l）,得2（2x+l）=如，

整理得（帆-4比=2,

原方程無解，

.當-4=0時，zn=4；

2

當〃2-4=0時，l=0或2尢+1=0,此時，x=------,

m-4

解得x=0或％=_；,

2

當x=0時，x=---7=。無解；

121

當人=-7時，x=-=解得機=。；

2”?一42

綜上，團的值為0或4；

故選：D.

【點睛】本題考查了分式方程無解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是最簡公

分母為0和化成的整式方程無解，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

8.B

【分析】先解分式方程，使方程的解大于零，再使分式方程有意義即可.

【詳解】解：」\-黑=3

x-22-x

加+（工—1）=3（x—2）

m+x-l=3x-6

l+6=3x-x

2x=m+5

〃z+5

J-2，

?.?分式方程的解為正數，即、=萼>0,

2

t?i>—5,

又???使分式方程有意義，x-2*0,

答案第3頁，共22頁

.m+5

一2。0,

2

綜上：機＞一5且加工一1,

故選:B.

【點睛】本題考查了分式方程，解出分式方程使其解大于零且分式方程有意義是解題的關鍵.

9.D

【分析】根據方程可以寫出缺少的條件，本題得以解決.

【詳解】由方程幽1200

+1可知:

2x-30

乙隊每天修路比甲隊2倍少30m

故選D

【點睛】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，寫出被遮住的

條件.

10.B

【分析】觀察解方程的步驟，找出出錯的即可.

【詳解】解：根據題意得：

小亮的解答正確；

小明的步驟①錯誤，漏乘，

小明的步驟②、③、④、⑤都正確，

故選：B.

【點睛】此題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關鍵.

11.B

【分析】先求出點A和點B的坐標，再根據點尸在〈AB。內部建立不等式組求解即可.

【詳解】解：：函數y=gx+7的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B,

.?.4(14,0),8(0,7),

???點P在,.A3O的內部,

0<〃2+1<14

0</n-1<7

〃？一1〈一（（〃？+1）+7

答案第4頁，共22頁

1<zn<5.

故選:B.

【點睛】本題主要考查了一次函數與幾何綜合，解一元一次不等式組，正確理解題意列出點

P在.ABO內部時的不等式組是解題的關鍵.

12.B

【分析】取兩個不等式的解集的公共部分即可.

【詳解】解：由題意得，不等式組的解集為：x>-l.

故選：B.

【點睛】本題考查在數軸上表示不等式組的解集，熟知實心原點與空心原點的區(qū)別是解題的

關鍵.

13.B

【分析】根據不等式的性質：（1）不等式兩邊同加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方

向不變；（2）不等式兩邊同乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；（3）不等式兩邊同乘

以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，即可一一判定.

【詳解】解：相>〃，

mn,，

:.m-2>n-2,—-om<-8n,

66

故A、C、D錯誤，B正確，

故選：B.

【點睛】本題考查了不等式的性質，熟練掌握和運用不等式的性質是解決本題的關鍵.

14.B

【分析】先分別求出每一個不等式的解集，然后根據口訣“同大取大、同小取小、大小小大

中間找、大大小小找不到”并結合不等式組有3個整數解，得出關于a的不等式求解即可.

【詳解】解：由6-3x<0得：x>2,

由2x4a得：x<—,

2

???不等式組恰好有3個整數解，

???不等式組的整數解為3、4、5,

.\5<-<6,解得10Va<12,

2

故選：B.

【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組、不等式組的整數解等知識點，掌握“同大取

答案第5頁，共22頁

大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答本題的關鍵.

15.D

【分析】設購買x本筆記本，根據題意得出第1種所需費用：3X7+(X-3)X7X0.7,第2種

所需費用：0.8x7%,利用第1種比第2種更優(yōu)惠，列出不等式求解即可.

【詳解】解：設購買x本筆記本，由題意可知，要使第1種比第2種更優(yōu)惠，則：

3x7+(x-3)x7x0.7<0.8x7x,

解得：x>9,

...最少購買10本.

故選D.

【點睛】本題主要考查的是一元一次不等式的實際應用，正確理解題意，列出一元一次不等

式是解題的關鍵.

16.C

【分析】根據第二象限的點的橫坐標小于0,縱坐標大于0列出不等式組，然后求解即可.

