上海市十二校2024學(xué)年數(shù)學(xué)高三上期末檢測(cè)模擬試題含解析

上海市十二校2024學(xué)年數(shù)學(xué)高三上期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知將函數(shù)（，）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關(guān)于對(duì)稱，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．2．已知純虛數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)等于（）A． B．1 C． D．23．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則的值為()A． B． C． D．4．已知集合，，則（）A． B．C． D．5．設(shè)復(fù)數(shù)z＝，則|z|＝（）A． B． C． D．6．已知，則（）A． B． C． D．7．已知向量，（其中為實(shí)數(shù)），則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A．5 B． C． D．-59．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則（）A． B．C． D．11．對(duì)某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線圖，下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)分析．①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱性，故平均成績(jī)?yōu)?30分；②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間110,120內(nèi)；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)；④乙同學(xué)連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)成績(jī)每一次均有明顯進(jìn)步．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．112．下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的焦距為______.14．設(shè)為正實(shí)數(shù)，若則的取值范圍是__________．15．將2個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四個(gè)盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2個(gè)球，丙、丁盒子均最多可放入1個(gè)球，且不同顏色的球不能放入同一個(gè)盒子里，共有________種不同的放法.16．若實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若，在線段上取點(diǎn)，使，求證：點(diǎn)在定直線上.18．（12分）已知；.（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為真命題且為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平行于x軸的動(dòng)直線l交拋物線C：于點(diǎn)P，點(diǎn)F為C的焦點(diǎn)．圓心不在y軸上的圓M與直線l，PF，x軸都相切，設(shè)M的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程；（2）若直線與曲線E相切于點(diǎn)，過(guò)Q且垂直于的直線為，直線，分別與y軸相交于點(diǎn)A，當(dāng)線段AB的長(zhǎng)度最小時(shí)，求s的值．20．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，且，求的最小值．21．（12分）已知在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線的極坐標(biāo)方程為（）.設(shè)與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

因?yàn)閷⒑瘮?shù)（，）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，可得，結(jié)合已知，即可求得答案.【題目詳解】將函數(shù)（，）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，又和的圖象都關(guān)于對(duì)稱，由，得，，即，又，.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)圖象平移和根據(jù)圖象對(duì)稱求參數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)圖象平移的解法和正弦函數(shù)圖象的特征，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法表示出，然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對(duì)應(yīng)的的值即可.【題目詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，所以.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值，難度較易.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則有.3、C【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的除法，以及復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.【題目詳解】，又的實(shí)部與虛部相等，，解得.故選:C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念運(yùn)用.4、C【解題分析】

求出集合，計(jì)算出和，即可得出結(jié)論.【題目詳解】，，，.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查交集和并集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

先用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，然后用模長(zhǎng)公式求模長(zhǎng).【題目詳解】解：z＝＝＝＝﹣﹣,則|z|＝＝＝＝.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.【題目詳解】由可得，∴，∴.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意三角函數(shù)的符號(hào).7、A【解題分析】

結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【題目詳解】由，則，所以；而當(dāng)，則，解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【題目點(diǎn)撥】本小題考查平面向量的運(yùn)算，向量垂直，充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，應(yīng)用意識(shí).8、C【解題分析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【題目詳解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虛部為．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

利用直線與圓相交求出實(shí)數(shù)的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【題目詳解】由于直線與圓相交，則，解得.因此，所求概率為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用直線與圓相交求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

轉(zhuǎn)化函數(shù)，，的零點(diǎn)為與，，的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，即得解.【題目詳解】函數(shù)，，的零點(diǎn)，即為與，，的交點(diǎn)，作出與，，的圖象，如圖所示，可知故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.11、C【解題分析】

利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性，成績(jī)的比較，說(shuō)明正誤即可．【題目詳解】①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱性，最高130分，平均成績(jī)?yōu)榈陀?30分，①錯(cuò)誤；②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間[110,120]內(nèi)，②正確；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)，③正確；④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)中第四次、第七次成績(jī)較上一次成績(jī)有退步，故④不正確．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查折線圖的應(yīng)用，線性相關(guān)以及平均分的求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解題分析】

利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【題目詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.故答案為C【題目點(diǎn)撥】（1）本題主要考查終邊相同的角的公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

