2021年湖南省岳陽市昆山中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2021年湖南省岳陽市昆山中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是（

）A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度；

B.假設(shè)三內(nèi)角都大于60度；C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度；

D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度。參考答案：B略2.函數(shù)內(nèi)A.沒有零點(diǎn) B.有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C.有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) D.有無窮多個(gè)零點(diǎn)參考答案：B略3.已知三棱錐的底面是邊長為的正三角形，其正視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為A．

B．

C．

D．

參考答案：C由正視圖與俯視圖可知，該幾何體為正三棱錐，側(cè)視圖為，側(cè)視圖的高為，高為，所以側(cè)視圖的面積為。選C.4.設(shè)是等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件參考答案：C5.曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A6.如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為A1D1的中點(diǎn)，Q為A1B1上任意一點(diǎn)，E、F為CD上兩點(diǎn)，且EF的長為定值，則下面四個(gè)值中不是定值的是（）A.點(diǎn)到平面的距離B.直線與平面所成的角C.三棱錐的體積D.△的面積參考答案：B試題分析：將平面延展到平面如下圖所示，由圖可知，到平面的距離為定值.由于四邊形為矩形，故三角形的面積為定值，進(jìn)而三棱錐的體積為定值.故A，C，D選項(xiàng)為真命題，B為假命題.考點(diǎn)：空間點(diǎn)線面位置關(guān)系.7.如圖，正六邊形ABCDEF中，A. B. C. D.參考答案：D因?yàn)?所以,選D.8.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線準(zhǔn)線上一動點(diǎn)，點(diǎn)

在拋物線上，且，則的最小值為

（

）

A.6

B.

C.

D.參考答案：C9.若，則的大小關(guān)系為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.直線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)把圓的直徑分為兩段，則其長度之比為

（

）

A．或

B．或

C．或

D．或參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列四個(gè)結(jié)論：①命題“的否定是“”；②“若則”的逆命題為真；③已知空間直線，則的一個(gè)必要非充分條件是與所成角相等；④已知函數(shù)，則的最大值為。其中正確結(jié)論的序號是______________________________。參考答案：①③④12.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，下列四個(gè)命題：：數(shù)列是遞增數(shù)列；：數(shù)列是遞增數(shù)列；：數(shù)列是遞增數(shù)列；：數(shù)列是遞增數(shù)列．其中真命題的是

．參考答案：，13.已知橢圓：，點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合，若關(guān)于的兩焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)在上，則

．參考答案：

14.設(shè)常數(shù)展開式中的系數(shù)為，則

。參考答案：115.在極坐標(biāo)系中，直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為

.參考答案：-1或-516.某種平面分形圖如下圖所示，一級分形圖是由一點(diǎn)出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為

120°；二級分形圖是在一級分形圖的每一條線段末端出發(fā)再生成

兩條長度均為原來的線段；且這兩條線段與原線段兩兩夾角為

120°；；依次規(guī)律得到級分形圖.則（1）級分形圖中共有

條線段.（2）級分形圖中所有線段長度之和為

.參考答案：（1）；（2），依題意，（1）記級分形圖中共有條線段，則有，，，由累加法得（2）級分形圖中所有線段的長度和等于17.函數(shù)，的最小值為，則的值為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知.（1）求函數(shù)的極值；（2）設(shè)，對于任意，，總有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：(1)的極小值為：，極大值為：(2)試題分析:(1)先求函數(shù)的定義域,然后對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得極值.(2)由(1)得到函數(shù)的最大值為,則只需.求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對分成兩類,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值,由此求得的取值范圍.試題解析:(1)所以的極小值為：，極大值為：；(2)由(1)可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為對于任意，總有成立，等價(jià)于恒成立，①時(shí)，因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增，恒成立，符合題意.

②當(dāng)時(shí)，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，且，則存在，使得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以不恒成立，不合題意.綜合①②可知，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與極值,考查利用導(dǎo)數(shù)求解恒成立問題.求極值的步驟：

①先求的根（定義域內(nèi)的或者定義域端點(diǎn)的根舍去）；②分析兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號：若左側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)正，則為極小值點(diǎn)；若左側(cè)導(dǎo)數(shù)正右側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)，則為極大值點(diǎn).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點(diǎn)，也是單調(diào)區(qū)間的劃分點(diǎn)，而求函數(shù)的最值是在求極值的基礎(chǔ)上，通過判斷函數(shù)的大致圖像，從而得到最值,大前提是要考慮函數(shù)的定義域.19.己知橢圓C：=1，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)M滿足（λ＞1，λ是常數(shù)）．當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)M形成的曲線為Cλ．（I）求曲線Cλ的軌跡方程；（II）直線l是橢圓C在點(diǎn)P處的切線，與曲線Cλ的交點(diǎn)為A，B兩點(diǎn)，探究△OAB的面積是否為定值．若是，求△OAB的面積，若不是，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），由點(diǎn)P在橢圓C上得曲線Cλ的軌跡方程為．（Ⅱ）由△=0，得過點(diǎn)A（x1，y1）的切線方程為，設(shè)切點(diǎn)A（x2，y2），B（x3，y3）聯(lián)立，結(jié)合得4x2﹣8x1x+16﹣16=0，可得|AB|=×|x3﹣x4|，原點(diǎn)O到直線AB的距離d=，△OAB的面積s=|AB|×d=×=2（定值）【解答】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）由于點(diǎn)P在橢圓C上，得，即曲線Cλ的軌跡是橢圓，標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）①當(dāng)過點(diǎn)P（x1，y1）切線的斜率存在時(shí)，設(shè)該切線的方程為y﹣y1=k（x﹣x1），即y=kx+（y1﹣kx1）聯(lián)立y=kx+（y1﹣kx1）、橢圓C：=1得（）x2+2k（y1﹣kx1）x+=0，由△=0，得1+4k2=[（y1﹣kx1）2，的k=﹣．此時(shí)過點(diǎn)A（x1，y1）的切線方程為過點(diǎn)P切線的斜率不存在時(shí)，切點(diǎn)為（±2，0），方程為x=±2，符合方程為．∴過點(diǎn)P的切線方程為．設(shè)切點(diǎn)A（x2，y2），B（x3，y3）聯(lián)立，結(jié)合得4x2﹣8x1x+16﹣16=0∴|AB|=×|x3﹣x4|=．原點(diǎn)O到直線AB的距離d=∴△OAB的面積s=|AB|×d=×=2（定值）故△OAB的面積是定值220.（本小題滿分12分）在中，角A,B,C的對邊分別為,b,c,且滿足，．（Ⅰ）求的面積；（Ⅱ）若，求邊與的值．

參考答案：【解】：（Ⅰ）由正弦定理得，……2分，，，……6分由得，的面積為．……8分（Ⅱ）因，故，……10分由余弦定理得……12分

略21.已知函數(shù)．（1）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．參考答案：（1）①時(shí)，無交點(diǎn)，②時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，③時(shí)，無交點(diǎn)（2）詳見解析

試題解析：（1）定義域?yàn)?，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，①時(shí)，無交點(diǎn)，②時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，③時(shí)，無交點(diǎn)．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）時(shí)，存在唯一，使，即，且時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時(shí)，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)證不等式【思路點(diǎn)睛】涉及函數(shù)的零點(diǎn)問題、方程解的個(gè)數(shù)問題、函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，一般先通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點(diǎn)、方程根、交點(diǎn)的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.22.已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）將代入直線方程得，∴①

，∴②

①②聯(lián)立，解得∴

（Ⅱ），∴在上恒成立；即在恒成立；

設(shè)，，∴只需證對任意有