【詳解】解：由題意得：L.，、，

[1-2m>0

解得：2<m<3.5,

整數機的值為3,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了點的坐標及解一元一次不等式組，記住各象限內點的坐標的符號是

解決的關鍵.

17.C

(分析】根據分式有意義的條件以及二次根式有意義的條件即可求得x的取值范圍.

【詳解】解：Vl-2x>0,x+3#0,

*'"x<-Ji.,故C正確.

2

故選：C.

【點睛】本題考查了分式有意義的條件以及二次根式有意義的條件，掌握以上知識是解題的

關鍵.

18.9

【分析】設有x人參加聚會，根據題意列出一元二次方程，解方程即可求解.

答案第6頁，共22頁

【詳解】解：設有X人參加聚會，根據題意，

得gx（x-l）=36,

解得：西=9,々=-8（舍去）

??.有9人參加聚會

故答案為：9.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出一元二次方程是解題的關鍵.

19.%=0,巷=2

【分析】提公因式X,可分解因式，解方程即可.

【詳解】解：3X2-6X=0,

3x（%-2）=0,

解得：x,=0,i2=2,

故答案為：占=0,X2=2.

【點睛】本題考查了解一元二次方程一因式分解法，屬于基礎題，掌握提公因式法是關鍵.

20.10%

【分析】設該村水稻每公頃產量的年平均增長率為X,根據題意列出一元二次方程，解方程

即可求解.

【詳解】解：該村水稻每公頃產量的年平均增長率為凡根據題意得，

8000（1+A-）2=9680

解得：X,=0.1=10%,x2=-2.1（舍去）

.?.該村水稻每公頃產量的年平均增長率為10%,

故答案為：10%.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵.

21.2

【分析】設長廊的寬為x米，可得出剩余的部分可合成長為（32-x）米，寬為（20-x）米的矩

形，根據剩余部分的面積為540平方米，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解.

【詳解】解：???長廊的寬為x米，

.?.剩余的部分可合成長為（32-x）米，寬為（20-x）米的矩形.

答案第7頁，共22頁

依題意得：（32-力（20-力=540,

解得：4=2,x2=50（舍去）.

故答案為：2.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方

程是解題的關鍵.

22.3--

2

【分析】根據A8=4,AC=3,BC=5判定,ABC是直角三角形，設DE與BC的交點為G,

平移距離AO=x,則。C=3-x,利用相似的性質計算即可.

【詳解】；AB=4,AC=3,BC=5,KBC2=25=16+9=AC2+AB2,

ABC是直角三角形，

設DE與BC的交點為G,平移距離仞=x,貝iJOC=3—x,

AB//DG,

：DC=DG=3-.=DG"^=4。尸=90。,

CAAB34

解得QG=4（3-X）,

3

：.-DG-DC=\,

2

Z.1X4^3~^X（3-X）=1,

解得x=3----,X=3H———（舍去），

22

故答案為：3-包.

2

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，平移，相似的性質，一元二次方程的解法，熟練掌

握平移的規(guī)律，勾股定理的逆定理，相似的性質是解題的關鍵.

23.15

【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數中，設每輪傳染中平均

一個人傳染了x個人，則第一輪傳染了x個人，第二輪作為傳染源的是。+1）人，則傳染Mx+1）

答案第8頁，共22頁

人，依題意列方程，解方程即可求解.

【詳解】解：設每輪傳染中平均一個人傳染了X個人，

依題意得：l+x+x(l+x)=256,即(1+4=256

解得：演=15,々=T7(舍去)

故答案為：15.

【點睛】考查了一元二次方程的應用，本題要注意的是，患流感的人把病毒傳染給別人，自

己仍然是患者，人數應該累加，根據題意正確列出方程是解題的關鍵.

24.(1)—2；(2)=2,x2=3

【分析】(1)根據絕對值運算、負整數指數累運算、零指數尋運算及特殊角的三角函數值運

算分別計算后，再根據實數運算法則求解即可得到答案；

(2)根據提公因式因式分解法求解一元二次方程即可得到答案.