由雙曲線的漸近線，以及求得的值即可得答案．【題目詳解】由于雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即①，把代入，得，即②又③聯(lián)立①②③，得．所以．故答案是：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的性質(zhì)，注意題目“雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為”這一條件的運(yùn)用，另外注意題目中要求的焦距即，容易只計(jì)算到，就得到結(jié)論．14、【解題分析】

根據(jù)，可得，進(jìn)而，有，而，令，得到，再用導(dǎo)數(shù)法求解，【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，令，，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，又，所以取值范圍是，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)法求最值，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于難題，15、【解題分析】

討論裝球盒子的個(gè)數(shù)，計(jì)算得到答案.【題目詳解】當(dāng)四個(gè)盒子有球時(shí)：種；當(dāng)三個(gè)盒子有球時(shí)：種；當(dāng)兩個(gè)盒子有球時(shí)：種.故共有種，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.16、5【解題分析】

根據(jù)題意，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求動(dòng)直線縱截距的最值，即可求解【題目詳解】畫出不等式組，表示的平面區(qū)域如圖陰影區(qū)域所示，令，則.分析知，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，且.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)題意得出關(guān)于、、的方程組，解出、的值，進(jìn)而可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、、，設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式，并代入韋達(dá)定理，消去，可得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)論.【題目詳解】（1）由題意得，解得，.所以橢圓的方程是；（2）設(shè)直線的方程為，、、，由，得.，則有，，由，得，由，可得，，，綜上，點(diǎn)在定直線上.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了點(diǎn)在定直線上的證明，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.18、（1）（2）或【解題分析】

（1）根據(jù)為真命題列出不等式，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）應(yīng)用復(fù)合命題真假判定的口訣：真“非”假，假“非”真，一真“或”為真，兩真“且”才真.【題目詳解】（1），且，解得所以當(dāng)為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由，可得，又∵當(dāng)時(shí)，，.∵當(dāng)為真命題，且為假命題時(shí)，∴與的真假性相同，當(dāng)假假時(shí)，有，解得；當(dāng)真真時(shí)，有，解得；故當(dāng)為真命題且為假命題時(shí)，可得或.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查結(jié)合不等式的含有量詞的命題的恒成立問(wèn)題，存在性問(wèn)題，考查復(fù)合命題的真假判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.19、（1），（2）．【解題分析】

根據(jù)題意設(shè)，可得PF的方程，根據(jù)距離即可求出；點(diǎn)Q處的切線的斜率存在，由對(duì)稱性不妨設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率公式，求，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值．【題目詳解】因?yàn)閽佄锞€C的方程為，所以F的坐標(biāo)為，設(shè)，因?yàn)閳AM與x軸、直線l都相切，l平行于x軸，所以圓M的半徑為，點(diǎn)，則直線PF的方程為，即，所以，又m，，所以，即，所以E的方程為，，設(shè)，，，由知，點(diǎn)Q處的切線的斜率存在，由對(duì)稱性不妨設(shè)，由，所以，，所以，，所以，．令，，則，由得，由得，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值也是最小值，即AB取得最小值此時(shí)．【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的關(guān)系，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．20、（1）或（2）最小值為．【解題分析】

（1）討論，，三種情況，分別計(jì)算得到答案.（2）計(jì)算得到，再利用均值不等式計(jì)算得到答案.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得．所以所求不等式的解集為或．（2）根據(jù)函數(shù)圖像知：當(dāng)時(shí)，，所以．因?yàn)?，由，可知，所以，?dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了解絕對(duì)值不等式，函數(shù)最值，均值不等式，意在考查學(xué)生對(duì)于不等式，函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.21、(1);(2).【解題分析】分析：（1）在式子中運(yùn)用正弦、余弦定理后可得．（2）由經(jīng)三角變換可得，然后運(yùn)用余弦定理可得，從而得到，故得．詳解：(1)由題意及正、余弦定理得，整理得，∴（2）由題意得，∴，∵，∴，∴.由余弦定理得，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．∴．∴面積的最大值為．點(diǎn)睛：（1）正、余弦定理經(jīng)常與三角形的面積綜合在一起考查，解題時(shí)要注意整體代換的應(yīng)用，如余弦定理中常用的變形，這樣自然地與三角形的面積公式結(jié)合在一起．（2）運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件，在解題中必須要注明．22、（1）曲線的普通方程為；直線的直角坐標(biāo)