【詳解】解：⑴*一2卜［一］-(2022-^)°+2cos300

=2-x/3-3-l+2x—

2

=(2-3-1)+(->/3+^)

=-2;

(2)x(x-3)=2(x-3)

移項得x(x-3)-2(x-3)=0,

提公因式得(尤-3心—2)=0,

X=2,x2=3.

【點睛】本題考查實數運算及解一元二次方程，涉及絕對值運算、負整數指數基運算、零指

數基運算、特殊角的三角函數值運算及一元二次方程因式分解法求解的方法步驟，熟練掌握

相關知識是解決問題的關鍵.

25.(l)x)=4+y/15,x,=4-\/15；

2

(2)X=1,Xj=-

答案第9頁，共22頁

【分析】(1)根據配方法解一元二次方程即可；

(2)根據因式分解法解一元二次方程即可.

【詳解】(1)解：x2—8x=—1,

X2-8X+16=15,

(x-4)』5,

x-4=±5/15,

芭=4+yj\5,=4—\J\5；

(2)解：3x(x-l)-2(x-l)=0,

(x-l)(3x-2)=0,

貝■一1=0或3x—2=0,

玉=1,x2=-

【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵.

26.(1)玉=1+n，=1—>/6

(2)%=,￡=—2

(3)玉=4,x2=-2

(4)無]=],-6

【分析】(1)利用配方法解方程即可；

(2)利用因式分解法解方程即可；

(3)利用直接開平方的方法解方程即可；

(4)利用因式分解法解方程即可.

【詳解】⑴解——2%一5=0,

x2—2x=5,

/.x2—2x4-1=6,

2

(X-1)=6,

**?x-1=土后

答案第10頁，共22頁

解得%=1+而，x,--1—V6；

(2)解：：(X+4)2=2(X+4),

(X+4)2-2(X+4)=0,

(x+4—2)(x+4)=0,

...x+4=0或x+4-2=0,

解得％=-4,x2=-2；

(3)解：V(X-1)2-9=0,

2

(%-l)=9

x—1=±3,

解得％=4,x2——2；

(4)Vx(x+5)=6,

???X2+5X-6=0,

/.(x+6)(x-l)=0,

/.x+6=0或工一1=0,

解得Xj=1,x2=-6.

【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關鍵.

27.(1)440,704

⑵(500-100加)

⑶每件紀念品的售價為4元

【分析】(1)(2)根據所給的數量與售價的關系進行列式計算即可；

(3)根據利潤=(售價-進價)x數量列出方程求出機的值即可得到答案.

【詳解】(1)解：500-苓［1x10=440件，

，當每個紀念品定價為空白公式元時，每天可賣出440件，

(3.6-2)x440=704%.

答案第11頁，共22頁

...日銷售利潤為704元,

故答案為：440,704；

(2)解：由題意得，每個紀念品售價上漲加元，商店每天能賣出500-2^x10=(500-100,")

件，

故答案為：(500-100/n)；

(3)解：由題意得，(3-2+777)(500-100w)=800,

整理得：，〃2_4"?+3=0，

解得，刀=1或〃?=3,

；紀念品售價不能超過批發(fā)價的2.5倍，

/n+3<2x2.5,即機42,

/.=1,

3+1=4元，

,每件紀念品的售價為4元.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，有理數混合計算的實際應用，列代數式

等等，正確理解題意列出對應的式子和方程是解題的關鍵.

28.(l)y=-2x+60(10<x<18)

(2)W=-2X2+80X-600,銷售價為18元時，每天的銷售利潤最大

(3)15元

【分析】(1)設函數關系式丫=后+。，把(10,40),(18,24)代入求出4和b即可，由成本價

為10元/千克，銷售價不高于18元/千克，得出自變量x的取值范圍；

(2)根據銷售利潤=銷售量x每一件的銷售利潤得到w和x的關系，利用二次函數的性質

得最值即可；

(3)先把y=150代入(2)的函數關系式中，解一元二次方程求出x,再根據x的取值范圍

即可確定x的值.

【詳解】(1)(1)解：設y與x之間的函數關系式y(tǒng)=H+3把(10,40),(18,24)代入得

10左+匕=40

麻+6=24

答案第12頁，共22頁

解得：k=-2,b=60,

：.y與x之間的函數關系式y(tǒng)=-2x+60(10Vx?18)；

(2)w=(x-10)(-2x+60)=-2x2+80x-600

對稱軸x=20,在對稱軸的左側w隨著x的增大而增大，

：104x418,

當x=18時，w最大.

即當銷售價為18元時，每天的銷售利潤最大.

(3)由-2犬+80》-600=150

整理得：x2-40x+375=0

解得x=15或x=25(不合題意，舍去)

即：銷售價應定為15元.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：找準點的坐

標，用待定系數法求出函數關系式；找準等量關系，正確列出一元二次方程.

29.(1春

4

⑵16

(3)當x=10m時，花園的面積最大，最大面積是100??

【分析】(1)仿照例題配方解答即可；

(2)仿照例題配方解答即可；

(3)用x表示出8C,根據長方形面積公式列式，配方后即可解答.

【詳解】(1)解：nr+/n+4=/n2+/n+—-—+4=f/n+—+—)

m+—

2

m+—

2

?.?加+"+4的最小值是了;

(2)-x-+4x+12=-(X2-4X+4-4)+12=-(X-2)2+16,

V-(x-2)-<0,

答案第13頁，共22頁

A-(X-2)2+16<16,

；?-f+4x+12的最大值是16；

(3)設AB=x(機)，則3C=(20-x)m,

花園的面積=

=x(20-x)

=-x2+20x

=-(x-10)2+100

V-(x-10)2<0,

A=-(x-10)2+100<100,

.?.當x=10m時，花園的面積最大，最大面積是100m?.

【點睛】此題考查了完全平方公式配方的應用，正確理解已知例題，仿照例題的解題方法完

成配方是解題的關鍵.

30.(l)2zcm,(15-3/)cm

(2)尸、。出發(fā)0.6和5.4秒時,P,。間的距離是13cm

(3)尸、。出發(fā)3秒時四邊形APQD為矩形

【分析】(1)根據題意可直接進行求解；

(2)可通過構建直角三角形來求解.過。作于〃，如果設出發(fā)f秒后，QP=13cm.那

么可根據路程=速度x時間，用未知數表示出PM的值，然后在直角三角形中，求出未

知數的值.

(3)利用矩形的性質得出當4P=。。時;四邊形AP。。為矩形求出即可

【詳解】(1)解：由題意得：CQ=2fcm,AP=3fcm,

AB=15cm,

PB=(15-3f)cm；

故答案為2zcm,(15-3r)cm；

(2)解：設出發(fā)f秒后P、。兩點間的距離是13cm.

則AP=3f,CQ=2t,作QMLA8于"，

答案第14頁，共22頁

?.?四邊形ABCD是矩形，

，ZC=?WC=90°,

四邊形QMBC是矩形，

NQMP=90°,QM=BC=5cm,

PM=|15-2/-3/|=|15-5z|,

由勾股定理得：(15-5疔+52=132,

解得：r=0.6或f=5.4,

答：尸、。出發(fā)0.6和5.4秒時，P,。間的距離是13cm；

(3)解：四邊形APDQ的形狀有可能為矩形；理由如下：

當四邊形APQD為矩形，則AP=￡>Q,

即3，=15-2，,

解得：f=3.

答：當尸、。出發(fā)3秒時四邊形4PQ。為矩形.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用、勾股定理及矩形的性質，本題結合幾何知識并根

據題意列出方程是解題的關鍵.

31.(1)4；12；-10

⑵①64,45②18VY26

(3)20或18

【分析】(1)根據兩點間距離公式求解即可；

(2)分兩種不同的位置得出不等式組求解即可；

(3)根據題意列出方程，求解方程即可.

【詳解】(1)???點A表示的數為20,點B表示的數為16,

二AB=20-16=4,

8c=14,

答案第15頁，共22頁

，AC=AB+BC=4+14=18

又4C:CD=3:2

.?.18:8=3:2

CD=\2.

X16-14-12=-10

.?.點D在數軸上表示的數為：-10

故答案為：4：12；-10

（2）根據題意得4B=lm/s,CD=2m/s,要使A,8同時在線段CD上，則有：

1-10+2r<16-r<2+2f（3點在CD上）

11-10+2/420-42+2?A點在CD上）

解得，6</<y

幫答案為：6</<y

…[-10+2r416+Y2+2f（B點在CO上）

②《

1-10+2/420+f42+2?A點在CO上）

解得，18<r<26

故答案為：184Y26

（3）①9秒后，4個單位長度的大毛毛蟲頭在-10+9=-1處，尾在（-10-4）+9=-5處，則

小毛毛蟲從8到C需用時：14+2=7s,此時大毛毛蟲在-l+lx7=6處，則有：

6+乙=2+2/

解得，4=4

=4+7+9=20s；

②小毛毛蟲即從C點調頭時，小毛毛蟲的尾在。處，大毛毛蟲尾在-5+lx7=2處，要使尾

與尾相遇，則0+212=2+〃，

解得：〃=2

.?./=2+7+9=18（s）

綜上，t的值為：20或18

【點睛】本題考查了數軸和一元一次方程的應用，根據定義列出方程是解題的關鍵.

32.(1)2053

答案第16頁，共22頁

(2)1010

(3)1335或2626

【分析】(1)根據“對稱四位數”的定義進行求解即可；

(2)根據“對稱四位數”的定義進行求解即可；

(3)先解不等式組確定出。=1或。=2,設十位數字為x,則個數數字為8-x,再分。=1和

。=2兩種情況，利用“對稱四位數”的定義建立方程求解即可.

【詳解】(1)解：???2+2W0+0,

???四位數2002不是“對稱四位數”；

V2+3=04-5,

,四位數2053是“對稱四位數”；

故答案為：2053

(2)解：由題意得，最小的“對稱四位數”為1010,

故答案為：1010;

x-4400

⑶解：1”

x>—②

3

解不等式①得：x<4,

解不等式②得：x>-,

x-4<0

???千位數字a使得不等式組a恰有4個整數解，

x>—

3

AO<-<1,

3

/.0<?<3,

??6?—1a=2,

設十位數字為《則個數數字為8-x

當。=1時,則百位數字為3,

??1+8—x=x+3,

x=3,

/.8-x=5,

???這個“對稱四位數"M的值為1335；

答案第17頁，共22頁

當。=2時，則百位數字為6,

/.2+8-x=x+6,

??x-2,

??.8—X=6,

,這個“對稱四位數”M的值為2626；

綜上所述，這個“對稱四位數的值為1335或2626.

【點睛】本題主要考查了新定義下的實數運算，根據一元一次不等式組的解集情況求參數，

正確理解題意是解題的關鍵.

33.（1）普通練習本：3元；精裝練習本：10元

⑵①卬=-2x+1500；②普通練習本進375本，精裝練習本進125本，利潤最大，最大為750元

【分析】（1）設普通練習本的銷售單價為加元，精裝練習本的銷售單價為〃元，根據等量關

系式：150本普通練習本銷售總額+100精裝練習本銷售額=1450元；200本普通練習本銷售

額+50精裝練習本銷售額=1100元，列出方程，解方程即可；

（2）①購買普通練習本x個，則購買精裝練習本（500-x）個，根據總利潤=普通練習本獲得

的利潤+精裝練習本獲得的利潤，列出關系式即可；

②先求出x的取值范圍，根據一次函數的增減性，即可得出答案.

【詳解】（1）解：設普通練習本的銷售單價為加元，精裝練習本的銷售單價為〃元，根據題

意得：

J150m+100/1=1450

i200加+50〃=1100'

[tn=3

解得：

答：普通練習本的銷售單價為3元，精裝練習本的銷售單價為10元.

（2）解：①購買普通練習本x個，則購買精裝練習本（500-司個，根據題意得：

lV=（3-2）x+（10-7）（500-x）=-2x4-1500；

②?普通練習本的數量不低于精裝練習本數量的3倍，

x23（500-x）

500-x>0'

答案第18頁，共22頁

解得：375<x<500,

W=-2x+1500中4=-2<0,

隨x的增大而減小，

.?.當x=375時，W取最大值，

500-375=125（個），

W.it.=-2x375+150（）=750（元），

答：當購買375個普通練習本，125個精裝練習，銷售總利潤最大，最大總利潤為750元.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組、一次函數、一元一次不等式組的應用，解題的關

鍵是找出題目中的等量關系和不等關系列出方程和不等式.

34.（1）^^

（2）x=2

【分析】（1）根據被除式=商、除式，被減式=差+減式，然